TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE transformée de fourier discréte

Transformée de Fourier Discrète introduction

Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon Signal à bande limitée X(f)=TF (x(t)) ; X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d ’information (ie, reconstruction sans erreur), il faut que : sinon on observe un repliement de spectre X(f) x(t) -fmax +fmax t f transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète périodisation de la TFC par échantillonnage temporel transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète repliement de spectre dans le domaine fréquentiel transformée de fourier discréte

Transformée de Fourier Discrète définition

Transformée de Fourier Discrète propriétés

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (1) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (2) TEMPS FREQUENCE continu continu non périodique - Fourier Continue continu discret périodique - Série de Fourier discret continu Fourier - périodique discret discret périodique - périodique T.Fourier Discrète transformée de fourier discréte

Transformée de Fourier Discréte résolution fréquentielle x(nT) signal n = [-N/2, N/2-1]  N points T période d ’échantillonnage, fe=1/ T fréquence d ’échantillonnage. fe1/(2fmax) Shannon X(m f) = TFD [(x(n T)] N points en fréquence f = 1/N T résolution en fréquence si N  f  si N  f  transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1) Exemple de troncature d’un signal par une fenêtre rectangulaire N/2 transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète effet d ’une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète effet d ’une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète effet des fenêtres sur une sinusoïde (4) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète résumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre temps fréquence Multiplication/fenêtre Convolution/fenêtre (fuites) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète étude de l ’effet de convolution :Fenêtre rectangulaire(1) wr(nT)=1 pour n=[0,N-1] Wr(mf)= sin(N.2.pi.mf)/sin(2.pi.m. f) pour m=[0,N-1] transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2) Cas d ’une sinusoïde : N points, T période d ’échantillonnage, fe=1/ T, f=1/ NT la TFD sera définie pour 0, f, 2. f , 3.f,….k. f …N/2. f soit x(n T ) = a.sin(2.pi.f0.n/N) cas 1: f0 = k. f cas 2: k.f  f0  (k+1).f transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(3) W(k-1) W(k) W(k+1) X(k f) f(k)=f0 f(k-1) f(k+1) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(4) W(k-1) W(k) W(k+1) X(k f) f(k) f(k-1) f(k+1) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète Fenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1) Rectangulaire Hanning Blackman Gaussienne transformée de fourier discréte

Transformée de Fourier Discrète propriétés des fenêtres : résumé (2) Fenêtre 1er lobe décroissance largeur lobe secondaire lobes secondaires principal (dB) (dB/décade) (*f) Rectangulaire -13 -20 1. Hanning -32 -60 1.5 Hamming -43 -20 1.36 Kaiser-Bessel -69 -20 1.8 Flattop -93 0 3.7 Gaussienne -69 -20 1.9 rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible Hanning : compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations) transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1)  N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m  N² multiplications complexes exemple : N= 1000 pts  1.000.000 (X) !! Algorithme FFT N=2k   N.log2(N)= k.N exemple : N=1024  10. 000 (X) Plusieurs types d ’algorithmes transformée de fourier discréte

transformée de fourier discréte Transformée de Fourier Discrète Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2) Principe : plusieurs algorithmes et architectures associés permettent de réaliser les calculs en temps réel. transformée de fourier discréte