DU TRAITEMENT DU SIGNAL BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3 Thierry PITARQUE Université de Nice - Sophia Antipolis ESINSA I3S pitarque@unice.fr Je vais vous présenter les travaux effectués dans le cadre de ma thèse intitulé … Ces travaux ont été effectués au laboratoire I3S en collaboration avec la DCN ST-Tropez.

Plan du cours I Etude des signaux déterministes continus 1)Notion de signaux et systèmes 2)Energie et puissance 3)Représentation fréquentielle 4)Filtrage II Etude des signaux déterministes discrets 1)L’échantillonnage 2)Signaux déterministes discrets III Le TNS

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 1) Notion d’échantillonnage. - On appelle échantillonnage d’un signal analogique x(t), le fait de prélever régulièrement, tous les Te, les valeurs x(kTe). - On obtient le signal échantillonné x(kTe). Il n’est pas défini entre chaque échantillon. - Te est appelée période d’échantillonnage. - Fe=1/Te est appelée fréquence d’échantillonnage. - Un signal échantillonné est un cas particulier de signal discret. - Un signal discret est un signal défini seulement pour certaines valeurs du temps (x(t0), x(t1), x(t2), …) - On va voir les conditions à respecter pour retrouver le signal analogique à partir des échantillons du signal échantillonné, sans perte d’information. C’est le théorème de Shannon. 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 signaux analogique et échantillonné temps en sec. amp. en volts

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 1) Notion d’échantillonnage. - Un signal quantifié est un signal dont l’amplitude a des valeurs discrètes multiples d’une valeur minimale appelée pas de quantification q. On obtient le signal quantifié xq(t). C’est un signal en marches d’escalier. Ici q= 1V. - Attention il ne faut pas confondre un signal échantillonné avec un signal quantifié ou avec un signal numérique. -Un signal numérique est un signal échantillonné et quantifié. Il est obtenu à l’aide d’un C.A. N. (Convertisseur Analogique Numérique) . 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 signal analogique et signal quantifié temps en sec. amp. en volts 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 signal analogique et signal numérique temps en sec. amp. en volts

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 2) Echantillonnage idéal. Interprétation spectrale. l’échantillonnage idéal est réalisé par la multiplication du signal x(t) par un peigne de diracs de poids 1, régulièrement espacés de Te. Mathématiquement, on définit le signal échantillonné xe(t) : - Attention, xe(t) n’a pas de réalité physique puisque c’est une suite infinie de diracs de poids x(kTe). t -Te Te t -Te Te

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 2) Echantillonnage idéal. Interprétation spectrale. On peut obtenir le spectre du signal échantillonné xe(t) : - Le spectre Xe(f) s’obtient en périodisant en fréquences le spectre X(f) tous les Fe. - d’où le théorème fondamental : Echantillonner en temps Périodiser en fréquences t -Te Te t -Te Te f -Fe Fe f f

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 2) Echantillonnage idéal. Interprétation spectrale. Si le signal x(t) est un signal passe-bas de spectre [-B,B] et si Fe >2B, on peut retrouver x(t) à partir de xe(t) sans perte d’information. Il suffit de filtrer xe(t) par un filtre passe-bas idéal : On ne conservera ainsi que le motif X(f) - Si Fe <2B, on a recouvrement des spectres (aliasing en anglais). On ne pourra plus reconstruire X(f) à partir de Xe(f) et donc remonter au signal x(t) à partir du signal échantillonné xe(t). f f f

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 3) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bas Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bas : Un signal x(t) d’énergie finie de spectre [-B,B] (signal passe-bas) peut être échantillonné sans perte d’information tous les Te si et seulement si la fréquence d’échantillonnage - Ceci signifie qu’on peut reconstruire x(t) pour tout instant t à partir de la suite infinie d’échantillons x(kTe) à l’aide de la formule d’interpolation de Shannon : en sortie du filtre passe-bas idéal de réponse impulsionnelle on a en fréquences : et en temps : Formule d’interpolation de Shannon :

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 3) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bas La formule d’interpolation de Shannon suppose d’avoir une infinité d’échantillons. Elle n’est pas utilisable en pratique pour reconstruire le signal x(t) en temps réel (par exemple générer un son sur un haut-parleur à partir d’un signal discret) et il faudra le faire de façon approchée. Par exemple en limitant le nombre d’échantillons à un nombre fini, on obtient le signal interpolé : Plus N sera grand, plus l’erreur d’interpolation sera faible. On peut aussi interpoler linéairement entre 2 échantillons : pour On peut également “bloquer” le signal sur la durée Te :

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 3) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bas

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 3) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bas En pratique, le théorème de Shannon des signaux passe-bas oblige à échantillonner à une fréquence supérieure à 2 fois la fréquence maximale du signal mais on ne peut pas augmenter cette fréquence sans avoir des problèmes de stockage d’échantillons. Pour de de la parole en téléphonie, B=3400 Hz, on échantillonne le signal à Fe=8000 Hz, soit 8000 échantillons par seconde. Avec une quantification de 8 bits par échantillons , cela fait 64000 bits/sec soit 64kBits/sec. Sur un compact Disc avec du son de qualité hi-fi et en stéréo, B= 20000 Hz et Fe= 44100 Hz. Le signal vidéo de la télévisin est échantillonné à Fe= 6 MHz. Les signaux biomédicaux de l’ordre du Hz sont échantillonnés à Fe =100 Hz.

