Factorisation de trinômes ax2 + bx + c Remarque : Tu devrais visionner la présentation : Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci.

? x2 + 5x + 6 x (x + 3) + 2 (x + 3) x2 + 3x + 2x + 6 x2 + 5x + 6 Factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, c’est retrouver les facteurs qui l’ont produit. Exemple : (x + 2) (x + 3) Développer x2 + 5x + 6 Factoriser ? x (x + 3) + 2 (x + 3) Ce terme est le regroupement de 2 termes, x2 + 3x + 2x + 6 mais lesquels ? 1x + 4x ? Termes semblables, donc on les regroupe. 7x – 2x ? x2 + 5x + 6 3x + 2x ? Pour retrouver ces 2 termes, il faut une méthode.

x2 + 5x + 6 x2 X 6 = Méthode T1 T2 T3 Appelons le premier terme : T1 Appelons le deuxième terme : T2 Appelons le troisième terme : T3 Pour décomposer le terme du milieu, il faut trouver 2 termes qui respectent, en même temps, les 2 conditions suivantes : - les 2 termes multipliés doivent être égaux à T1 X T3 x2 X 6 = 6x2 - les 2 termes additionnés doivent être égaux à T2 5x T1 X T3 = 6x2 T2 = 5x 3x 2x 3x 2x X = 6x2 3x 2x + = 5x Les 2 termes sont donc 3x et 2x.

x2 + 5x + 6 x2 + 2x + 3x + 6 x2 + 2x + 3x + 6 x x ( ) x + 2 x + 2 Lorsque ces 2 termes sont déterminés, on remplace le terme du milieu par ceux-ci; x2 + 5x + 6 x2 + 2x + 3x + 6 on termine par une double mise en évidence. x2 + 2x + 3x + 6 x 3 x ( ) x + 2 + 3 ( ) x + 2 (x + 2) (x + 2) (x + 3)

x2 + 6x + 8 x2 + 4x + 2x + 8 x x ( ) x + 4 x + 4 Problèmes Factorise T1 X T3 = 8x2 T2 = 6x 4x 2x x 2 x ( ) x + 4 + 2 ( ) x + 4 (x + 4) (x + 4) (x + 2)

x2 + 8x + 15 x2 + 5x + 3x + 15 x x ( ) x + 5 x + 5 Factorise T1 X T3 = 15x2 T2 = 8x 5x 3x x 3 x ( ) x + 5 + 3 ( ) x + 5 (x + 5) (x + 5) (x + 3)

x2 + 3x - 18 x2 + 6x - 3x - 18 x x ( ) x + 6 x + 6 x2 - 3x - 18 Factorise x2 + 3x - 18 x2 + 6x - 3x - 18 T1 X T3 = - 18x2 T2 = + 3x + 6x - 3x x -3 x ( ) x + 6 - 3 ( ) x + 6 (x + 6) (x + 6) (x - 3) Factorise x2 - 3x - 18 x2 - 6x + 3x - 18 T1 X T3 = - 18x2 T2 = - 3x - 6x +3x x 3 x ( ) x - 6 + 3 ( ) x - 6 (x - 6) (x - 6) (x + 3)

x2 - 5x - 14 x2 - 7x + 2x - 14 x x ( ) x - 7 x - 7 x2 - 5x - 14 Factorise x2 - 5x - 14 x2 - 7x + 2x - 14 T1 X T3 = - 14x2 T2 = - 5x - 7x + 2x x 2 x ( ) x - 7 + 2 ( ) x - 7 (x - 7) (x + 2) (x - 7) Démarche exigée : x2 - 5x - 14 x2 - 7x + 2x - 14 + 2 ( ) x ( ) x - 7 (x - 7) (x + 2) Remarque : Connaître ses tables de multiplication et d’addition est, ici, un facteur important.

x2 - 11x + 28 x2 - 7x - 4x + 28 x ( ) x - 7 x - 7 Factorise T1 X T3 = 28x2 T2 = - 11x - 7x - 4x x2 - 7x - 4x + 28 x ( ) x - 7 - 4 ( ) x - 7 (x - 7) (x - 4)

Factorise 6x2 + 13x + 5 T1 X T3 = 30x2 T2 = 13x 10x 3x 6x2 + 3x + 10x + 5 3x ( ) 2x + 1 + 5 ( ) 2x + 1 (2x + 1) (3x + 5)

x - 2 x - 2 Factorise 6x2 - 17x + 10 T1 X T3 = 60x2 T2 = - 17x - 12x 6x2 - 12x - 5x + 10 6x ( ) x - 2 - 5 ( ) x - 2 (x - 2) (6x - 5)

x + 11 x + 11 Factorise 2x2 + 27x + 55 T1 X T3 = 110x2 T2 = 27x 22x 5x + 5 ( ) x + 11 (x + 11) (2x + 5) Il n’est pas toujours facile de déterminer les deux termes. Utiliser la technique de décomposition en facteurs premiers peut aider : 1) Déterminer les facteurs premiers du terme obtenu par T1 X T3 : Exemple : 110 = 2 X 5 X 11 2) Faire des regroupements par addition pour obtenir T2 : Exemple : (2 X 5) + 11 = 21 (2 X 11) + 5 = 27 10 + 11 = 21 22 + 5 = 27 non oui

x - 2 x - 2 Factorise 4x2 - 2x - 12 T1 X T3 = - 48x2 T2 = - 2x - 8x 4x2 - 8x + 6x - 12 4x ( ) x - 2 + 6 ( ) x - 2 (x - 2) (4x + 6) Ce binôme n’est pas assez factorisé. 4x2 - 2x - 12 Ce polynôme contient 3 facteurs : 2 (2x + 3) (x – 2) La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.

