Les multiperspectives du lemme de Yoneda pour comprendre la musique Alexandre Grothendieck Guerino Mazzola U & ETH Zürich guerino@mazzola.ch www.encyclospace.org

Lemme de Yoneda Exemples dans la musique Isomorphisme Riemann-Fux

Lemme de Yoneda Exemples dans la musique Isomorphisme Riemann-Fux

Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie C: F: C  Ens: A ~> F(A) A = adresse f A@F „point de F à valeur dans A“ A@F avec des applications de transition u@F: B@F  A@F pour u: A  B ayant ces propriétés: 1A@F = 1A@F v: A  B, u: B  C u·v: A  C (u·v)@F = v@F · u@F préfaisceaux = foncteurs contravariants

C@ = catégorie des préfaisceaux sur C Morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturelles h: F  G Propriétés: Pour toute adresse A, on a une application d‘ensembles A@h: A@F  A@G de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A  B dans C: B@F B@G B@h u@F u@G A@F A@G A@h C@ = catégorie des préfaisceaux sur C

A@g: A@X  A@Y: u ~> g·u Exemple: Préfaisceaux représentables. Pour un objet X de C, on définit @X: C  Ens A@X = Hom(A,X) = hX(A) Cette application X ~> @X définit le foncteur de Yoneda: @: C  C@ g: X  Y A@g: A@X  A@Y: u ~> g·u @: Hom(X,Y)  Hom(@X,@Y)

Lemme de Yoneda Le functeur @: C ® C@ est pleinement fidèle: @: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y) En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y C@ @C C

Esquisse de la preuve. Le lemme découle d‘un énoncé plus général: Pour tout objet X de C et pour tout préfaisceau F de C@, on a une bijection a: X@F ® Hom(@X, F) Pour tout f ÎX@F et tout morphisme g:A ® X de C, on pose a(f)(g) = g@F(f) Son inverse est b: Hom(@X, F) ® X@F ayant pour la transformation naturelle q: @X ® F la valeur b(q) = X@q(IdX) Finalement, prendre F = @Y, d‘où lemme de Yoneda.

Euclide d‘Alexandrie: punctus est cuius pars nulla est Alexandre Grothendieck

C = Mod: Modules A,B,... = objets (adresses); morphismes (di)affines g: A ® B g = Tb ·f f:A ® B (di)linéaire Tb: B ® B: x ~> b+x g(x) = Tb ·f(x) = b+f(x) A@B = TB ·Lin(A,B) A = 0 0@B = TB ·Lin(0,B) ª B Les point zéro-adressés sont les points usuels (ensemblistes)!

C@ est un topos! Ens produits cartésiens X  Y Mod@ F: Mod —> Ens préfaisceaux ont toutes ces propriétés Ens produits cartésiens X  Y réunions disjointes X È Y ensembles puissance XY charactéristiques c: X —> 2 pas d‘„algèbre“ C@ est un topos! Mod sommes directes A≈B possède de l‘„algèbre“ pas d‘ensembles puissance pas de charactéristiques @

Lemme de Yoneda Exemples dans la musique Isomorphisme Riemann-Fux

Objet (zéro) ponctuel d‘Euclide x Classes d‘hauteurs (demi-tons) tempérées 2 4 5 7 9 11 O = { } Objet (zéro) ponctuel d‘Euclide x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ÿ12 Ÿ12 ª 0@Ÿ12

Ÿ12 S A@B = TB ·Lin(A,B) A = Ÿ11, B = Ÿ12 (R = Ÿ) série: S Î Ÿ11@Ÿ12 = TŸ12 ·Lin(Ÿ11, Ÿ12) ª Ÿ1212

I II III IV V VI VII

F T = 2 objet de vérité (booléen) pour ensembles  objet ponctuel d‘Euclide O = { }  II accord = morphisme de Ÿ12 dans objet de vérité F T Ÿ12 =

Lemme de Yoneda Exemples dans la musique Isomorphisme Riemann-Fux

= {do, mi, sol} = triade majeure  do = 0  (p) = 3p+7 Ÿ12 Accords circulaires do {do, (do), 2(do),...} = {do, mi, sol} = triade majeure sol  do = 0  (p) = 3p+7  mi 

On a un modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann: tons auto-adressés x O x: O ® Ÿ12 x: Ÿ12 ® Ÿ12 objet ponctuel d‘Euclide O = { } z: Ÿ12 ® Ÿ12 z Ο12@Ÿ12

Modèle de l‘harmonie de Riemann (Noll 1995) Dt triade de dominante {sol, si, re} Tc triade de tonique {do, mi, sol} f Trans(Dt,Tc) = < fŸ12@Ÿ12 | f: Dt ® Tc >

Ÿ12  Ÿ3 Ÿ4 z ~> (z mod 3, -z mod 4) 4.u+3.v <~ (u,v) 8 11 4 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 10 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Ÿ12 Ÿ12[e]= Ÿ12[X]/(X2) c+e. Ÿ12 c c+e.d

Dichotomie consonance-dissonance Ÿ12 = K D disjoint, #K = #D = 6 K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11} Ke = Ÿ12 +e.{0, 3, 4, 7, 8, 9} = intervalles consonants De = Ÿ12 +e.{1, 2, 5, 6, 10, 11} = intervalles dissonants

T e.2.5 a + e.b Ke = Ÿ12 +e.{0,3,4,7,8,9} = consonances De = Ÿ12 +e.{1,2,5,6,10,11} = dissonances

Ÿ12  Dt, Tc Ÿ12  0 @ Ÿ12 Ÿ12 ƒ Ÿ[e]  Ÿ12[e] ƒe Ÿ12 @ Ÿ12 Ke, De  changer adresse tons constants intervalles unisson Ke, De  Trans(Dt,Tc)  Ÿ12 [e] @ Ÿ12 [e]  0 @ Ÿ12[e] changer adresse ƒe (Ÿ12 @ Ÿ12) ƒ Ÿ[e] ext. scalaires intervalles constants  Trans(Ke,Ke) 

Trans(Dt,Tc) = Trans(Ke,Ke)|ƒe Ÿ12 Ke, De ƒe ch.ad ch.ad Trans(Dt,Tc) = Trans(Ke,Ke)|ƒe Ÿ12 @ Ÿ12 Ÿ12 [e] @ Ÿ12 [e] ƒe Trans(Dt,Tc) Trans(Ke,Ke)

Birkhäuser 2002 1368 pages, hardcover incl. CD-ROM ISBN 3-7643-5731-2 English

B M Í B M Í R@B A@B = TB.Lin(A,B) A = R R@B = TB.Lin(R,B) ª B2

Ruban harmonique de la gamme majeure C(3) IV II VI V III VII