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 4) Echantillonnage par bloquage. L’échantillonnage idéal n’est pas réalisable en pratique puisque c’est une suite de diracs, mais on réalise l’échantillonnage par bloquage de durée t : Le spectre du signal échantillonné est la périodisation du spectre X(f) multipliée par un sinus cardinal. t -Te Te

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 4) Echantillonnage par bloquage. La durée de bloquage t va avoir une influence sur la largeur du sinus cardinal. Plus t est faible, plus on se rapproche de l’échantillonnage idéal. Pour retrouver le signal de départ à partir du signal échantillonné par bloquage, il faudra utiliser un filtre passe-bas idéal dont le spectre sera compensé par l’inverse du sinus cardinal.

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 5) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bande - On peut considérer un signal passe-bande de spectre [-Fmax,-Fmin] U [Fmin,Fmax] comme un signal passe-bas de spectre [-Fmax, Fmax] et l’échantillonner à Ceci est un gâchis énorme en nombre d’échantillons et c’est inutile ! - Pour un signal x(t) réel d’énergie finie passe_bande de spectre [-Fmax,-Fmin] U [Fmin,Fmax], on peut trouver une fréquence et une demi largeur de bande L’enveloppe complexe par rapport à la fréquence F0 dont le spectre est [-B, B] peut être échantillonnée à la fréquence Fe, pour donner le signal en utilisant le théorème de Shannon des signaux passe-bas avec sans perte d’information :

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 5) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bande Pour reconstruire le signal de départ , on utilisera la formule : L’enveloppe complexe est traitée comme 2 signaux, sa partie réelle px(t) et sa partie imaginaire qx(t) : px(t) et qx(t) sont appelées composante en phase et composante en quadrature de l’enveloppe complexe du signal x(t) par rapport à la fréquence F0. Q est le filtre quadrateur de Hilbert, un multiplieur, un additionneur et un soustracteur. X + X +

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 5) Théorème d’échantillonnage de Shannon des signaux passe-bande - Pour filtrer des signaux passe-bande on a le choix entre : La deuxième solution est nettement moins coûteuse en échantillons et en temps de calcul !

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 6) Filtrage antirepliement. Pour de nombreux signaux physiques, le spectre du signal X(f) n’est pas connu parfaitement. De plus il existe toujours un bruit de fond dû au milieu de mesure ou aux capteurs ou aux circuits d’amplification. D’où la difficulté de connaître la fréquence maximale B du signal afin de l’échantillonner correctement en suivant le théorème de Shannon. On n’a pas intérêt à choisir B trop grand car on augmente l’effet du bruit et on peut avoir du repliement spectral : Par exemple , soit un signal de parole de spectre [-B, B] avec B=3000 Hz, échantillonnée à Fe = 8000 Hz. Il existe une interférence non volontaire à la fréquence Fi=6000 Hz. Le spectre du signal analogique parole+interférence avant échantillonnage est le suivant :

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 6) Filtrage antirepliement. Le spectre du signal analogique parole+interférence après échantillonnage est obtenu par périodisation tous les Fe du spectre : On obtient le spectre Xe(f) du signal échantillonné suivant : On a repliement de l’interférence dans la bande de fréquence du signal de parole. Après le filtre passe-bas idéal d’interpolation, on retrouve le signal de parole et l’interférence à la fréquence Fe-Fi.

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 6) Filtrage antirepliement. Il est nécessaire de s’assurer que le signal analogique ne contient aucune fréquence au delà de B. On utilise avant tout échantillonnage un filtre passe-bas analogique dit d’antirepliement. Pour un filtre antirepliement idéal La fréquence repliée la plus proche Fe-B ne doit pas recouvrir la fréquence max B. D’où

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 6) Filtrage antirepliement. Dans la réalité on a un filtre antirepliement avec une pente de P dB/octave. - On cherche le compromis entre la pente P et la fréquence d’échantillonnage Fe=n.B avec n réel >2. On souhaite éloigner au maximum la fréquence repliée pour éviter le recouvrement du spectre centré sur Fe. Si l’atténuation du filtre d’antirepliement est 0 dB à la fréquence B et A dB à la fréquence Fe-B, on souhaite que A soit le plus grande possible. Par exemple pour A=40dB, le recouvrement est inférieur à 10-2. La fréquence repliée la plus proche Fe-B ne doit pas recouvrir la fréquence max B. D’où

II Etude des signaux déterministes discrets 1) L’échantillonnage 6) Filtrage antirepliement. La pente du filtre permet de lier A, Fe et B Pour A=-40 dB, Fe=4B, soit un filtre passe-bas d’antirepliement analogique équivalent à un 4ème ordre. Pour A=-40 dB, Fe=2.5B, soit un filtre passe-bas d’antirepliement analogique équivalent à un 11ème ordre. - En pratique on choisit Fe/B entre 2.5 et 5.