Symétrie de position : Ordre périodique Réseau : Ensemble de points (nœuds) de positions : Ruvw = u a +v b + w c (a, b, c) vecteurs de base, (u, v, w) entiers. a b c g Maille : Volume qui pave l’espace sans vide ni recouvrement, en gal parallélépipédique (a,b,c) Maille primitive (un nœud), multiple (symétrie) : élémentaire (unit cell) Mailles conventionnelles : P : primitif F : Faces centrées I : Corps centré A,B,C : Face centrée

Symétrie ponctuelles dans les réseaux Seules les rotations d’ordre 1, 2, 3, 4, 6 sont compatibles avec la périodicité Tout axe de symétrie An est orthogonal à un plan réticulaire Symétrie d’un plan orthogonal à l’axe An BB’ vecteur du réseau BB’=T-2Tcosa =mT cosa =p/2 An A2 A’2 T T a=p a=p a=2p /n B B’ An(T) A-n(-T) a -a An T A’n

Vers un pavage de Penrose Pavage du plan Sans vide ni recouvrement Découvert par Kepler (1571-1630) en 1619 : « Harmonices Mundi » Seules symétries compatibles avec la translation : 1, 2, 3, 4, 6 2 3 5 8 1 4 6 Vers un pavage de Penrose

Empilement de réseaux 2D respectant la symétrie (Ex. carré) 4 systèmes (systèmes) 5 modes de réseau Oblique : p Rectangulaire : p Rectangulaire : c Carré : p Hexagonal : p À 3D Empilement de réseaux 2D respectant la symétrie (Ex. carré) P I

Les réseaux de Bravais À 3D Les systèmes de Bravais P I F C _ Triclinique a  b  c a  b  g 1 b Monoclinique a  b  c a = g = 90°; b 2/m Orthorhombique a  b  c a = b = g = 90° 2/mmm À 3D 7 systèmes (symétrie) 14 modes de réseau Les systèmes de Bravais Tétragonal a = b  c a = b = g = 90° 4/mmm _ Rhomboédrique a = b = c a = b = g 3m Hexagonal a = b  c a=b=90°;g =120° 6/mmm _ Cubique a = b = c a = b = g =90° m3m

32 classes de symétrie d’orientation Orthorhombique Monoclinique Triclinique Trigonal Tétragonal Hexagonal Cubique Groupes ponctuels cristallographiques 1 2 3 4 6 222 32 422 622 Les 7 systèmes cristallins Classe holoèdre : ayant la symétrie du réseau Ex : Tétragonal (4/mmm) ... hémièdres, tétartoèdres Groupes chiraux (sym. Directes) Groupes centro (classes de Laue) Groupes impropres (sym ind.–inv) _ _ _ _ _ 1 2=m 3 4 6=3/m 2/m 4/m 6/m 2mm 3m 4mm 6mm _ _ _ _ _ 3m 42m (4m2) 62m (6m2) mmm 4/ mmm 6/ mmm 23 432 _ _ _ m3 43m m3m

Maille de Wigner-Seitz Ensemble des points plus proches de l’origine que de n’importe quel autre point Maille primitive, ayant la symétrie ponctuelle du réseau Dans l’espace réciproque : Zone de Brillouin Maille de W-S Maille conventionnelle

Relations entre les 7 systèmes Hexagonal Cubique Tétragonal Relations groupe/sous-groupe Brisure de symétrie Transitions de phases du 2e ordre Trigonal Orthorhombique Monoclinique 4 2 L L Triclinique L L+e L L-e L 6 L 3

Symétrie de position : groupe d’espace Mauritz Cornelis Escher Graveur néerlandais (1898-1972) . Groupe P4

Nouvelles symétries Groupe P4gm Réflexions avec glissement Réflexions Réflexions avec glissement

Opérations de symétrie non-symorphiques Réflexion avec glissement (M,t) Après deux opérations M, périodicité T t=T/2 Combinaison (O, t) O : Rotation, Réflexion rotatoire T : translation T T/2 M Notation : a, b, c, n, d, g Translations hélicoïdales (AN, t) Après N translations t on retrouve la périodicité : mc t = mc/N 21 41 42 61 64 Notation : Nm (AN, mc/N)

Opération de symétrie de position Rotations Réflexions rotatoires Translations hélicoïdales Réflexion Réflexions avec glissement

I41/amd 4 m Groupes d’espace 230 groupes d’espace 7 systèmes cristallins Notations Directions primaire secondaire et tertiaires Mode de réseau Éléments générateurs Groupe ponctuel du cristal Sans translation I41/amd Tétragonal corps centré 4 m

Unité asymétrique http://escher.epfl.ch/escher/

Symétrie _ _ _ _ Symétries d’orientation Groupes ponctuels Rotations Réflexions rotatoires Conventionnellement Rotations (An) Réflexions (M) L’inversion (C) Inversions rotatoires (An) Groupes ponctuels 7 Groupes limites de Curie Symétries de position Translations T= u a + v b + w c Symétries autorisées 1, 2, 3, 4, 6 ( 3, 4, 6) M, C 14 réseaux de Bravais 32 Classes de symétrie d’orientation 7 systèmes cristallins Translations Rotations Réflexions rotatoires + Translations hélicoïdales Réflexion avec glissement 230 Groupes d’espace ( 7 systèmes ) _ _ _ _