MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 1 (Section 5) François Meunier DMI

Opérateur d’Union Pour les ensembles A, B, leur nion AB est l’ensemble de tous les éléments qui sont soient dans A, ou (“”) dans B (ou dans les deux ensembles). Formellement , A,B: AB = {x | xA  xB}. AB est un sur-ensemble de A et B (en fait, le plus petit sur-ensemble): A, B: (AB  A)  (AB  B)

Exemples d’Union Forme Requise 2 5 3 7 {a,b,c}{2,3} = {a,b,c,2,3} {2,3,5}{3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} ={2,3,5,7} Forme Requise Exemple d’Union: “Les United States of America sont habités par des personnes travaillant dans un ou plusieurs états.” 2 3 5 7

L’Opérateur d’intersection Pour A, B, leur intersection AB est l’ensemble contenant les éléments étant simultanément dans A et (“”) B. Formellement, A,B: AB={x | xA  xB}. Notez que AB est un sur-ensemble de A et B (le plus large): A, B: (AB  A)  (AB  B)

Exemples d’Intersection  {a,b,c}{2,3} = ___ {2,4,6}{3,4,5} = ______ {4} 2 3 5 6 4 “L’intersection des boulevards Des Forges et Des Récolets est juste la surface appartenant aux deux boulevards.”

Ensembles disjoints Deux ensembles A, B sont dits disjoints SSI si leur intersection est vide. (AB=) Exemple: l’ensemble des nombres entiers pairs est disjoint avec l’ensemble des nombres entiers impairs.

Principe d’Inclusion-Exclusion Combien d’éléments sont dans AB? |AB| = |A|  |B|  |AB| Exemple: Combien d’étudiants ont des cours le jour ou le soir? C  J  S, J = {e | e prend des cours le jour} S = {e | e prend des cours le soir} Quelques étudiants font les deux ! |C| = |JS| = |J|  |S|  |JS| We will see this basic counting principle again when we talk about combinatorics.

Différence d’ensembles Pour les ensembles A, B, la différence de A et B, AB, est l’ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B. Formellement: A  B : x  xA  xB  x  xA  xB  Autre forme: Le complément de B par rapport à A. NOT (x in A -> x in B) = NOT (x not in A or x in B) (defn. of implies) = x in A AND x not in B (DeMorgan’s law).

Exemples de différence (ensemble) {1,2,3,4,5,6}  {2,3,5,7,9,11} = ___________ Z  N  {… , −1, 0, 1, 2, … }  {0, 1, … } = {x | x est un entier mais pas un nombre naturel} = {x | x est un entier négatif} Résultat = {… , −3, −2, −1} {1,4,6}

Différence – Diagramme de Venn A−B ce qui reste après que B soit enlevé. AB Ensemble A Ensemble B

Compléments d’un ensemble Le ud (univers du discours) peut être lui-même considéré comme un ensemble, disons U. Quand le contexte definis clairement U, pour tout ensemble AU, le complément de A, , est donné par UA. Ex:, Si U=N,

Compléments des ensembles Définition équivalente, quand U est défini: A Note that set difference and complement do not relate to each other like arithmetic difference and negative. In arithmetic, we know that a-b = -(b-a). But in sets, A-B is not generally the same as the complement of B-A. U

Identités des ensembles Identité: A = A = AU Domination: AU = U, A =  Idempotence: AA = A = AA Double complément: Commutativité: AB = BA, AB = BA Associativité: A(BC)=(AB)C , A(BC)=(AB)C Distributivité: A (BC)=(A  B) (A  C), A(BC)=(A  B) (A  C)

Règles de De Morgan (ensembles) Analogues aux lois de De Morgan pour les propositions.

Preuves des Identités (ensembles) La preuve des énoncés sur les ensembles de la forme E1 = E2 (où Es des expressions sur les ensembles), peut être faite de 3 façons: 1. Prouver E1  E2 et E2  E1 séparément. 2. Utiliser la notation de construction des ensembles & les équivalences logiques. 3. Utiliser les tables d’appartenance. A membership table is like a truth table.

Méthode 1: Sous-ensembles mutuels Exemple: Prouver A(BC)=(AB)(AC). Partie 1: A(BC)(AB)(AC). Supposons xA(BC), & Prouver x(AB)(AC). Sachant que xA, et soit xB ou xC. Cas 1: xB. Alors xAB, donc x(AB)(AC). Cas 2: xC. Alors xAC , donc x(AB)(AC). Par conséquent, x(AB)(AC). Par conséquent, A(BC)(AB)(AC). Partie 2: (AB)(AC)  A(BC). …

Méthode 2: Construction des ensembles et équivalences logiques Exemple: Prouver (AB)’= A’B’. (AB)’={x | x  AB}. (AB)’={x |  (x  AB)}. (AB)’={x |  (x  A  x  B)}. (AB)’={x | (x  A  x  B)}. (AB)’={x | (x  A’  x  B’)}. (AB)’={x | (x  A’  B’)}.

