MODULATION III - Modulation de fréquences Généralités Les modulations de fréquence ou de phase sont appelées des modulations d’angle. La modulation due au signal s(t) agit de manière linéaire sur l’argument de la fonction harmonique formant le signal porteur. Les composantes spectrales de l’onde modulée dépendent aussi bien de la fréquence que de l’amplitude du signal modulant (s(t)). Cette définition nous conduit aux deux types de modulations suivantes : Modulation de phase : Modulation de fréquence :

MODULATION Calculons la fréquence instantanée du signal modulé : Modulé le terme porteur par ds/dt à l’aide de la modulation de phase ou le moduler par s(t) à l’aide d’une modulation de fréquence revient au même. Cette propriété est due au fait que : Remarquons que les constantes kF et kF, appelées pente de modulation s’expérimentent avec des unité différentes : kF~rd/V et kF~Hz/V

Modulateur de fréquence MODULATION Remarque : Intégrateur s(t) Signal modulé en fréquence Modulateur de phase Dérivateur s(t) Signal modulé en phase Modulateur de fréquence Déterminons le taux de modulation dans le cas d’un signal borné : |s(t)|  M

MODULATION |s(t)|  M : f0-kFM  fi(t)  f0+kFM Taux de modulation (Profondeur) : Df/f0 (relatif à f0), l’indice de modulation est le rapport de kFM à la fréquence la plus haute de S(f), supposé à bande limitée [-fM, fM] : |s(t)|  M : |s’(t)|  2pMfM : f0-kFfMM  fi(t)  f0+kFfMM Remarque : s(t)=Acos(2pFt) (M=A et fM=F) MF : sMF(t) = cos(2pf0t+mFsin(2pFt)) MF : sMF(t) = cos(2pf0t+mFcos(2pFt))

MODULATION Remarque : s(t)=Acos(2pFt) (M=A et fM=F) On remarque que dans le cas de la modulation de fréquence, la déviation fi autour de f0 est bornée par une valeur kF qui ne dépend que de la valeur maximale de s(t) (soit s(t)  M) et ne dépend pas de la fréquence F de s(t)!

MODULATION Autre approche Prenons un signal de la forme : La fonction Aej est représentée dans le plan complexe par un vecteur de longueur A et d’angle . Si  = 2pf0t, ce vecteur tourne dans le sens trigo avec une vitesse angulaire de 2pf0. Il est donc stationnaire dans un système d’axe qui tourne également à la vitesse 2pf0 dans le sens trigo. Il en est de même pour la fonction v(t)=Acos(2pf0t+f) si f = Cste. Supposons maintenant que f=f(t) est effectue des variations positives ou négatives, alors v(t) sera représenté par un vecteur dont la position variera autour du vecteur représentant Acos(2pf0t). On peut considérer l’angle (2pf0t+f(t)) de v(t) subit une modulation autour de l’angle  = 2pf0t. La forme de v(t) est donc la représentation d’un signal qui est modulé en phase.

MODULATION Si le vecteur d’angle +f(t)=2pf0t+f(t) est alternativement au dessus ou au dessous du vecteur d’angle =2pf0t, alors ce premier vecteur tournera plus vite ou moins vite que le second. Par conséquent, on peut considérer que la vitesse angulaire du vecteur représentant v(t) subit une modulation autour de la vitesse angulaire nominale (2pf0t). v(t) est donc un signal modulé en « vitesse angulaire ». La vitesse angulaire associée à l’argument d’une fonction sinusoïdale est égale au taux de variation en fonction du temps de l’argument de cette fonction. On a par conséquent la fréquence instantanée : v(t) est donc une onde modulée en fréquence! On peut donc dire que v(t) est soit un signal modulé en phase par f(t), soit un signal modulé en fréquence par df(t)/dt.

MODULATION On peut donc dire que v(t) est soit un signal modulé en phase par f(t), soit un signal modulé en fréquence par df(t)/dt. On ne peut pas faire la différence visuelle entre un signal modulé en phase et un signal modulé en fréquence. Seule la connaissance du signal modulant permet de le préciser. Les relations entre modulation de phase et de fréquence peuvent être mieux précisées de la façon suivante : Considérons un modulateur de phase dont le signal de sortie v(t) est un signal modulé en phase par mi(t) : v(t)=Acos(2pf0t+k’mi(t)) avec k’=Cste Supposons que mi(t) est obtenu par intégration du signal m(t)

MODULATION La fréquence instantanée s’écrira : L’écart entre la fréquence instantanée et la fréquence porteuse est : Puisque F est directement proportionnelle à m(t), on peut dire que la combinaison d’un intégrateur et d’un modulateur de phase constitue un système pour produire un signal modulé en fréquence Réciproquement la combinaison d’un dérivateur et d’un modulateur de fréquence permet de réaliser un modulateur de phase. Résumé : df(t)/dt est prop. à m(t)  modulation de fréquence f(t) est prop. à m(t)  modulation de phase

MODULATION Déviation (excursion-profondeur) de phase et de fréquence Considérons le signal : v(t)=Acos(2pf0t+f(t)) La valeur maximale de f(t), qui est la valeur maximale de l’écart de phase entre la phase du signal v(t) et la phase de la porteuse, est appelée excursion de phase. De même l’écart maximum entre la fréquence instantanée et la fréquence de la porteuse est appelée excursion de fréquence. Prenons le cas d’une variation d’angle (donc de fréquence) sinusoïdale à la fréquence fM, on a : f(t)=bsin(2pfMt) et v(t)=Acos(2pf0t+ bsin(2pfMt)) avec b valeur maximale de f(t). b est appelé indice de modulation. La fréquence instantanée est : La déviation maximale en fréquence est définie par : Df=bfm Par conséquent, la fréquence instantanée varie entre f0-Df et f0+Df, mais on ne doit pas conclure que toutes les composantes spectrales de v(t) se trouvent dans ce domaine!

MODULATION Spectre de sMF(t) : J0(mF) f0 J1(mF) J2(mF) J3(mF) f J4(mF)

MODULATION Rappelons : Où Jn est une fonction de Bessel de première espèce d’ordre n. SMF(f) J0(mF) f0 J1(mF) J2(mF) J3(mF) f J4(mF) f0+F f0+2F F0-F F0-2F -J1(mF) f0+3F -J3(mF) Ceci nous ramène à la remarque que la modulation de fréquence par signal sinusoïdal de fréquence F va occuper une bande de fréquence très large car la décroissance de SMF(f) avec l’indice n (Jn) est relativement faible. La largeur spectrale dépend donc de la décroissance des fonctions de Bessel avec n et la valeur de mF.

MODULATION Pour estimer pratiquement la bande spectrale couverte, on peut négliger les composantes dont la valeur sera telle que : Généralement N=10 (ou plus suivant la précision de l'approximation) . Exemple : m=1/2 N/  On néglige à partir de J2. BU=2F f0 f0-F f0+F J0(1/2) J1(1/2)

MODULATION Remarque sur les fonctions de Bessel : Fonctions de Bessel en fonction de b On note que pour b=0, J0(b)=1 et Jn(0)=0 pour n0 Donc s’il n’y a pas de modulation, seule la porteuse existe (les bandes latérales ont une amplitude nulle) Lorsque b s’écarte légèrement de 0, J1(b) prend une valeur significative, et tous les autres Jn(b) restent très faibles négligeables.

MODULATION Pour b <<1, on peut écrire : Donc, pour b très faible, le spectre d’un signal FM est composé de la porteuse, et des 2 composantes aux fréquences f0fM, un tel signal est appelé signal FM à bande étroite Lorsque b augmente, les Jn prennent successivement de l’importance, donnant lieu à des composantes f02fM, f03fM, … Un autre aspect montrant que la FM n’est pas un phénomène linéaire, réside dans le fait que dans un signal FM, l’amplitude de la composante spectrale à la fréquence de la porteuse n’est pas constante et dépendante de b En d’autres termes, l’enveloppe d’un signal FM a une amplitude constante par conséquent, la puissance contenue dans un tel signal est constante puisqu’elle dépend uniquement de l ’amplitude et non de la fréquence

MODULATION La puissance dans un signal d’amplitude unité, tel que : v(t)=Acos(2pf0t+ bsin(2pfMt)) est donc PV=1/2 quelque soit b. Par conséquence, lorsqu’une porteuse est modulée en fréquence la puissance contenue dans les bandes latérales apparaît seulement comme une partie de la puissance initialement contenue dans la porteuse Une autre façon d’arriver à ce résultat consiste à utiliser la relation : Si on calcule PV en calculant v2(t) et en prenant sa moyenne à partir de son expression développée en fonction de Bessel, on obtient : On remarque d’autre part que pour certaines valeur de b, J0(b)=0  toute la puissance est contenue dans les bandes latérales

MODULATION Largeur de bande d’un signal FM En principe, dans un signal modulé en fréquence, le nombre de composantes spectrales dans les bandes latérales est infini et la largeur de bande exigée pour transmettre ou recevoir un tel signal est de la même manière infinie. En pratique, on peut, pour une valeur donnée de b, limiter la valeur de bande transmise BT de sorte que les composantes perdues ne provoquent pas de distorsion importante. Pour b donné, le choix de BT sera lié aux amplitudes Jn(b) des composantes des bandes latérales. La question est jusqu’à quelles valeurs d’amplitude Jn(b), les composantes spectrale doivent-elles être prises en compte pour que 98% de la puissance totale soit transmise On remarque que pour n=Ent[b+1] cette condition est toujours vérifiée : soit quelque soit n et b :

MODULATION Largeur de bande d’un signal FM Pour un signal sinusoïdal de fréquence fM, on BT=2(b+1)fM Soit : Modulation de fréquence à bande étroite Considérons le signal : Prenons le cas b<<p/2, ceci implique que le déphasage max. par rapport à la porteuse soit beaucoup plus faible que p/2 rd. Vrai si b<0,2 (parfois 0,5) On peut alors écrire :

MODULATION D’où : On retrouve bien une composante à la fréquence f0 et 2 composantes latérales aux fréquences f0fM d’où BT=2fM Dans le cas d’une porteuse modulée en fréquence par un signal périodique de forme quelconque s(t), la fréquence instantanée s’écrit : La phase correspondante s’écrit :

MODULATION On peut donc écrire : Si k1 et l’amplitude de g(t) sont telles que : |k1g(t)|<<p/2, on a : Si s(t) est limitée à une fréquence maximale F, il en est de même pour g(t), le spectre de v(t) se composera donc de la porteuse f0 et de 2 bandes latérales La largeur de bande est BT=2F Représentation de Fresnel pour FM à bande étroite On se place dans le cas d’une modulation sinusoïdale, on a pour une modulation de fréquence à bande étroite :

MODULATION Considérons un système de coordonnées qui tourne à la vitesse 2pf0 dans le sens trigo, le vecteur pour cos2pf0t est placé horizontalement et est immobile Le vecteur (b/2)cos2p(f0+F)t tourne dans le même sens (trigo) à la vitesse 2pF par rapport au précédent alors que le vecteur (-b/2)cos2p(f0-F)t tourne dans le sens rétrograde à la vitesse 2pF : A t=e, on a la représentation ci-contre, D1 est toujours perpendiculaire au vecteur de la porteuse et vaut : D1= bsin2pFt (-b/2)cos2p(f0-F)t R D1 f (b/2)cos2p(f0+F)t cos2pf0t

MODULATION D1= bsin2pFt f cos2pf0t (b/2)cos2p(f0+F)t (-b/2)cos2p(f0-F)t f R D1= bsin2pFt L’amplitude de la porteuse a légèrement diminué (cos2pf0t <1 si t0), la résultante R fait un angle f avec la porteuse. La valeur maximale de cet angle est (b<<1) : Résultat que l’on connaissait déjà!

MODULATION D1= bsin2pFt f cos2pf0t (b/2)cos2p(f0+F)t (-b/2)cos2p(f0-F)t f R D1= bsin2pFt L’amplitude de la porteuse a légèrement diminué (cos2pf0t <1 si t0), la résultante R fait un angle f avec la porteuse. La valeur maximale de cet angle est (b<<1) : Résultat que l’on connaissait déjà!

MODULATION Génération de signaux modulés en fréquence Les générateurs produisant des signaux FM sont souvent des oscillateurs à circuits accordés. De tels systèmes fournissent des signaux sinusoïdaux dont la fréquence est principalement déterminée par la fréquence de résonance du circuit LC : CV : Capacité variable avec la tension La fréquence d’oscillation d’un tel circuit est C0 CV L La capacité CV est réalisée à partir d’une diode varicap polarisée en inverse dont la valeur dépend de la tension de polarisation. Le signal modulateur s(t) fait varier la tension aux bornes de CV, en conséquence CV change ce qui produit une modification de la fréquence de l’oscillateur. La fréquence instantanée dépend de la valeur instantanée du signal modulateur s(t)  VCO : oscillateur commandé en tension

MODULATION Généralement, la fréquence de modulation est très faible devant la fréquence de l’oscillateur  la variation de CV est très faible pendant un grand nombre de cycles de l ’oscillateur La modulation de fréquence peut être réalisée à partir de la variation de n’importe quel élément ou paramètre dont dépend la fréquence : résistance, self ou capacité. Par exemple, les FETs peuvent être utilisés en résistance variable La principale difficulté de cette méthode réside dans le fait que d’une part la fréquence porteuse (fréquence de l’oscillation avec s(t)=0) doit être éventuellement maintenue constante pendant des intervalles de temps assez grands, et d’autre part, elle doit répondre promptement aux variations du signal modulant s(t). Ces problèmes nous conduisent à une autre méthode de production des signaux FM : méthode indirecte

MODULATION Méthode indirecte : modulateur d’Armstrong Un signal modulé en phase dans lequel le signal modulateur est s(t) est donné par : v(t)=Acos(2pf0t+bs(t))= Acos(2pf0t+m(t)). Si la modulation est à bande étroite, c’est à dire |m(t)|<<1, on peut écrire : cos(2pf0t+m(t))#cos(2pf0t)-m(t)sin(2pf0t) On peut remarquer que m(t)sin(2pf0t) est un signal DBL, la porteuse ayant été supprimée, dont la porteuse est en quadrature avec la porteuse FM Si les 2 porteuses étaient en phase on aurait un signal AM! Déphaseur de p/2 Modulateur équilibré Porteuse m(t)=bs(t) sin(2pf0t) Additionneur cos(2pf0t) bs(t)sin(2pf0t) Signal modulé en phase

MODULATION Le signal est ainsi généré est un signal modulé en phase plutôt qu’un signal qu’un signal modulé en fréquence. Si on désire que la fréquence plutôt que la phase soit proportionnelle à s(t), il est nécessaire d’intégrer le signal modulant avant de l’appliquer au modulateur équilibré. Bien entendu, cette méthode n’est valable que si on veut générer des signaux modulés à bande étroite : b<<1. Dans la pratique on prend b<0,5. Il est possible d’augmenter l’excursion de phase et de fréquence en utilisant des multiplieur de fréquence : combinaison d’un élément non linéaire et d’un filtre passe bande. Le transistor est en fonctionnement non linéaire (classe C par exemple), il est bloqué pendant plus d’une demi-période. Le courant collecteur est donc de forme impulsionnelle, une impulsion par cycle du signal d’entrée (f, 2f, … , nf, …) VCC C L Entrée fréquence f Sortie fréquence nf

MODULATION Démodulateur de signaux FM La méthode la plus simple pour démoduler un signal FM est de passé par une démodulation AM, suivant la méthode présentée ci-dessous : Circuit discriminateur s(t) Détecteur d’enveloppe Signal modulé en fréquence z(t) a(t) Le signal FM est appliqué à l’entrée d ’un discriminateur linéaire, c’est à dire un circuit dont la fonction de transfert est une fonction linéaire de la fréquence. Le signal z(t) sera modulé non seulement en fréquence, mais aussi en amplitude. Ce signal est appliqué à un détecteur d’enveloppe dont la sortie suit les variations d ’amplitude de z(t) mais pas ses variations de fréquence. On a : a(t)=Acos(2pf0t+F(t)) avec f0-Df  fi(t) f0+Df

MODULATION On a : a(t)=Acos(2pf0t+ F(t)) avec f0-Df  fi(t) f0+Df D’où : a(t)=A|G|cos(2pf0t+ F(t)+(f)) (en supposant f=Cste) où G(f) : gain de la zone linéaire du discriminateur : fonction linéaire de f Dans ce cas : (f)=Arg[G(f)] Si les variations de f sont suffisamment lentes pour que l’approximation stationnaire reste valable, l’expression de z(t) reste correcte. Exemple : f fc Df DH 1 |H(2jpf)| C R

MODULATION Le point d’inflexion de |H(jw)|=F(w) est donné par : F"(w)=0, soit : On a alors : L’équation de la tangente au point d’inflexion est donnée par :

MODULATION D’où l’équation de la tangente au point d’inflexion : L’écart relatif entre la courbe réelle et la tangente au point d’inflexion est :

MODULATION On désire : On en déduit la bande passante relative : En pratique, les démodulateurs différent du circuit précédent sur des points de détails : - Augmentation de la pente (d|H(j)|/d ) - Pente la plus constante possible sur un intervalle de fréquence le plus grand possible Pour réaliser cela, on utilisera des montages symétriques, dont la sortie ne dépend pas de l’amplitude de la porteuse et vaut zéro lorsque la fréquence instantanée est f0 (fréquence de la porteuse). Le signal de sortie de ces démodulateurs étant sensible à la fréquence et à l’amplitude du signal d’entrée, les variations d’amplitude constitue un phénomène parasite dont il faut s’affranchir en limitant l’amplitude du signal FM.

MODULATION Discriminateur à circuit résonnant désaccordé Comme caractéristique de discrimination, on utilise ici, le flanc d’une courbe de réponse de circuit résonnant. La fréquence fR et le coefficient de surtension Q sont choisis de telle façon que f0 soit située dans une région où la courbe de réponse soit quasi-linéaire et à forte pente. Un montage possible est donné sur la figure ci-contre. T est l’élément actif du dernier étage amplificateur précédent le démodulateur VCC ic M VS CS RS L l T R C ic M VA r l R’ L C La partie linéaire du montage (encadrée) peut se ramener à :

MODULATION r représente les pertes dans l VA r l R’ L C iA iL iC r représente les pertes dans l et R’=R//Résistance de sortie de T Les enroulements du transformateur sont faiblement couplés, plus précisément, on supposera que la fcem induite du secondaire vers le primaire est négligeable devant la fem de self induction dans le primaire Dans ces conditions, on a : Zq est l’impédance équivalente du circuit R’, L, C parallèle On obtient finalement : Où A est l’amplitude de IC, elle varie avec la fréquence

MODULATION Zq varie également avec f suivant la courbe en cloche représentant la résonance du circuit RLC. C’est cette courbe que l’on utilise comme caractéristique de discrimination On démodule ensuite l ’amplitude eA par le circuit D, Rs, Cs fR 2Df Q2 On obtient finalement : Où A est l’amplitude de IC, elle varie avec la fréquence