Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D Généralités Technique d’affaiblissement en 2D et 3D Approximation d’un élément triangulaire simple : T3 Intégration des termes de contour Application à la thermique : ailette de refroidissement Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Passage 3D 2D 1D Réaliste mais complexe Basique et/mais simple 3 dimensions caractéristiques = aucune négligeable 2 dimensions caractéristiques = 1 négligeable 2D-Plan ou 2D-axi 1 dimension caractéristique = 2 négligeables Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que l’on souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Équation de la chaleur en 2D Équation d’équilibre thermique : Conditions aux limites : Domaine : A (Aire) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Formes intégrales en 2 dimensions (2D) Démarche identique au cas 1D Pondération et intégration : Intégration par parties : Propriété k isotrope (simplification volontaire) Car 2D On l’élimine par la suite Normale extérieure au domaine Important : à l’issue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Termes de contour : C. aux L. naturelles Écriture formelle de W : Où : Triangle à 3 nœuds : T3 Barre Cauchy Terme qui sera éliminé par la prise en compte des conditions de Dirichlet ! Barre Neumann Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Maillage 2D : exemple Eléments barre Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Formes intégrales élémentaires Avec : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Élément triangulaire à 3 nœuds : T3 Sens de lecture des nœuds ! Ae Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Choix des fonctions d’approximation Approximation par éléments finis : Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan) Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des fonctions d’approximation On applique la relation générale : Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des fonctions d’approximation Après résolution des 3 systèmes : Avec : (Aire de l’élément) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul de la surface élémentaire La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Illustration des fonctions d’approximation Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires L’approximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-éléments sur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des formes intégrales discrètes Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est : Le terme de gradient est déduit de l’approximation sur T : avec [B] : matrice gradient De même pour le gradient de la fonction-test. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Suite … La forme élémentaire s’écrit alors : Si f =f(x,y), on considèrera : Pour l’élément T3, la matrice [B] est composée de constantes, d’où : Avec : Intégration rendue possible (!!) soit : Par changement de variables (prochain cours) Intégration numérique (prochain cours) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Traitement des termes de contour : Neumann La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») : Soit : S : abscisse curviligne Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Traitement des termes de contour : Cauchy La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Soit : S : abscisse curviligne Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Assemblage Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Traitement des termes de contour : Dirichlet Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE : Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou Par la méthode du terme diagonal dominant ou Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04). Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis 1D ») Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application : ailette de refroidissement Modèle physique + maillage Table des coordonnées : Table des connectivités : f=0 Flux nul Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des matrices et vecteurs élémentaires Elément T3 n°1 : Elément T3 n°2 : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Calcul des matrices et vecteurs élémentaires Elément Neumann n°3 : Elément Cauchy n°4 : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Phase d’assemblage Connectivités : Matrice globale : Vecteur global : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application : ailette de refroidissement Résolution et post-traitement Affichage des champs de couleurs Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC