Retour à la table des matières Retour à la page précédente Géométrie La géométrie euclidienne au sens des antiques traités du plan et de l'espace ; elle est souvent présentée comme une géométrie « de la règle et du compas ». Les objets considérés sont les points, les segments, les droites, les demi-droites, avec leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude de figures et la mesure. Euclide (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme l'un des textes fondateurs des mathématiques.

Géométrie Le plan cartésien Les éléments de la géométrie Les angles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Le plan cartésien Les éléments de la géométrie Les angles Les polygones Les triangles Les quadrilatères Les transformations géométriques

Les éléments géométriques Retour à la table des matières Retour à la page précédente Point Droite Demi-droite Segment Angle Cercle P A B A B B A A B C O

Point Retour à la table des matières Retour à la page précédente P En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace géométrique. On l’identifie par une lettre majuscule. Un point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. Outil « Point » Dans Géogébra, on peut placer un point libre, un point sur un objet ou un point à l’intersection de deux objets.

Droite Une droite se prolonge indéfiniment dans les deux sens. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Droite A B Une droite se prolonge indéfiniment dans les deux sens. Elle est non finie. Voir également: « Relations entre deux droites » Dans Géogébra, on peut tracer une droite passant par deux points ou des droites ayant des liens avec d’autres objets géométriques. Outils «Lignes»

Relations entre deux droites Retour à la table des matières Retour à la page précédente Droites sécantes: Droites qui se coupent en un seul point. AB CD Droites parallèles: Deux droites qui n'ont aucun point commun ou qui sont confondues (une par dessus l’autre). AB CD Droites perpendiculaires: Droites sécantes qui se coupent en formant un angle de 90°. AB CD

Retour à la table des matières Retour à la page précédente Demi-droite A B Une demi-droite se prolonge indéfiniment dans un seul sens et possède une extrémité que l’on nomme origine. On note une demi-droite à l’aide de deux points appartenant à celle-ci. Ex: AB Outils «Lignes» A B Dans Géogébra, on peut tracer une demi-droite passant par deux points.

Segment Partie d’une droite limitée par deux points. Retour à la table des matières Retour à la page précédente B A 3 cm Partie d’une droite limitée par deux points. Un segment est noté à l’aide de deux points sous une barre. Un segment est mesurable. Voir également: « Segments isométriques » Notation: mAB = 3 cm (ce qui signifie: la mesure du segment AB est de 3 centimètres) Outils «Lignes» Dans Géogébra, on peut tracer un segment passant par deux points ou un segment à partir d’un point et d’une longueur.

Segments isométriques () Retour à la table des matières Retour à la page précédente Segments ayant la même mesure. Notation: AB  CD (car mAB = mCD)

Cercle Retour à la table des matières Retour à la page précédente O Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle Outils «Cercles» Dans Géogébra, on peut tracer des cercles de plusieurs façons différentes selon les renseignements que l’on possède (centre, points appartenant au cercle, rayon de mesure donnée)

Les angles Définition Types d’angles Relations entre les angles Retour à la table des matières Retour à la page précédente A B C Définition Types d’angles Relations entre les angles Outils «Mesures» Dans Géogébra, on peut tracer un angle à partir de trois points ou à partir de deux points et d’une mesure donnée.

Notation et mesure des angles Un angle c’est… Retour à la table des matières Retour à la page précédente A B C Un angle est une figure géométrique formée de deux demi-droites ayant la même origine. L’origine des demi-droites est le sommet de l’angle et les deux demi-droites sont les côtés de l’angle. On indique généralement l’ouverture de l’angle par un arc de cercle.   B C A Notation et mesure des angles

Notation et mesure des angles Retour à la table des matières Retour à la page précédente On nomme généralement un angle par son sommet. S’il y a risque de confusion, on utilise alors trois lettres. La lettre située au centre représente le sommet de l’angle. On peut aussi utiliser un nombre pour identifier un angle. On utilise parfois des symboles pour alléger l’écriture : •  signifie « angle » ; • m  veut dire « mesure de l’angle ». On mesure l’ouverture d’un angle à l’aide d’un instrument appelé le rapporteur d’angles. L’unité de base pour mesurer des angles est le degré.