Méthode 2: Construction des ensembles et équivalences logiques Exemple: LEMME: Associativité de l’Union (AB )C = A(B C ) Preuve : (AB )C = {x | x  A B  x  C } = {x | (x  A  x  B )  x  C } = {x | x  A  ( x  B  x  C ) } = {x | x  A  (x  B  C ) } = A(B C )

Méthode 3: Tables d’appartenance Comme les tables de vérité de la logique propositionnelle. Colonnes: différentes expressions. Rangés pour toutes les combinaisons d’appartenance dans les ensembles. Utilisé “1” pour indiquer l’appartenance dans l’ensemble dérivé, “0” pour la non-appartenance. Équivalence quand des colonnes sont identiques.

Exemple de Table d’Appartenance Prouver (AB)B = AB.

Exemple de Table d’Appartenance Prouver (AB)C = (AC)(BC).

Revue (Section 5) Ensembles S, T, U… Ensembles spéciaux N, Z, R. Notations des ensembles {a,b,...}, {x|P(x)}… Relations xS, ST, ST, S=T, ST, ST. Opérations |S|, P(S), , , , , Techniques de preuve de l’égalité des ensembles: Sous-ensembles mutuels. Tables d’appartenance. Derivation à partir des équivalences logiques.

Généralisation Unions & Intersections Sachant que l’union & l’intersection sont commutatives et associatives, nous pouvons donc généraliser leur application sur des séquences d’ensembles (A1,…,An), ou même sur des ensembles non ordonnés d’ensembles, X={A | P(A)}.

Généralisation: Union Opération d’union binaire: AB Union n-aire: AA2…An : ((…((A1 A2) …) An) (groupement & ordonnancement sont sans importance) Notation “Big U”: Ou pour des ensembles infinis d’ensembles:

Généralisation: Intersection Opération d’intersection binaire : AB Intersection n-aire: A1A2…An((…((A1A2)…)An) (groupement & ordonnancement sont sans importance) Notation “Big Arch”: Ou pour des ensembles infinis d’ensembles: :

Représentations Il est possible d’utiliser diverses méthodes pour représenter chaque structure discrète à partir d’autres structures discrètes. Ex: représentation des N Ensembles: 0:, 1:{0}, 2:{0,1}, 3:{0,1,2}, … Chaînes de bits: 0:0, 1:1, 2:10, 3:11, 4:100, …

Représenter des ensembles avec des chaînes de bits Pour un ud énumérable U ordonné x1, x2, …, représentant un ensemble fini SU comme une chaîne de bits finie B=b1b2…bn où i: xiS  (i<n  bi=1). ex: U=N, S={2,3,5,7,11}, B=001101010001. Avec cette représentation, les opérateurs “”, “”, “ ‾ ” correspondent à OU, ET, NON bit à bit. So, for example, on a 64-bit processor, using just a single machine-language instruction you can calculate the union or intersection of two sets out of a universe of discourse having up to 64 elements. This leads to an extremely fast way of doing complicated calculations on small sets. It is not a good method for large, sparsely populated sets, because searching the bit string to find which bits are “1” can take a long time.

Exemples d’applications des ensembles a = (a1, a2) a  A ensemble de coordonnées 2D b = (b1, b2) b  B ensemble de So, for example, on a 64-bit processor, using just a single machine-language instruction you can calculate the union or intersection of two sets out of a universe of discourse having up to 64 elements. This leads to an extremely fast way of doing complicated calculations on small sets. It is not a good method for large, sparsely populated sets, because searching the bit string to find which bits are “1” can take a long time.

Exemples d’applications des ensembles (complément, union) A  B = {maxz(a,b) | a  A ^ b  B} So, for example, on a 64-bit processor, using just a single machine-language instruction you can calculate the union or intersection of two sets out of a universe of discourse having up to 64 elements. This leads to an extremely fast way of doing complicated calculations on small sets. It is not a good method for large, sparsely populated sets, because searching the bit string to find which bits are “1” can take a long time. Ac = {(x,y, K- z) | (x,y,z)  A } z couleur à la position x,y Z = {z | z  [0..255] }-> K = 255

Exemples d’applications des ensembles (complément, union) Arrière plan: noir (0) Avant plan: blanc (1) So, for example, on a 64-bit processor, using just a single machine-language instruction you can calculate the union or intersection of two sets out of a universe of discourse having up to 64 elements. This leads to an extremely fast way of doing complicated calculations on small sets. It is not a good method for large, sparsely populated sets, because searching the bit string to find which bits are “1” can take a long time.