Introduction aux équations de transport L. Le Moyne Institut Supérieur de l’Automobile et des Transports U. De Bourgogne

t t+dt rfu S f V t+….

f(t+dt)= f(t) + rf.u.dt.S Unité de f/m3 Unité de f m/s s m2

t t+dt rfu(x) S t+…. f V rfu(x+dx)

f(t+dt)= f(t) +rf.u(x).dt.S-rf.u(x+dx).dt.S f(t+dt)- f(t) +rf.u(x+dx).dt.S-rf.u(x).dt.S=0 df+d(rf.u).dt.S=0

t t+dt rfu S sf t+…. f Y V rfu

f(t+dt)= f(t) +rf.u(x).dt.S-rf.u(x+dx).dt.S+sf..V.dt df+d(rf.u).dt.S=sf.V.dt

t t+dt S t+…. f V

f(t+dt)= f(t) +

t t+dt rfu S t+…. sf f Y V rfu

df+d(rf.u).dt.S=sf.V.dt+

rfuz(x,y,z) rfux(x,y,z) rfuz(x,y,z+dz) rfux(x+dx,y,z) rfuy(x,y+dy,z) rfuy(x,y,z) x,y,z x+dx,y,z x+dx, y+dy,z x+dx, y+dy,z+dz

x,y,z x+dx,y,z x+dx, y+dy,z x+dx, y+dy,z+dz dxdy dzdy dxdz

Bilan de f dans la direction x :

En ajoutant toutes les composantes de f dans les trois directions et passant dt à la limite : Si les coefficients de diffusion sont invariants :

Si les coefficients de diffusion dépendent de la direction :

Quelles quantités sont transportées ? La masse (équation de continuité): Diffusion moléculaire (loi de Fick) La quantité de mouvement : Viscosité (loi de Newton) L’énergie (premier principe): Conduction thremique (loi de Fourier)

La quantité d’une espèce (fraction massique): Diffusion moléculaire (loi de Fick) Et beaucoup d’autres…..

Les termes sources : s Changements de phase (évaporation,…) Réactions chimiques Impacts/intéractions (sprays, parois, turbulence…) Champs de forces (gravitation, électromagnétisme,…) Flux d’énergie (convection, rayonnement) …

Les simplifications Solides, ou fluides à faible gradient de vitesse Fluides incompressibles Régimes stationnaires

?

! Approximations Discrétisation Transformer le domaine de calcul en une série de volumes ou zones élémentaires Numérisation Transformer les dérivées temporelles et spatiales en expressions calculables numériquement Approximations !

Méthodes aux différences finies : Les fonctions sont constantes à l’intérieur des volumes élémentaires Méthodes aux éléments finis : Les fonctions sont approximées par des polynômes ou d’autres fonctions de forme à l’intérieur des volumes élémentaires Méthodes spectrales : Les fonctions sont approximées par des séries de polynômes ou d’autres fonctions sur tout le domaine. La discrétisation se fait dans l’espace des “fréquences”

+ Conditions initiales + Conditions limites ?

Par exemple : dx dt