- 5 - Optimisation linéaire et non-linéaire 2013-02-18

Sujets abordés Introduction à la programmation (optimisation) linéaire Concept, formulation Illustration à l’aide d’Excel Introduction à l’optimisation non-linéaire

Introduction Qu’est-ce que la programmation linéaire? « La programmation linéaire est une méthode mathématique qui s'inscrit dans une recherche d'optimisation »   Il y a une fonction objective et des contraintes Nous tenterons de minimiser ou maximiser la fonction objective tout en respectant les contraintes Les équations sont de premier degré Les variables sont élevées à la puissance 1 Il s’agit donc de droites et non de courbe (d’où le terme linéaire)

Introduction Pourquoi étudier la programmation linéaire? Populaire en administration, surtout en gestion des opérations Optimisation des flux de transport Planification de la production En finance, la programmation linéaire peut : Optimiser la prise de décisions (où, quand, combien ?) Décisions d’investissement Décisions d’emprunt Décisions de placement Optimiser l’encaisse (gestion de la liquidité)

Introduction Ce qui est à l’étude dans le cadre de GSF-2107: *** Il existe de nombreux cours de 45 heures consacrés à ce sujet (ex : IFT-2106 et MQT-60801) Ce qui est à l’étude dans le cadre de GSF-2107: Écriture d’un problème de programmation linéaire Bien définir la fonction objective Bien définir les contraintes Résoudre un problème simple d’optimisation Méthode du simplexe avec le solveur d’Excel

Définir les équations Il faut écrire l’objectif et les contraintes sous la forme d’équations mathématiques Définir les variables de décisions (X1, X2, … Xn) Définir la fonction objective à l’aide des variables de décision Définir les contraintes représentant les restrictions C’est une étape cruciale qui nécessite de bien analyser le problème auquel nous sommes confrontés Les contraintes sont parfois explicites Nous devons le plus souvent les déduire Il y a généralement de nombreuses contraintes Des actions peuvent être pris à chaque période et il est nécessaire de fixer des contraintes pour chaque période

Définir les équations La forme usuelle des équations est la suivante : Objectif : Contraintes : Contraintes pour chaque période (périodes 1 à m) • Contrainte de non négativité

Exemple Exemple Le gestionnaire d’une entreprise de fabrication de meubles de mélamine doit planifier la production du prochain mois. Il doit choisir le nombre optimal de bureaux de travail, de tables d’ordinateur et de classeurs à fabriquer. - Le budget prévu pour la production est 100 000 $ - Les employés peuvent travailler un maximum de 1500 heures - L’entrepôt peut contenir un maximum de 150 m3

Puisqu’il est impossible de fabriquer un nombre négatif de meubles… Définir les équations Exemple (suite) Objectif : Contraintes : Puisqu’il est impossible de fabriquer un nombre négatif de meubles…

Méthode du simplexe Comment résoudre un problème de ce type? Il est difficile de représenter graphiquement un problème comprenant plus de 2 variables Intuitivement, plus on ajoute de variables, plus il y aura de « sommets » représentant une solution potentielle Nous utiliserons la méthode du simplexe pour résoudre ces problèmes Élaborée en 1947 par G. Dantzing Permet de se déplacer rapidement entre plusieurs points candidats (optimum locaux) jusqu’à trouver une solution

Méthode du simplexe Les étapes du simplexe: Définir les variables Définir la fonction objective Définir les contraintes d’égalités et inégalités Transformer les contraintes d’inégalités en contraintes d’égalités à l’aide de variables molles (slack variables) Construction du tableau du simplexe Itérations: Détermination d’un point pivot sur le tableau Opérations de lignes et de colonnes

Reprenons l’exemple précédent sur Excel… Le solveur d’Excel L’outil Solveur d’Excel permet de résoudre des problèmes d’optimisation variés Permet de déterminer si nous voulons maximiser ou minimiser une fonction objective Permet d’ajouter des contraintes Procède par itérations pour sélectionner la solution optimale Un des algorithmes de calcul que l’on peut sélectionner est basé sur des équations linéaires (méthode du Simplexe) Reprenons l’exemple précédent sur Excel… Une solution X1 = 0 X2 = 37,5 X3 = 18,75 12

Le solveur d’Excel Les dangers : L’algorithme n’identifie pas les extremum locaux Nous ne savons pas si la réponse est le point optimal global Il existe des logiciels plus performants qu’Excel pour faire de l’optimisation La capacité de calcul d’Excel est rapidement excédée lorsqu’on ajoute quelques variables et contraintes (dimension du problème élevée) 13

Programmation non-linéaire Lorsque la fonction objectif et les contraintes ne dépendent pas linéairement des variables, il n’est pas possible d’utiliser la méthode du simplexe C’est souvent le cas dans les problèmes en finance de marché Le risque (variance) implique des équations de 2ème degré Le but de l’optimisation sera de déterminer l’allocation des ressources entre les titres afin de minimiser les risques pour un niveau de rendement donné Problème : Comment isoler w ? Vecteur des pondérations Matrice de variance - covariance 14

Optimisation non-linéaire En présence de contraintes en équation, nous pouvons utiliser le multiplicateur de Lagrange pour résoudre ce problème C’est ce que nous avons vu la semaine dernière Il ne faut pas oublier d’ajouter les contraintes implicites… Dans le cadre du cours, ne verrons pas de méthodes de résolution de problèmes non-linéaires avec contraintes en inéquation Nous utiliserons le Solveur d’Excel 15

Programmation non-linéaire Exemple sur Excel Optimiser l’allocation des ressources d’un portefeuille de titres boursiers canadiens entre les 10 grands secteurs de l’économie Objectif : Minimiser le risque pour un rendement journalier de de 0,02 % Contraintes : - Interdiction de faire des ventes à découvert - Limite sectorielle : secteur S&P/TSX + 10 % Variables : 10 au total représentant la pondération à investir dans chaque secteur économique 16