Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale Domaines d’application Calcul des modes propres et fréquences propres Application Décomposition modale Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Deux approches possibles de la dynamique … Approche modale : domaine fréquentiel Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés Acoustique Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel Crash-tests Dynamiques rapides (choc …) Analyse de transitoire (démarrage moteur …) Propagations d’ondes (airbag …) Approche qualitative ! www.netcar.co.il Approche quantitative ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Intérêts « industriels » www.dt.insu.cnrs.fr Vibration - acoustique www.otua.org/acier/seisme/ Protection séisme Ouvrage génie civil «Tacoma narrows bridge  » www.cnes.fr Couplage fluide-structure … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Problèmes de dynamiques La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit : Avec : [M ] : matrice globale de masse [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !) [K ] : matrice globale de rigidité {F } : vecteur global des sollicitations Particularités de l’analyse modale : On considère toujours {F } = {0} ! Analyse modale = approche qualitative : conditions initiales inutiles ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application 1 (discrète) : 2 masses et 2 ressorts Modèle physique : Equations du mouvement : Modèle discret : X (m) U1(t) U2(t) k1 k2 m2 m1 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application 2 (1D) : cas d’une barre élastique Maillage : deux éléments finis linéaires Forme forte : Forme faible : X (m) 1 2 3 F(t) E : module de Young [N/m2] r : masse volumique [kg/m3] A : section [m2] u(x,t) : déplacement [m] Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle éléments finis (1D) Matrices élémentaires : telles que : avec : Assemblage : (L(1) = L(2) = Le) Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes . Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application 3 (2D) : cas d’une membrane tendue Maillage : éléments finis linéaires T3 Exemple d’une peau de tambour Forme forte : Forme faible : T : tension p.u.l [N/m] rs : masse surfacique [kg/m2] S : surface [m2] w(x,y,t) : déplacement [m] g : gravité [m/s2] Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle éléments finis (2D) Matrices et vecteurs élémentaires : tels que : avec : Assemblage : Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes . (Voir cours sur T3) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Analyse modale Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés Méthode : calcul des valeurs et des vecteurs propres associés « Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K] Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Ecriture d’un problème aux valeurs propres Forme générale « temporelle » : On pose une solution de la forme : Ce qui conduit à : Avec : Ecriture « spectrale » Ecriture générale d’un problème aux valeurs propres ! (au sens mécanique du terme) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des valeurs propres Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de : soit à vérifier : Sur le plan pratique (Matlab) : >> [V, D]=eig(vkg,vmg) Matrice de rigidité Matrice de masse Matrice diagonale des valeurs propres Matrice des vecteurs propres Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application 1 : 2 masses et 2 ressorts Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k Soient : Equation caractéristique : Calcul des racines : Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des fréquences et périodes propres VALEURS PROPRES : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Interprétations graphiques VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE 1 1.62 -0.62 Mode 1 Mode 2 La solution générale s’écrit donc : Le calcul des constantes d’intégration A et B requiert deux conditions initiales. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemple 2D Déformées modales d’une membrane tendue (type « tambour ») : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Exemple « industriel » de modes de déformées Déformées modales du divergent du moteur VULCAIN (Ariane V) : Mode 4-lobes Mode ovalisation Source :www.insecula.com Source : UTC / MQ06 Modèle réel Modèle numérique Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de : Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique ! Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation : Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils … M-orthonormalisation K-orthogonalisation Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application : décomposition modale (1) Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé : Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme. On note la base des vecteurs propres : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application : décomposition modale (2) 1- On applique le changement de variables : 2- Injection des formes dans le système d’équations : 3- Multiplication « à gauche » par [X ]T : Coefficients de participation modale des efforts Quels modes sont sollicités ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application : décomposition modale (3) 4- Pour aboutir à N équations différentielles « scalaires découplées » : Résolution classique ! Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que : 5- Dernière phase : reconstruction de la solution dans son espace d’origine ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC