LE NOMBRE D'OR - LA SÉQUENCE DE FIBONACCI Présente Gaspard LA MAGIE DES CHIFFRES Il n'y a que dans les mystérieuses équations de l'Amour que l'on peut trouver raison et logique..." J.Nash LE NOMBRE D'OR - LA SÉQUENCE DE FIBONACCI CLIQUEZ

PHI, LE NOMBRE D'OR PHI = (1+√5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887...   Il existe un nombre d'or, nommé Phi, qui se trouve présent dans toute chose... Véritable clef, cachée au coeur même de l'Univers, il demeure un merveilleux témoignage d'harmonie, de beauté, et de Vie... Les proportions des plantes, des êtres humains, des animaux obéissent tous à la loi de Phi. Et à leur tour, les hommes s'en inspirèrent pour réaliser leurs propres oeuvres que ce soit en peinture, sculpture, ou architecture...

LA SÉQUENCE DE FIBONACCI Léonard de Pise, dit Fibonacci, créa une série de nombres aux propriétés remarquables. Cette séquence avait été mise en évidence en 1202 dans un problème mathématique  appelé "Le monsieur des lapins".  - Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence?La séquence de nombres qu'il fallait alors trouver était  : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Chacun de ces chiffres correspond à la somme des deux précédents : 1+1=2   1+2=3   2+3=5   3+5=8   5+8=13... Bizarrement, il se trouve que le quotient entre chaque chiffres adjacents tend progressivement vers Phi (233÷144 = 1,61805...  610÷377 = 1,61803...) Notons également que Phi est le seul nombre qui, lorsqu'on lui soustrait une unité, devient son propre inverse

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES   LE RECTANGLE ET LE TRIANGLE D'OR La suite de Fibonacci s’est ensuite rendue célèbre par ses représentations multiples en relation avec ce nombre mythique. Il existe, en géométrie, des figures qui possèdent donc les propriétés du nombre d'or. Parmi celles-ci, nous avons le Rectangle et le Triangle d'Or.   Dans le cas du rectangle, la proportion de la base par rapport à la hauteur est égale à Phi. Et concernant le Triangle, le rapport du grand côté par rapport au petit est lui aussi égal au nombre d'or.   LA SPIRALE D'OR Pour dessiner une spirale d’or, on construit un rectangle d’or dans lequel on trace un grand carré qui aura pour côté la largeur du rectangle. On réitère cette opération dans le rectangle d'or restant, et ainsi de suite jusqu'au point limite O. Nous pouvons maintenant tracer cette fameuse spirale logarithmique en dessinant des quarts de cercle dans les carrés...

LA  DIVINE PROPORTION   FRA LUCA PACIOLI, un moine, professeur de mathématiques, publia en 1509 De Divina Proportione, qui sera d'ailleurs illustré par Léonard de Vinci... L'ouvrage comprend une partie principale consacrée aux propriétés de la proportion divine, suivi d'un traité d'architecture, du tracé d'un alphabet antique, et du "Libellus", une suite d'exercices mathématiques portant notamment sur les polyèdres réguliers.   Il semblerait que ce soit le premier traité consacré pour une large partie au nombre d’or. Ce dernier est considéré non seulement dans ses propriétés mathématiques, mais aussi dans ses attributs esthétiques, et mystiques...

AU COEUR DE LA VIE Le coquillage du Nautile grandit en spirale, en suivant la proportion divine. Il se trouve en effet que le rapport entre le diamètre de chaque spirale formant sa coque, et le diamètre de la suivante est égale à Phi...   - Si l'on observe comment les fleurs de tournesol sont disposées dans la capitule qui les regroupe, on constate que 21 spirales s'enroulent dans le sens des aiguilles d'une montre et 34 dans l'autre sens. Deux nombres de Fibonacci consécutifs une nouvelle fois. Cette proportion divine s'applique également pour les pommes de pins, les coquillages, la disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes... Dans une ruche, si l'on divise aussi le nombre des ouvrières par celui des faux bourdons on obtient Phi... Et il semblerait même que les milliers de lettres T, C, A, G, qui composent l’ADN s’auto-organiseraient selon les proportions du nombre d’or...

  LE CORPS HUMAIN Leonard De Vinci fut le premier à déclarer que le corps humain était composé de multiples parties, ayant pour dénominateur commun Phi.   Mesurez par exemple la distance entre le sol et le sommet de votre tête, diviser la par la distance séparant le sol de votre nombril et vous obtiendrez... Phi. Calculez encore le rapport entre deux phalanges consécutives et vous trouverez Phi. Par ailleurs, nombres de ses tableaux comme La Joconde,  Léda et son cygne, ou encore Saint Jérôme respectent eux aussi la divine proportion.

PEINTURE D'autres tableaux s'inscrivent également dans le rectangle d'or. Des peintres comme Botticelli (La Naissance de Vénus), Corbusier (Modulor), Salvador Dali (Sacrement de la dernière cène), Mondrian (Composition), et bien d'autres encore, utilisèrent le Nombre d'Or pour réaliser leurs oeuvres... La composition se devait alors de mettre en valeur le sujet tout en produisant une circulation du regard afin de créer,  au coeur de la toile, une harmonie absolue... De tout temps, l'artiste a cherché à produire cet équilibre entre la figure et son environnement. Cette quête trouva sa réponse dans le Nombre d'Or.

ARCHITECTURE 2800 AV JC : La pyramide de Kheops a des dimensions permettant de mettre en évidence l'importance du nombre d'or. En effet, le rapport entre la hauteur de la pyramide et sa demi base est égale à 1,618.... 5ÈME SIÈCLE AVANT JC : La lettre Phi faisait référence à Phidias, un architecte et sculpteur grec, qui utilisa le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes. Celui-ci s'inscrivait d'ailleurs dans le "rectangle d'or", là où précisément le rapport entre la longueur et la hauteur est égal à phi.   Ce nombre irrationnel fut dès lors considéré comme une proportion particulièrement esthétique... Les règles du nombre d'or ordonnèrent alors les proportions des plus grands monuments, des cathédrales européennes jusqu'au Taj Mahâl. Quant à la géométrie sacrée, elle était devenue l'art de communiquer la sagesse divine par l'intermédiaire de figures géométriques et symboliques. Cet ancien langage secret était utilisé en particulier par les philosophes et mathématiciens grecs, comme Platon ou Pythagore.

MUSIQUE La cinquième symphonie de Beethoven - Les sonates de Mozart - ...   " Nous sommes mystérieusement accordés à ce nombre, car la section d'or agit sur nos sens et, par eux, sur notre cortex cérébral, essentiellement le droit, mais sans doute pas exclusivement, c'est pour cette raison que nous sommes inconsciemment enclins à trouver belles les grandeurs de tous ordres qui entrent dans cette relation.

LE NOMBRE PI 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067..................... Pi est un nombre parfait, irrationnel et transcendant exprimant le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. C'est un chiffre sans aucune logique apparente et qui, encore aujourd'hui, demeure un véritable mystère... En effet, comment admettre qu'une forme aussi simple, naturelle, et universelle que le cercle puisse être régie par un nombre aussi inaccessible, incompréhensible, et infinie que Pi ?... 2000 av. JC : A cette époque, Pi était déjà connu des Babyloniens et servait à exprimer le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Sur certaines tablettes babyloniennes se trouvent en effet des calculs d'aires de disque où 3,125 (3 + 1/8) était utilisé comme valeur approchée de Pi. 1650 av. JC : La notion du nombre Pi fut également retrouvée sur le papyrus de Rhind (du nom de l’écossais Henry Rhind qui l’acheta en 1858). Ce manuel de calcul appartenait en fait à Ahmès, un scribe égyptien. Sa méthode pour s'approcher de Pi consistait à ramener l’aire de la circonférence d'un cercle à celle d’un carré équivalent. Le nombre Pi prit alors la valeur de 3,1604 (3 + 13/81)   500 av. JC :  « Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. » Ce passage de la bible évoque la construction du temple de Salomon, et  indique l’utilisation du nombre Pi où Π=3. 250 av. JC : Archimède de Syracuse, mathématicien grec, calcula à son tour et de façon plus précise les décimales de Pi. Il parvint ainsi à donner un encadrement du nombre Pi (223/71 < pi < 22/7) situé entre 3,1408 et 3,1428 Au  fil des siècles et grâce aux progrès mathématiques, la valeur de Pi s'est de plus en plus précisée, mais paradoxalement, plus les calculs s'affinaient et plus le nombre de décimales augmentait jusqu'à finalement se perdre dans l'infini... Aujourd'hui encore, et malgré la puissance de nos ordinateurs, on ne sait toujours pas si toutes ces décimales sont purement aléatoires ou si au contraire, elles possèdent un sens, un langage, une structure cachée...

HYPOTHÈSE DE MAX COHEN  1. Le langage de la nature est mathématique 2. Tout ce qui nous entoure peut être mis en équation 3. Toute représentation graphique d'une équation met en évidence une séquence. Donc, la nature est faite de séquences.  Preuves : le cycle des maladies épidémiques, les fluctuations de la population animale, la récurrence des tâches solaires, la crue et la décrue du Nil... mais que dire de la Bourse ?...

Création Gaspard FIN 2007

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