Types d’angles Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente Types d’angles

Relations entre les angles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles isométriques Angles complémentaires Angles supplémentaires Angles opposés par le sommet Angles adjacents Angles formés par deux droites parallèles et une sécante

Angles isométriques Angles ayant les mêmes mesures. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles isométriques Angles ayant les mêmes mesures. Si m  ABC = m  DEF, alors  ABC   DEF.

Angles complémentaires Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles complémentaires Angles dont la somme des mesures est égale à 90º. Ex: m  ABD + m  DBC = 90º, alors  ABD et  DBC sont complémentaires.

Angles supplémentaires Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles supplémentaires Angles dont la somme des mesures est égale à 180º. Ex: m  ABD + m  DBC = 180º, alors  ABD et  DBC sont supplémentaires.

Angles opposés par le sommet Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles opposés par le sommet Paires d’angles ayant le même sommet et dont les côtés de l’un sont les prolongements des côtés de l’autre. Les angles opposés par le sommet sont isométriques. Ex:  AEC et  BED sont opposés par le sommet.

Ex:  ABC et  DBA sont adjacents. Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles adjacents Paires d’angles ayant le même sommet, un côté commun et situés de part et d’autre du côté commun. Ex:  ABC et  DBA sont adjacents.

Angles formés par deux droites parallèles et une sécante Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles alternes-internes Angles alternes-externes Angles correspondants

Angles alternes-internes Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles n’ayant pas le même sommet, situés de part et d’autre d’une sécante (alternes) et à l’intérieur des deux droites parallèles (internes). Les angles alternes-internes sont isométriques Ex:  BIJ et  EJI sont alternes-internes  FIJ et  CJI sont alternes-internes

Angles alternes-externes Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles n’ayant pas le même sommet, situés de part et d’autre d’une sécante (alternes) et à l’extérieur des deux droites parallèles (externes). Les angles alternes-externes sont isométriques Ex:  AIB et  EJD sont alternes-externes  AIF et  CJD sont alternes-externes

Angles correspondants Retour à la table des matières Retour à la page précédente Angles n’ayant pas le même sommet, situés du même côté d’une sécante, l’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur des deux droites parallèles. Les angles correspondants sont isométriques Ex:  AIB et  IJC sont correspondants  AIF et  IJE sont correspondants

Les polygones Caractéristiques des polygones Les polygones réguliers Retour à la table des matières Retour à la page précédente Un polygone est une figure géométrique fermée constituée de plusieurs segments.   Caractéristiques des polygones Les polygones réguliers Les triangles  Les quadrilatères

Caractéristiques des polygones Figures géométriques Retour à la table des matières Retour à la page précédente Polygones Pas des polygones Caractéristiques des polygones

Caractéristiques des polygones Retour à la table des matières Retour à la page précédente Classification Convexes ou concaves Les polygones réguliers Diagonales Angles intérieurs d’un polygone Angles extérieurs d’un polygone

Classification Exemples d’hexagones: Autres noms de polygones Retour à la table des matières Retour à la page précédente Nombre de côtés Nom du polygone 3 Triangle 4 Quadrilatère 5 Pentagone 6 Hexagone 7 Heptagone 8 Octogone 9 Ennéagone 10 Décagone 11 Hendécagone 12 Dodécagone Exemples d’hexagones: Hexagone régulier hexagone non régulier Autres noms de polygones

Convexes ou concaves Retour à la table des matières Retour à la page précédente Convexe: Un polygone convexe est un polygone ayant tous ses angles intérieurs inférieurs à 180°. Concave: Un polygone concave est un polygone ayant au moins un angle intérieur supérieur à 180°. (Non convexe)

Polygones réguliers Retour à la table des matières Retour à la page précédente Un polygone régulier est un polygone convexe dont tous ses côtés sont isométriques et tous ces angles sont isométriques. Il est équilatéral et équiangle.

