Analyse Spectrale de Fourier - définition de la densité spectrale de puissance - erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs - effet de biais - effet des fenêtres fuites - les Unités analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier densité spectrale de puissance : définition x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique) n: [-,+] T=1 2 formulations équivalentes : transformée de Fourier de la Fonction d ’autocorrélation moyenne (d ’ensemble) du module carré de la T de Fourier analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier densité spectrale de puissance : estimateur x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique) n: [-1,N], nombre de points fini T=1 2 estimateurs (équivalents quand N>>>) : corrélogramme périodogramme analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier estimateur du périodogramme On utilise l ’estimateur du périodogramme : calcul avec la FFT. Propriétés de l ’estimateur : biais : =E [Sxx/per(k)] = Sxx(k) quand N>> sans biais asymtotiquement variance : = E[Sxx/per(k)- ]²  S²xx/per(m) la variance est très importante !! analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier estimateur du périodogramme Bruit blanc filtré passe-bas superposition de [20 FFT]² calculées sur des tranches de 256 points analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier périodogramme Moyenné: contrôle de la variance(1) D ’où l ’idée de moyenner l ’estimateur du périodogramme sur plusieurs ‘ tranches ’ du signal. (Moyenne d ’ensemble) -WELCH- N points par tranche M 1 2 m SM S1 S2 Sm ( Sm)/M S analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier périodogramme : effet du moyennage Bruit blanc filtré passe-bas moyenne de [2 FFT]² calculées Moyennage de 20 [FFT]² analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier propriétés du périodogramme moyenné Le moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change pas puisqu ’il ne dépend que de N (longueur chaque tranche). Propriétés de l ’estimateur : biais : =E [Sxx/per/moy(k)] = Sxx(k) quand N>> sans biais asymtotiquement variance : = E[Sxx/per/moy(k)- ]²  S²xx(k)/M la variance diminue en 1/M !! Écart-type: =S(k)/M ps: les résultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne ainsi qu ’une indépendance des tranches. analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Périodogramme Moyenné par recouvrement il faut augmenter M pour diminuer la variance le TEMPS d ’ANALYSE Tmax >N.M.T peut être prohibitif N points par tranche 1 2 m M S1 S2 Sm SM ( Sm)/M S analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier périodogramme moyenné :recouvrement(2) Une méthode pour diminuer Tmax . On fait recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne sont plus ‘ indépendantes ’: la variance décroît moins vite avec N les fenêtres contribuent à rendre ‘  indépendantes ’ les tranches Fenêtre rectangulaire Fenêtre type Hanning analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier périodogramme :contrôle du biais Estimateur asymtotiquement non biaisé il faut augmenter N (c ’est-à-dire augmenter la résolution fréquentielle) pour diminuer le biais si f =1/NT trop grand : sous estimation des maximum (pics) sur-estimation des minimum en général T fixé par l ’analyse  N une régle pratique : pour un ‘ pic ’ de largeur f0 : il faut choisir N tel que : f = 1/NT < f0/4 pour un système à 1ddl avec amortissement visqueux . f0=2 fr r fr f résonance; r amortissement réduit analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier effet des fenêtres : exemple Démo ‘ fuites ’ (voir DFT) 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une raie FFT 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2 raies - comparaison des fenêtres de Hanning et rectangulaire l ’effet des raies latérales dues à une fenêtre font augmenter la puissance . Ceci est corrigé en divisant par ‘ la puissance équivalente de la fenêtre ’. Voir tableau chapitre ‘ DFT ’. La correction est faite sur les analyseurs. analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : zeros padding Objectifs : augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2 augmenter la résolution ??? Intérêts : les transitoires, signaux courts résultats : interpolation entre les points DFT calculés sans l ’ajout de zéros la fonction d ’interpolation est liée à la fenêtre de pondération l analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : exemple démo fouzéros analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Unités : signaux continus Signaux périodiques Signaux non-périodiques analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Unités : signaux discrets T  N.T dt  T df   f=1/N T    l ’ENERGIE totale T= N.T V².sec or à cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval s ’écrit: rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des fréquences négatives analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Unités : résumé x( ) en Volts Puissance DS Puissance Energie DS Energie V² V²/Hz V².sec V².sec/Hz=V².sec² amplitude V V/Hz V.  sec V.sec analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourier Unités : signaux discrets, exemple