Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #3: Réponse en fréquence, Conception d’un système de commande & Exercices Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Cours # 3 Bref rappel du cours #2: Réponse en fréquence Transformée unilatérale de Laplace: Utilisation des tables Transformée inverse par décomposition en fractions partielles (3 cas) Fonctions de transfert Simplification des diagrammes fonctionnels (Schéma blocs) Réponse temporelle des systèmes Nouveau : Présentation de l’applet « Exploration du plan-s » Réponse en fréquence Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Cours #3 Conception de boucles de commande (1ère partie) Exercices: Analyse de la réponse en régime transitoire Analyse de la réponse en régime permanent Exercices: Issus des questionnaires d’examen Autres Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (I) Transformée unilatérale de Laplace Rappel - la transformée unilatérale de Laplace est définie comme: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (II) Transformée unilatérale de Laplace Nous avions présenté 8 propriétés: Et deux théorèmes: Valeur initiale: Valeur finale: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (III) Transformée inverse & décomposition en F Retour sur le cours #2 (III) Transformée inverse & décomposition en F.P. 1er cas – Les pôles de la fonction à décomposer sont réels et distincts: 2e cas – Les pôles sont réels et complexes: 3e cas – Les pôles sont réels et multiples: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (IV) Fonctions de transfert La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Elle représente la sortie sur l’entrée: Y(s) R(s) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (V) Simplification des diagrammes fonctionnels 1) 2) 3) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (VI) Simplification des diagrammes fonctionnels 4) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (VII) Simplification des diagrammes fonctionnels 5) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (VIII) Réponse temporelle d’un système Système normalisé du premier ordre (forme standard d’un système de 1er ordre): Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre: En appliquant un échelon à l’entrée du système, la valeur finale de la sortie du système est K: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (IX) Réponse temporelle d’un système Système normalisé du deuxième ordre (forme standard d’un système de 2e ordre): Les pôles du système sont situés en: 1) Si : Système sur-amorti 2) Si : Système avec amortissement critique 3) Si : Système sous-amorti Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (X) Réponse temporelle d’un système 1) 2) 3) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (XI) Réponse temporelle d’un système Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (XII) Réponse temporelle d’un système Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Retour sur le cours #2 (XIII) Exploration du plan s http://www.jproberge.net/plan-s.html Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Cours #3

Réponse en fréquence (I) Introduction: Qu’est-ce que la réponse en fréquence? R: Le nom le dit, il s’agit de la réponse d’un système en régime permanent vis-à-vis un signal d’entré qui varie à une certaine fréquence. Q: Pourquoi est-il intéressant de s’intéresser à la réponse en fréquence? R: Il existe plusieurs raisons pour lesquelles il est intéressant et important de se soucier de la réponse en fréquence: Technique d’analyse très facile à expérimenter en pratique (facile à réaliser, fiable…) Nous renseigne énormément aux niveaux des caractéristiques du système (surtout par rapport à la réponse transitoire) Permet même, dans certains cas, l’identification de la fonction de transfert d’un système lorsqu’on ne la connait pas a priori. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (II) Le concept de la réponse en fréquence Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω. En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale: La sortie du système est donc: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (III) Le concept de la réponse en fréquence On s’intéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses: En régime permanent: Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t→∞, le système est oscillant et: Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de l’entrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (IV) Le concept de la réponse en fréquence Prouvons maintenant que: Par décomposition en fractions partielles: Identifions maintenant les éléments K1 et K2: Donc, on peut ré-écrire: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (V) Le concept de la réponse en fréquence Évaluons maintenant la transformée inverse de ce dernier résultat: ** Ce qu’il fallait démontrer Et puisque: On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence d’un système est entièrement déterminée par: En effet, puisque: la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |G(jw)| fois celle de l’entrée, et avec un déphasage de G(jw) par rapport à l’entrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (VI) Le concept de la réponse en fréquence Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe G(jw), on appelle G(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |G(jw)| où |G(jw)| est en décibel (20 log10 |G(jw)|) ; et Un graphique de G(jw) en degrés. L’abscisse est à l’échelle logarithmique pour ces deux graphiques. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (VII) Le concept de la réponse en fréquence La réponse en fréquence d’un système G(s) peut être représenté dans le domaine fréquentiel par: Où: La norme et la phase sont donc données par: Attention: Dans le diagramme de Bode, l’ordonnée du premier graphique est en décibel, donc 20log10(|G(jw)|). Le deuxième graphique représente directement φ(w). Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (VIII) Système du premier ordre Considérons un système de premier ordre: La fréquence 1/τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade. Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (IX) Système du premier ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (X) Système du premier ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XI) Système du premier ordre Démonstration d’un outil Matlab: Tf() ltiview Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XII) Système du deuxième ordre Considérons un système du deuxième ordre: Que l’on peut ré-écrire: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XIII) Système du deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XIV) Système du deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XV) Système du deuxième ordre Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) : et la valeur de |G(jw)| est donnée par: Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser l’approximation : Pour = 0.707, la fréquence wn est la fréquence de coupure avec une atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de 0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence wn. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XV) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XVI) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XVII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XVIII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XIX) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XX) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XXI) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XXII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XXIII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Réponse en fréquence (XXIV) Exemple Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (I) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (II) La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire: P: dépassement (en %), en anglais : overshoot Tp: Temps de dépassement Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%) Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon) Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe) 3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante Mm: Gain à la résonance 4) L’atténuation des perturbations Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (III) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (IV) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (V) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (VI) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (VII) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (VIII) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (IX) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (X) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Conception de boucles de commande (XI) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Exercices (I) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Exercices (II) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Exercices (III) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Exercices (IV) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Exercices (V) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Références Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop Control Systems Engineering – Norman S. Nise Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle Linear System Theory – Wilson J. Rugh Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011