_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 133 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Partie 4 B: Homogénéisation des milieux aléatoires Bornes et estimations dordre deux 1 Principes généraux 1.1 Microstructure et information statistique 1.2 Chargement macrohomogène 2 Matériaux biphasés 2.1 Polarisations locales et moyennes par phases 2.2 Estimations de Hashin et Shtrikman 2.3 Bornes de Hashin et Shtrikman 2.4 Estimation de Mori et Tanaka 2.5 Estimation autocohérente

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 134 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.1 Microstructure et information statistique Milieux aléatoires : Volume V fini constitué de r phases linéaires et homogènes occupant des volumes V r disjoints et complémentaires. Probabilité dordre deux (ou covariances) : C rs (h) : fractions volumiques des diverses phases probabilité que y phase r et que y+h phase s. Information statistique : isotropie de distribution des phases 1. Inclusion dans un milieu

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 135 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 1.2 Chargement macrohomogène V soumis à un chargement macrohomogène : et ont 2 échelles de variation : – fluctuent à léchelle locale (microscopique) – des domaines R(x) connexes, translatés en x dun domaine de référence R ( volume élémentaire ), tel que : Champs macroscopiques quasi uniformes ou fluctuant à une échelle supérieure à celle de V.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 136 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Chargement et champs macroscopiques Déplacement macro : Écart entre déplacement réel u et ce champ macro : sont considérés uniformes à léchelle de V. S passant par x et de normale n : u´ fluctuation locale dintensité bornée avec

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 137 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Conséquences de la macrohomogénéité : Indépendance des fluctuations du champ local vis à vis du détail des conditions aux limites : Calcul de et loin du bord de V sans connaître le détail des conditions aux limites sur V. Lemme de Hill (relation de macrohomogénéité)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 138 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Modules effectifs Tenseur de localisation A(x) : Un domaine V formé de constituants hétérogènes, soumis à un chargement macrohomogène se comporte comme un domaine homogène soumis à un même chargement, de même géométrie, et de modules effectifs équivalents L H (M H ). Tenseur de concentration B(x) : L H = M H = et par définition énergétique

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 139 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Il suffit de connaître les moyennes des tenseurs de localisations des (n-1) phases de V pour calculer les propriétés linéaires effectives de V. Malheureusement cette opération est impossible :description incomplète et complexe de la microstructure. ESTIMATIONS - Infos STATISTIQUES Ici: Approches en LOCALISATION

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 140 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Matériaux biphasés Champ local dans V biphasé est solution dun problème de thermoélasticité : On considère V constitué du matériau de référence ( L 0 ), homogène, soumis aux mêmes conditions aux limites que le milieu biphasé ( L(x) ) mais qui subit en plus des déformations de transformation hétérogènes caractérisées par un champ de polarisation (x) : 2.1 Polarisations locales et moyennes par phases (x) = L 0 : (x) (x) matériau de référence contrainte dans le matériau courant générée par une transformation, ou contrainte résiduelle (x) = [L(x) - L 0 ] : (x) (si L(x) = L 0, polarisation nulle -> polarisation homogène dans inclusion HS) Idée :

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 141 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Moyennes par phases de la déformation, de la contrainte ou de la polarisation sont uniformes dans V cest à dire macroscopiques : Moyenne de la polarisation sur une phase (i) : contrainte et déformation moyennes dans la phase (i). On vérifie

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 142 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.2 Estimation de Hashin et Shtrikman Objet : estimer le champ local dans V,, par le champ apparaissant dans le problème thermoélastique, *, sur le milieu homogène de référence L 0 dans le cas où la polarisation est homogène par phase. En supposant que lon sache calculer ces moyennes par phases en fonction du chargement macro et des polarisations par phases : P 0 tenseur dordre 4 dépendant de L 0 et de la répartition des phases, dont dérivent les polarisations P 0 ij. Linéarité superposition des solutions élémentaires

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 143 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Tenseurs de Hashin et Shtrikman Soit le tenseur dinfluence de Hill : On peut estimer les tenseurs de localisation pour chaque phase : Ce tenseur permet de calculer une estimation du tenseur des modules effectifs appelé tenseur des modules de Hashin et Shtrikman :

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 144 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Hashin et Shtrikman : modules de compressibilité et cisaillement isotropes Reste à préciser le milieu de référence

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 145 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Polarisation homogène par phase L HS- calculé à partir du plus grand minorant des tenseurs des modules des constituants 2.3 Bornes de Hashin et Shtrikman Encadrement du tenseur des modules effectifs tel que : on montre que (au sens de l énergie potentielle macroscopique associée) L HS+ calculé à partir du plus petit majorant des tenseurs des modules des constituants

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 146 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94] Généralisation à n phases, Tenseur de localisation des déformations : Tenseurs de Hashin et Shtrikman :

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 147 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Quelques propriétés Les tenseurs de Hashin et Shtrikman sont les meilleures estimations des modules effectifs avec des champs de polarisation homogènes par phase Milieu de référence beaucoup plus souple que les constituants L HS = L R Milieu de référence beaucoup plus rigide que les constituants L HS = L V

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 148 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Module d'Young pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3, ,10,20,30,40,5 fraction volumique (%) E composite/E matrice Eshelby (FC) EF Reuss Voigt HS+ HS-

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 149 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.4 Estimation de Mori et Tanaka T i =[L i -L o ]:[L * +L i ] -1 :[P o ] -1 L HS =L o + :[I-P o : ] -1 Matériau biphasé et polarisation homogène par phase : Théorie de l'inclusion d'Eshelby avec le milieu infini ayant les propriétés de la matrice avec = c i T i Si L o =Lm L MT =L m +c i T i :[I-c i P m : T i ] -1 Faibles concentrations : L MT = L FC (renfort sphérique, répartition isotrope)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 150 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Généralisation à n phases, Tenseur de localisation des déformations : Estimation de Mori et Tanaka : L o : tenseur des modules de la matrice Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94]

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 151 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Quelques propriétés Si la matrice = phase la plus raide L MT = borne supérieure Si la matrice = phase la plus souple L MT = borne inférieure MT exact si faibles intéractions entre les phases MT prend en compte la polarisation due à l'ensemble des inclusions voisines Résultats satisfaisants jusqu'à c i # 10 à 20%

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 152 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 2.5 Estimation autocohérente L AC =L HS (L AC ) Calcul par itération + critère de convergence Hashin et Shtrikman : Hashin et Shtrikman : tenseur des modules effectifs Le milieu de référence L o est le Milieu Homogène Equivalent, l'estimation du tenseur des modules effectifs est solution de : Estimation autocohérente : Estimation autocohérente : définition implicite du tenseur des modules LoLo L HS (L o ) tenseur des modules du milieu de référence

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 153 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Généralisation à n phases, Tenseur de localisation des déformations : Estimation autocohérente : L o : tenseur des modules de la matrice Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94]

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 154 Méthodes de Changement dÉchelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations dordre 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________ Module d'Young pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3, ,10,20,30,40,5 fraction volumique (%) E composite/E matrice Eshelby (FC) Reuss Voigt HS+ HS- EF AC