Diagonale Retour à la table des matières Retour à la page précédente Définition: Une diagonale est un segment joignant deux sommets non consécutifs dans un polygone. Diagonale Dans un polygone à n côtés, il y a toujours n-3 diagonales issues d’un même sommet. Énoncé 1 Dans un polygone à n côtés, il y a toujours n(n-3)/2 diagonales puisqu’il y a n sommets et qu’à chaque sommets il y a n-3 diagonales. Énoncé 2

Angles intérieurs Retour à la table des matières Retour à la page précédente Dans un polygone à n côtés, la somme des mesures des angles intérieurs se calcule en faisant: Énoncé 3 S = ( n – 2) X 180o n : représente le nombre de côtés. S : représente la somme des mesures des angles intérieurs du polygone. Dans un polygone régulier à n côtés, la mesure d’un angle intérieur se calcule en divisant la somme des mesures des angles intérieurs par le nombre de côtés. Énoncé 4

Angles extérieurs Retour à la table des matières Retour à la page précédente L’angle extérieur à un sommet est formé par un côté du polygone et le prolongement du coté adjacent.

Angles extérieurs (suite) Retour à la table des matières Retour à la page précédente Énoncé 5 La somme des mesures d’un angle intérieur et de l’angle extérieur à un même sommet est toujours égale à 180°. Donc l’angle intérieur et l’angle extérieur à un même sommet sont supplémentaires. La somme des mesures de tous les angles extérieurs d’un polygone convexe est toujours égale à 360°. Énoncé 6

Construction d’un polygone régulier Retour à la table des matières Retour à la page précédente Pour construire un polygone régulier à n côtés, il suffit de calculer l’angle au centre à partir de l’égalité suivante: Angle au centre = 360° ÷ n Exemple: Pour un pentagone l’angle au centre est de 360° ÷ 5 = 72°

Un triangle est un polygone ayant trois côtés et trois angles. Les triangles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Un triangle est un polygone ayant trois côtés et trois angles. Classification des triangles selon la mesure de leurs angles et de leurs côtés. Énoncés sur les triangles. Construction des triangles. Lignes remarquables des triangles. Déduire des mesures dans les triangles.

Classification des triangles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Acutangle (3 angles aigus) Obtusangle 1 angle obtus Rectangle 1 angle droit Scalène (aucun côté isométrique) Isocèle Isoangle (2 côtés isométriques) Équilatéral Équiangle (3 côtés isométriques)

Énoncés sur les triangles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Un triangle existe seulement si la somme des mesures de ces deux plus petits côtés est supérieure à la mesure du plus grand côté. Énoncé 7 Exemple: Il est impossible de dessiner un triangle dont les mesures des trois côtés sont de 3cm, 5cm et 12cm. Car 3 + 5 < 12 3cm 5cm 12cm Remarque: Il est impossible de fermer la figure pour former un triangle Suite page suivante

Énoncés sur les triangles (suite) Retour à la table des matières Retour à la page précédente La somme des angles d’un triangles est toujours égale à 180º Énoncé 8 Angles alternes-internes (isométriques) Angles alternes-internes (isométriques)

Construction des triangles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Il est possible de construire un unique triangle si l’on connaît les informations suivantes: Soit la mesure des 3 côtés du triangles. (voir méthode de construction C-C-C) Soit la mesure de deux côtés ainsi que l’angle formé par ces deux côtés. (voir méthode de construction C-A-C) Soit la mesure d’un seul côté et la mesure de deux angles. (voir méthode de construction A-C-A)

C-C-C Retour à la table des matières Retour à la page précédente Exemple : Tracer un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm. 1- On trace le segment AB de longueur 6 cm. 2- On trace le cercle de centre B et de rayon 4 cm. 3- On trace le cercle de centre A et de rayon 3 cm. 4- On appelle C l'un des deux points d'intersection des cercles. 5- On trace les segments BC et AC. 4cm 3cm 6cm

C-A-C Retour à la table des matières Retour à la page précédente Exemple : Tracer un triangle DEF tel que m EDF=30º,m DE = 3 cm et m DF = 4 cm.    1- On trace le segment DF de longueur 4 cm.    2- On trace une demi-droite telle que m EDF=30º,                                 3- On place le point E à 3 cm du point D sur cette demi-droite.    4- On trace le segment EF. 3cm 4cm