La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes. 4x2 - 2x - 12 2 (2x2 - x – 6) T1 X T3 = - 12x2 T2 = - x - 4x + 3x 2 (2x2 - 4x + 3x - 6) + 3 ( ) 2 (2x ( ) x - 2 x – 2 ) (2x + 3) (x - 2) 2

Problèmes Sachant que le polynôme 3x2 + 11x + 6 représente l’aire de ce rectangle, détermine l’expression algébrique représentant son périmètre. 3x2 + 11x + 6 1) Factoriser le polynôme pour connaître les dimensions du rectangle : 3x2 + 11x + 6 T1 X T3 = 18x2 T2 = 11 x 9x 2x 3x2 + 9x + 2x + 6 3x ( ) x + 3 + 2 ( ) x + 3 (3x + 2) (x + 3) 2 ) Calculer le périmètre : P = 2 (L + l) P = 2 (3x + 2 + x + 3) = 2 (4x + 5) = 8x + 10

Pour quelles valeurs de x , le polynôme x2 – 9x + 20 est – il égal à zéro ? 1) Factoriser le polynôme : x2 - 9x + 20 = 0 T1 X T3 = 20x2 T2 = - 9x - 5x - 4x x2 - 5x - 4x + 20 = 0 x ( ) x - 5 - 4 ( ) x - 5 = 0 (x - 4) (x - 5) = 0 (x - 5) (x - 4) = 0 2) Loi du produit nul : Soit x - 4 = 0, donc x = 4 4 , 5 Soit x - 5 = 0, donc x = 5 Les servent à énumérer un ensemble de réponses. Remarque :

Un prisme à base rectangulaire a un volume représenté par l’expression algébrique (4x3 + 44x2 + 127x + 105) cm3. Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si la hauteur du prisme est représentée par 2x + 3 ? 1) Déterminer l’expression algébrique représentant la base du prisme : Volume = Aire base X hauteur Aire base = volume hauteur 4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 3 4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 3 + 127x + 105 + - - 4x3 + 6x2 - 2x2 + 19x + 35 + 38x2 + 105 + - + 38x2 - - + 57x + 70x - + 70x - + 105 - 0 0 L’expression algébrique représentant l’aire de la base est (2x2 + 19x + 35) cm2.

x + 7 x + 7 2) Factoriser : 2x2 + 19x + 35 T1 X T3 = 70x2 T2 = 19x 14x 2x2 + 14x + 5x + 35 2x ( ) x + 7 + 5 ( ) x + 7 (x + 7) (2x + 5) Les dimensions de la base du prisme sont (2x + 5) cm et (x + 7) cm.

(4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) 1) Déterminer l’expression algébrique représentant l’aire du rectangle : Longueur X largeur Aire = (4x – 2) (4x + 18) Aire = 4x (4x – 2) + 18 (4x – 2) Aire = 16x2 - 8x + 72x - 36 Aire = 16x2 + 64x - 36 Aire =

(4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) 2) Déterminer l’équation : 16x2 + 64x - 36 Aire = 16x2 + 64x - 36 684 = 3) Ramener l’équation à 0 : 16x2 + 64x - 36 684 = - 684 16x2 + 64x - 720 0 =

(4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) 4) Déterminer les valeurs de x par factorisation et par la loi du produit nul : 16x2 + 64x - 720 0 = 0 = 16 (x2 + 4x – 45) Simple mise en évidence. 0 = 16 (x - 5) (x + 9) Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x, donc si x – 5 = 0 alors x = 5, si x + 9 = 0 alors x = - 9. À rejeter; en géométrie, on ne peut pas avoir une valeur négative.

0 = 16 (x + 9) (x - 5) Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x. Preuve : 16x2 + 64x - 720 0 = 16x2 - 80x + 144x - 720 T1 X T3 = - 11 520x2 T2 = 64x 144x - 80x 16x (x – 5) + 144 (x – 5) (16x + 144) (x – 5) Si 16x + 144 = 0 alors 16x = -144 Si x – 5 = 0 alors x = 5 16 x = - 9 Réponse : 5 cm

(4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) Validation 16x2 + 64x - 36 684 = Pour x = 5 16 X 52 + 64 X 5 - 36 684 = 400 + 320 - 36 684 = 720 - 36 684 = 684 684 = Remarque : La factorisation et la loi du produit nul sont deux méthodes permettant de résoudre une équation du second degré.