Guerino Mazzola U & ETH Zürich Composition et Analyse P OUR UNE MUSICOLOGIE EXPERIMENTALE Analyse/(re)synthèse de la sonate op.106 Hammerklavier de Ludwig van Beethoven

' op.3 x'x'x'x' coordonnées analytiques M modèleanalytique oeuvresreprésentationsscientifiques U = M (x) = M (x) op.106x Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de un geste boulezien

Schéma de la forme sonate pour le mouvement allegro dans op.106 de Ludwig van Beethoven !! !

4:50 Modulation de type normal: G E b

Modulation de type catastropheE b (3) D (3) ~ b (3) Modulation de type catastrophe: E b (3) D (3) ~ b (3) 6:00

Thèses dErwin Ratz (1973) et Jürgen Uhde (1974) Ratz: La sphère des tonalités de lop. 106 est polarisée dans un monde centré autour Si-bémol majeur, la tonalité principale de cette sonate, et un antimonde autour de Si mineur. Uhde: Quand on change entre les mondes de Ratz - un événement qui a lieu deux fois dans le mouvement allegro - alors les procès de modulation deviennent dramatiques. Ils sont complètement differents dautres modulations, et Uhde les appelle catastrophes. Si mineur Si-bémol majeur

Vieille tonalité degrés neutres (I Do, VI Do ) degrés pivots (II Fa, IV Fa, VII Fa ) Nouvelle tonalité degrés de cadence (II Fa & V Fa ) Arnold Schönberg: Harmonielehre (1911) Que est le ensemble des tonalités?Que est le ensemble des tonalités? Quest-ce quun degré?Quest-ce quun degré? Quest-ce quune cadence?Quest-ce quune cadence? Quel est le méchanisme de modulation?Quel est le méchanisme de modulation? Comment ces structures determinent-elles les degrés pivots?Comment ces structures determinent-elles les degrés pivots?

espace Ÿ 12 des classes dhauteurs pour le tempérament égal douze gammes diatoniques: C, F, B b, E b, A b, D b, G b, B, E, A, D, G gamme = partie de Ÿ 12 C Do, Fa, Si b, Mi b, La b, Re b, Sol b, Si, Mi, La, Re, Sol

I IVVIIIIIVIVII

I IV II VI V III VII Ruban harmonique de la gamme majeure C (3)

C (3) F (3) B b (3) E b (3) A b (3) D b (3) G b (3) B (3) E (3) A (3) D (3) G (3) Dia (3) interprétationstriadiques

S (3) espace de paramètres de cadence S (3) k 1 (S (3) ) = {II S, V S } S (3) k 2 (S (3) ) = {II S, III S } S (3) k 3 (S (3) ) = {III S, IV S } S (3) k 4 (S (3) ) = {IV S, V S } S (3) k 5 (S (3) ) = {VII S } k S (3) k(S (3) )

S (3) T (3) gluon force forte W+W+ force faible force éléctromagnétique graviton gravitation force = symétrie entre S (3) et T (3) S (3) et T (3) quantum = ensemble de classes dhauteurs = M kk

S (3) T (3) kk A etet e t.A etet modulation S (3) T (3) = cadence + symétrie modulation S (3) T (3) = cadence + symétrie

S (3) T (3) kk Etant donnée une modulation k, g:S (3) (3) g M Un quantum pour la modulation (k,g) est un ensemble M de classes dhauteurs de sorte que: la symétrie g est une symétrie de M, g(M) = M la symétrie g est une symétrie de M, g(M) = M les degrés dans k( (3) ) sont contenus dans M les degrés dans k( (3) ) sont contenus dans M M T est rigide, i.e., na pas de symétries non-triviales M T est rigide, i.e., na pas de symétries non-triviales M est minimal avec les deux premières conditions M est minimal avec les deux premières conditions

Theorème de modulation pour tempérament égal Pour deux tonalités différentes S (3), (3) il existent une modulation (k,g) et une modulation (k,g) et un quantum M pour (k,g) un quantum M pour (k,g) (= modulation quantisée) De plus: M est lunion des degrés dans S (3), (3) contenus dans M qui ainsi définissent linterprétation triadique M (3) de M M est lunion des degrés dans S (3), (3) contenus dans M qui ainsi définissent linterprétation triadique M (3) de M les degrés communs de (3) et M (3) sont appelés les degrés de modulation de (k,g) les degrés communs de (3) et M (3) sont appelés les degrés de modulation de (k,g) la modulation (k,g) est uniquement determinée par les degrés de modulation. la modulation (k,g) est uniquement determinée par les degrés de modulation.

C (3) E b (3) M (3) VEbVEbVEbVEb VII E b II E b III E b VCVC IV C VII C II C

Theorème (cas 12-temperé) de modulation pour les gammes de 7 tons S et interprétations triadiques S (3) (Daniel Muzzulini) q-modulation = modulation quantisée (1) S (3) est rigide. Pour une telle gamme, il existe au moins une q-modulation. Pour une telle gamme, il existe au moins une q-modulation. Le maximum de 226 q-modulations est atteint par la gamme mineure harmonique #54.1, le minimum de 53 q-modulations a lieu pour la gamme #41.1. Le maximum de 226 q-modulations est atteint par la gamme mineure harmonique #54.1, le minimum de 53 q-modulations a lieu pour la gamme #41.1. (2) S (3) nest pas rigide. Pour les gammes #52 et #55, il y a des q-modulations excepté pour t = 1, 11; pour #38 et #62, il y a des q-modulations excepté pour t = 5,7. Tous les 6 autre types ont au moins une q-modulation. Pour les gammes #52 et #55, il y a des q-modulations excepté pour t = 1, 11; pour #38 et #62, il y a des q-modulations excepté pour t = 5,7. Tous les 6 autre types ont au moins une q-modulation. Le maximum de 114 q-modulations a lieu pour la gamme mineure melodique #47.1. Parmis les gammes avec q-modulations for tout t, la gamma majeure #38.1 en a un minimum de 26. Le maximum de 114 q-modulations a lieu pour la gamme mineure melodique #47.1. Parmis les gammes avec q-modulations for tout t, la gamma majeure #38.1 en a un minimum de 26.

presto presto ®

Classes de motifs à 3-éléments M Ÿ generique

temps paramètres de percussion 62^ Rétro-gradede62^ 62^ R(62^)

3:18-5:4812/8M.1-6 m1m1m2m1m2m3m1m2m3m4m1m2m3m4m5m1m2m3m4m5m6,m7 M.7-12 m1m1m2m1m2m3m1m2m3m4m1m2m3m4m5m1m2m3m4m5m6,m7 R M pivots de modulation 2 nde tonique à 9/8 de m nd système de mesures 2 nd système de mesures

Ludwig van Beethoven: op.130/Cavatina/ # 41 Inversion e b E b (3) B (3) Inversion e b : E b (3) B (3) 4:00

e be be be b E b (3) b B (3) Inversion e b

Inversion d b G (3) E b (3) Inversion d b : G (3) E b (3) dbdbdbdbgg # # :50

do re mi-bémol fa sol la si Do-mineur mélodique remplace ton dune octave plus haut au lieu de ton de durée double pivot Gruppen und Kategorien in der Musik, p.107

CatastropheE b (3) D (3) ~ b (3) Catastrophe : E b (3) D (3) ~ b (3) 6:00

C (3) B b (3) E b (3) D b (3) G b (3) E (3) A (3) G (3) Thèse:La structure de modulation de lop. 106 est gouvernée par les symétries de laccord de septième diminuée C # -7 = {c #, e, g, b b } dans le rôle des forces de modulation admises. F (3) A b (3) B (3) D (3) ~ b (3) Exposition Reprise Développement Coda

C (3) F (3) B b (3) E b (3) A b (3) D b (3) G b (3) B (3) E (3) A (3) D (3) G (3) Aut(C # - 7 )

C (3) B b (3) E b (3) D b (3) G b (3) E (3) A (3) G (3) F (3) A b (3) B (3) D (3) ~ b (3)

e -3 U g * U d/d # * U b b U a/a b e 3 Modulateurs dans op. 106/allegro Exposition Exposition Reprise Reprise Développement Développement Coda Coda B b G G E b D/b B b B b G b G B b B b B b G G E b D/b B b B b G b G B b B b symétries de transposition!

Transposition -3 B b (3) G (3) Transposition -3 : B b (3) G (3) VII G

Transpositions limitées à une tierce mineure zigzag motivique

zigzag motivique dans op.106 m

m

L 3

' op.3 x'x'x'x' coordonnées analytiques M modèleanalytique oeuvresreprésentationsscientifiques U = M (x) = M (x) op.106x Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de un geste boulezien

Sonate für Klavier Aut G (Messiaen III)\DIA (3) (1981) Gruppen und Kategorien in der Musik Heldermann, Berlin 1985 Construction sur 58 pages 99 mesures, mètre 12/8, Do-majeur Lessence du bleu Acanthus, Bern 2002 CD: Patrizio Mazzola

(Acanthus 2002) CD: Patrizio Mazzola, piano

Op. 106Op. 3 Schéma global tierce mineure tierce mineure gamme Messiaen 2 transposition limitée tierce majeure tierce majeure gamme Messiaen 3 transposition limitée Aut Ÿ (C # -7 ) = {+1} x e 3 Ÿ 12 Aut Ÿ (C # + ) = {+1} x e 4 Ÿ 12

B b (3) A b (3) E (3) D (3) C (3) G b (3) Thèse: La structure de modulation de lop. 3 est gouvernée par les symétries de la triade augmentée C # + = {c #, f, a} dans le rôle des forces de modulation admises. G (3) B (3) E b (3) F (3) D b (3) A (3) Exposition Reprise Développement Coda

C B b G b G b A b E E F F C C B b G b G b A b E E F F C U c # e -4 U a e -4 * e -4 * U c # e -4 U a e -4 * e -4 * Modulateurs dans op. 3 DéveloppementExpositionReprise Coda Coda

Schéma de zigzag motivique tierce mineure tierce mineure gamme Messiaen 2 transposition limitée tierce majeure tierce majeure gamme Messiaen 3 transposition limitée

thème principal C C motif générique début

Ruban motivique du zigzag (15) (15) (10) (11) (19) (19) (20) (2) (16)

Noyau du développement U2U2U2U2 A B C D E F A B C D E F

dbdbdbdb Matrice du noyau A B C D E F dbdbdbdb f a DrDrDrDr DlDlDlDl

DrDrDrDr DlDlDlDl m , dans G b 4:36-5:13

DrDrDrDr DlDlDlDl Modulation dans le noyau du développement (m ) U a : G b A b UaUaUaUa Ua(Dl)Ua(Dl)Ua(Dl)Ua(Dl)

V II(I)IV VII C# +C# +C# +C# + 5:12-5:48

ruban harmonique ruban motivique quantum de modulation

K KJKJKJKJ

a d b c KIKIKIKI

On a la construction universelle dune résolution de K I On a la construction universelle dune résolution de K I res: K I K I K I K I KIKIKIKI res

KIKIKIKI res