A-C-A Retour à la table des matières Retour à la page précédente Exemple : Tracer un triangle GHI tel que GH = 4 cm, mHGI=60º et mGHI=45º.     1- On trace le segment GH de longueur 4 cm.     2- On trace la demi-droite telle que mHGI=60º                   .     3- On trace la demi-droite telle que mGHI=45º                   .     4- On appelle I le point d?intersection des deux demi-droites.     5- On trace les segments GI et HI.                                                                               

Lignes remarquables des triangles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Un triangle possède :3 angles, 3 côtés, 3 hauteurs, 3 bissectrices, 3 médiatrices et 3 médianes. Droite d’Euler: (droite en rouge sur l’image) En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre (rencontre des hauteurs), le centre du cercle circonscrit (rencontre des médiatrices) et le centre de gravité (rencontre des médianes).

Hauteurs Retour à la table des matières Retour à la page précédente Définition: Une hauteur est une droite passant par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes (c’est-à-dire qu’elles se rencontrent en un même point) . Le point de rencontre des trois hauteurs est appelé orthocentre du triangle. Remarque: L'orthocentre d'un triangle n'est pas nécessairement à l'intérieur de ce triangle. Observe les cas particuliers dans Géogébra (triangle acutangle, rectangle et obtusangle)

Bissectrices Retour à la table des matières Retour à la page précédente Définition: La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet et qui partage l'angle en deux angles isométriques. Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes (c’est-à-dire qu’elles se rencontrent en un même point) . Le point de rencontre des trois bissectrices est appelé le centre du cercle inscrit du triangle. Remarque: Le centre du cercle inscrit est toujours à l’intérieur du triangle.

Médiatrices Retour à la table des matières Retour à la page précédente Définition: La médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes (c’est-à-dire qu’elles se rencontrent en un même point) . Le point de rencontre des trois médiatrices est appelé le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle. Ce point est donc à égale distance des trois sommets du triangle. Remarque: Le centre du cercle n’est pas toujours à l’extérieur du triangle. Observe les cas particuliers dans Géogébra (triangle acutangle, rectangle et obtusangle)

Médianes Retour à la table des matières Retour à la page précédente Définition: Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes (c’est-à-dire qu’elles se rencontrent en un même point) . Le point de rencontre des trois médianes est appelé centre de gravité du triangle. Remarque: Le centre de gravité du triangle ABC est toujours à l'intérieur du triangle. On constate que les deux aires des triangles définis par une médiane sont toujours égales.

Déduire des mesures dans les polygones Retour à la table des matières Retour à la page précédente Pour déduire des mesures de côtés 1- Il faut identifier les types de figures. (selon le nombre de côtés et donner le nom particulier de la figure) 2- Est-ce un polygone régulier? (tous les côtés sont donc isométriques) 3- Utiliser les propriétés de ou des figures géométrique.(ex: côtés opposés isométriques) 4- Y a-t-il des segments qui sont coupés par des médiatrices ou des médianes? (les médiatrices et les médianes passe par le milieu des segments) 5- Donne-t-on le périmètre de la figure? (le périmètre est la somme de tous ses côtés Voir aussi page suivantes

Déduire des mesures d’angles Retour à la table des matières Retour à la page précédente Pour déduire des mesures d’angles 1- Il faut identifier les types de figures. (selon le nombre de côtés et donner le nom particulier de la figure) 2- Est-ce un polygone régulier? (tous les angles sont donc isométriques) 3- Utiliser les propriétés de ou des figures géométrique.(ex: angles adjacents supplémentaires…) 4- Y a-t-il des angles ayant une relation particulière? (opposés par le sommet, complémentaires, alternes-internes, etc.) 5- Tu peux aussi utiliser la somme des angles du polygone. (la somme des angles correspond à : S = (n-2) X 180

Les quadrilatères Retour à la table des matières Retour à la page précédente Définitions: Polygone ayant quatre côtés, quatre angles et deux diagonales. Le nom des quadrilatères ainsi que leurs propriétés sont fait en classe. Conserve bien ta feuille de notes sur les propriétés pour l’annexer à ces notes de cours.

Les transformations Retour à la page précédente Retour à la table des matières Retour à la page précédente