Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D Notion de maillages : connectivité Notion d’élément de référence Technique d’assemblage Résolution et post-traitement Algorithme général Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Cas général : plusieurs éléments 3 éléments finis à deux noeuds Exemple de maillage : 4 noeuds Un maillage éléments finis est décrit à l’aide de deux tables : … des coordonnées : … des connectivités : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Remarques sur le maillage Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dît non structuré ! Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation de la forme intégrale La forme intégrale (thermique 1D) s’écrit (voir précédent cours) : Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage du signe intégral : Soit : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Notion d’élément de référence Chaque intégrale « élémentaire » est définie par des bornes distinctes, d’où : des fonctions d’approximation N1 et N2 différentes d’un élément à un autre. Nécessité de recalculer les fonctions pour chaque élément ! Pour pallier à cette hétérogénéité, on définit un élément de référence commun sur lequel effectuer l’intégration. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Notion d’élément de référence Méthode : changement de variables soit : Les fonctions d’approximation sur l’élément de référence sont linéaires et définies par : soit : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Solution globale : reconstruction élémentaire La superposition des approximations locales conduit à une approximation GLOBALE de la solution par éléments finis Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation des intégrales élémentaires Le calcul des matrices et vecteurs « élémentaires » est alors analogue à celui d’un seul élément de longueur Le (voir précédent cours). On retrouve ainsi la démarche suivante : Approximation par éléments finis : Calculs élémentaires : [Ke ] : matrice de rigidité élémentaire {Fe } : vecteur des sollicitations élémentaire Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Phase d’assemblage Après calcul de toutes les contributions élémentaires, nous obtenons : La phase d’assemblage consiste à « assembler » : toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [K] tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global {F} tels que : Deux techniques d’assemblage possibles ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Assemblage par extension (peu utilisé) Le principe est simple : augmenter les dimensions des matrices et vecteurs élémentaires aux dimensions de la matrice global et du vecteur global. Exemple : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Assemblage par projection Principe : il consiste à localiser la « zone » de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire. Constat : cette « zone » possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire. Outil de mise en œuvre : la table des connectivité « conec » Le procédé est identique pour l’assemblage d’un vecteur élémentaire ! N° ligne = numéro de l’élément Contenu des colonnes = liste des nœuds de l’élément = liste des lignes et colonnes de la matrice globale ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Technique d’assemblage par projection Démarche générale : On boucle sur tous les éléments : Calcul de [Ke] et {Fe} Extraction de la connectivité de l’élément (numéros des nœuds) On isole dans [K] et {F} les lignes et colonnes correspondantes On y « projette » [Ke] dans [K] On y « projette » {Fe} dans {F} Retour de boucle Introduction des conditions aux limites Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Applications : maillage à 3 éléments 1 2 3 4 1 2 3 4 Assemblage de l’élément 1 : Conec(1,[1 2])=[1 2] N° d’élément Liste des noeuds 1 2 3 4 N° des colonnes 1 2 3 4 Assemblage de l’élément 2 : Conec(2,[1 2])=[2 3] 1 2 3 4 1 2 3 4 Assemblage de l’élément 3 : Conec(3,[1 2])=[3 4] Remarque : pour simplifier L(1) = L (2) = L (3) = Le Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Applications : maillage à 3 éléments 1 2 3 4 1 2 3 4 Assemblage de l’élément 1 : Conec(1,[1 2])=[1 2] N° d’élément Liste des noeuds 1 2 3 4 1 2 3 4 Assemblage de l’élément 2 : Conec(2,[1 2])=[2 3] 1 2 3 4 1 2 3 4 Assemblage de l’élément 3 : Conec(3,[1 2])=[3 4] Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Prise en compte des conditions aux limites (1/3) Traitement de la condition de Dirichlet (1/2) : Méthode du terme unité sur la diagonale N+1 opérations ! Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions vaut {R }={0 } et n’apparaît donc plus ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Prise en compte des conditions aux limites (2/3) Traitement de la condition de Dirichlet (2/2) : Méthode du terme diagonal dominant 2 opérations ! avec Grand = 1012 x max(K) Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions {R } est négligeable et n’apparaît donc plus ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Prise en compte des conditions aux limites (3/3) Traitement de la condition de Cauchy : Attention au signe ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds non consécutives Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 1 3] Technique : on « dispatche » en conservant les positions relatives respectives ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds inversée Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 4 2] Technique : on « dispatche » en inversant les lignes et les colonnes ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Analyse de la validité des résultats Vérifications de base : programmation, préparation des données Conditions aux limites de Dirichlet Condition de Neumann et Cauchy Requiert le calcul du gradient Calcul des réactions Permet de vérifier : l’équilibre statique en mécanique La conservation des flux en thermique : flux entrants=flux sortants Calcul de convergence : Parvenir à l’indépendance de la solution par rapport au maillage Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Post-traitement : calcul du gradient Utile pour : Calculer un flux thermique : Calculer un effort de traction mécanique : Méthode : Question : comment choisir une valeur de flux au nœud « i » ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul du gradient aux noeuds Constat : une approximation linéaire de la solution : Assure la continuité de la solution inter-éléments ; N’assure pas la continuité des dérivées de la solution ! Solutions envisageables : Utiliser un élément fini à 3 nœuds d’approximation quadratique ! (hors NF04) Moyenner la solution aux nœuds ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Post-traitement : calcul des réactions externes Utile pour : Calculer la valeur du flux thermique externe sur une condition de Dirichlet et vérifier l’équilibre des flux entrants et sortants (seulement si f=0). Calculer un effort de réaction mécanique externe et vérifier l’équilibre global du système Méthode : Exemple : colonne sous effet de gravité (sera traité lors du TD3) On doit vérifier : Modèle réel Modèle éléments finis Poids Réaction liaison La solution éléments finis le vérifie t’elle ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calculs de convergence Objectif : Vérifier qu’il existe une taille de maillage minimale à partir de laquelle, la solution devient indépendante du maillage. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Cas particulier : solutions élément finis et analytiques confondues ! Valeur convergée Température Valeur non convergée ! Flux Solutions confondues sur la variable T mais pas sur la variable flux ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC