Définitions et applications ANALYSE CEPSTRALE Définitions et applications notes de cours Analyse Cepstrale

ANALYSE CEPSTRALE contenu Annulation d ’écho Définitions cepstre de puissance cepstre complexe propriétés Quelques applications mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion annulation d ’échos analyse des vibrations d ’engrenages notes de cours Analyse Cepstrale

ANALYSE CEPSTRALE le problème de l ’annulation d ’échos x(t)= s(t) + sr(t) s(t) son direct , sr(t) son réfléchi le problème de l ’annulation d ’échos comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l ’écho ? notes de cours Analyse Cepstrale

Signal + Echo formulation du problème Hypothèses simplificatrices la réflexion ne génère qu ’un retard et une atténuation sr(t)= a0.s(t-t0) x(t)=s(t)+a0.s(t-t0) Dans le domaine fréquentiel notes de cours Analyse Cepstrale

Signal + Echo illustration Domaine temporel Domaine fréquentiel s(t) a0s(t-t0) t0 [X(f)]2 notes de cours Analyse Cepstrale

Signal + Echo propriétés de la phase Imag 1 Réel 2.pi.f.t0 notes de cours Analyse Cepstrale

Signal + Echo Effet du logarithme On prend le « Log » pour rendre additif l ’effet de l ’écho On en prend la Transformée de Fourier (inverse) t f notes de cours Analyse Cepstrale

Le cepstre Plusieurs définitions Cepstre de puissance: Cepstre complexe: notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstre de puissance Propriétés Cx() = [TF-1(Ln(Sxx(f))]2 fréquence  temps relation avec la fonction d ’autocorrélation R()=TF-1 (Sxx(f)) Sxx(f) est réel et pair  le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstre complexe Propriétés Cx() = TF-1[Ln(X(f)] X(f)=XRéel(f) + j.XImag(f)=[X(f)].ej(f) Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) x(t) est réel  Xréel pair et Ximag impair  (f) est impair [X(f)] est pair  Ln [X(f)] est pair le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstres de puissance et complexe Cas de signaux à minimum de phase Soit x(t) , X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].ej(f) x(t) à minimum de phase  H{ln[X(f)]}= (f) Cx() = TF-1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) Cx() est réel et causal (>0) c ’est la somme d’une partie paire et d ’une partie impaire TF-1{Ln[X(f)2]} est la partie paire, ie, le cepstre de puissance TF-1{(f)} est la partie impaire, ie, le cepstre de phase 1 2 notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstre complexe Redéploiement de la phase Cx() = TF-1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +  , qu ’il est nécessaire de « redéployer » (Unwrapping) (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés (algorithmze de Triboulet 1977) f notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstre Propriétés, application à la déconvolution Système linéaire temps : y(t)=h(t)*x(t) produit de convolution fréquence : Y(f)=H(f).X(f) produit cepstre : Cy() = Ch() + Cx() somme (du fait du Log!) d ’où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l ’entrée) de h(t) (le milieu) annulation d ’échos, identification des sources (sismique, etc..) x(t) y(t) h(t) notes de cours Analyse Cepstrale

Déconvolution via le cepstre Exemple de l ’annulation d ’échos x(t)=s(t)+a0.s(t-t0), X(f)=S(f)[1+a0.e-2jft0] cx(t) = cs(t) +TF-1{Ln(1+a02+2a0.cos(2 ft0)} on « liftre »  cs(t) S(f)= TF{exp(cs(t))} et s(t)=TF-1{S(f)} remarque: le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase t t notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstre complexe Exemple d ’annulation d ’échos notes de cours Analyse Cepstrale

notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Vocabulaire vocabulaire (Bogert 1963): Spectre Cepstre Fréquence Quéfrence Filtrage Liftrage Harmonique Rahmonique Période Répiode Phase Saphe Amplitude Gamnitude notes de cours Analyse Cepstrale

Cepstre ANNEXES A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier Directe et inverse B: Systèmes à minimum de phase C: caractérisation de matériaux (acoustique) notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3) ie, x(t)  X(f)  x(-t)  X(-f)  x(t) TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) F F F F notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3) x(t) réel X(f) = X*(-f) Re(X(f)) = Re(X(-f)) Im(X(f) = - Im(X(-f)) x(t) réel pair x(t) = x(-t)X(f)=X(-f) Im(X(f)) = 0 x(t) réel impair x(t) = -x(-t) Re (X(f)) = 0 notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3) Signal temporel Spectre réel, pair réel, pair réel, impair imag, impair imag, pair imag, pair imag, impair réel, impair réel complexe conjugué pair complexe conjugué pair réel notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe B: Systèmes à minimum de phase (1/2) Plusieurs définitions : x(n) est à minimum de phase ssi ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w)) un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et d ’inverse stable, ie, ses pôles et ses zéros sont à l ’intérieur du cercle unité (système discret), ou à gauche de l ’axe jw (système continu) notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe B: Systèmes à minimum de phase (2/2) X1(f) = TF(x1(t)) X2(f) = TF(x2(t)) (1)  X1(f)  =  X2(f)  (2) Arg(X1(f))>Arg (X2(f)) Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est dit à phase minimum.( en réalité maximum) x1(n) x2(n) Arg(X(f) notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe C: Caractérisation de matériaux (1/3) Caractérisation acoustique d’un matériau: x(t)= p(t) + (r1 /r2).p(t)*h(t-t0) r1, r2 coefficients de réflexion t0=(r2-r1)/c X(f)=P(f){1+(r1/r2).H(f).e-2fto} on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface réfléchissante ou on veut estimer r1, r2 Haut parleur micro notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe C: Caractérisation de matériaux (2/3) Expression du cepstre de puissance [X(f)]2=[P(f)]2.{1+(r1/r2).H(f). e-2fto} .{1+(r1/r2).H*(f). E+2fto} on utilise le développement Ln(1+z)=z-z2/2+ z3/3,…. Pour [z]<1 d ’où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E+2fto - 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E+2fto)2 + 1/3.(r1/r2)3 .H*(f). E+2fto +…...} le cepstre est de la forme: Cx (t) = Cp(t) + (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(t-t0)* Ch(t-t0)…+... X (t) = P(t) + (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t0)* h(t-t0)…+... notes de cours Analyse Cepstrale

Annexe C: Caractérisation de matériaux (3/3) Illustration du cepstre de puissance on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable » P(t) a1.h(t-t0) a2.h(t-t0)* h(t-t0) t0 2t0 notes de cours Analyse Cepstrale