Formulation d’un modèle de covariance d’erreur d’ébauche multivarié pour l’assimilation variationnelle océanique: introduction de contraintes physiques Thèse effectuée au CERFACS par Sophie Ricci sous la direction d’Anthony Weaver et Olivier Thual Global Change and Climate Modelling Team École Doctorale SDU2E Océanographie Physique Soutenance de thèse, le 29 Mars 2004, CERFACS

Pourquoi assimiler des données océaniques? Évènement El niño 1996-97

Pourquoi assimiler des données océaniques? Cartes d’anomalies de T pour 1996-97 et 2001-2002 Décembre 1996 Juin 1997 Décembre 2001 Juin 2002

Pourquoi assimiler des données océaniques? Objectifs : Condition initiale pour la prévision Meilleure compréhension a posteriori de la circulation océanique passé futur Prévision océanique Prévision saisonnière Ré-analyses

Plan de l’exposé I - L’assimilation de données océaniques II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. IV - Conclusions et Perspectives

a- Un peu d’histoire. I – L’assimilation de données océaniques b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Définition : L’assimilation de données est une technique qui vise à estimer l’état d’un système dynamique en combinant des informations d’origines diverses. Première application en astronomie par K.F. Gauss pour la détermination de l’orbite de Cérès, A-M. Legendre pour l’étude des orbites planétaires et P.-S. Laplace pour l’étude du système solaire. Application à l’automatique et au filtrage avec la méthode de Kalman. Première application aux sciences de la terre en prévision atmosphérique pour l’identification de conditions initiales (Gandin, 1963). Utilisation dans les centres de prévision opérationnels (Météo-France, ECMWF …). Application à l’océanographie pour l’étude de la dynamique océanique et de son rôle pour la variabilité climatique.

Équation de mouvement + C.I : I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie b- Le processus d’assimilation Position exacte Position observée Équation de mouvement + C.I : C. I

OI, 3D-Var, 4D-Var, Filtres de Kalman … De quoi a-t-on besoin pour assimiler des données océaniques? Description de l’océan par les observations le modèle + C.I Techniques d’assimilation Moyens de calcul et stockage Outils logiciels I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie OI, 3D-Var, 4D-Var, Filtres de Kalman …

c- Description de l’océan I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie c- Description de l’océan Le modèle : Système d’équations qui décrit la propagation de l’état de l’océan au cours du temps. Modèle OPA (Madec et al., 1998) : Version globale // restreinte au Pacifique Tropical Configuration à surface libre // toit rigide Vecteur d’état : température, salinité, courants, éventuellement hauteur de mer

I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Les observations : Mesures des champs océaniques de température, salinité, courants, concentration en chlorophylle … en surface ou en profondeur. Observations In situ Directement liées aux variables du modèle Peu nombreuses Inégalement réparties en espace et en temps Observations satellitaires Interprétation 3D d’une information 2D Très nombreuses Réparties le long des traces, récurrentes

d- L’assimilation de données en océanographie I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie d- L’assimilation de données en océanographie Optimisation de l’information provenant du modèle et des observations en sachant que chaque information est entachée d’une erreur Océan “vrai” Analyse Observations Modèle Les observations : erreur instrumentale erreur de représentativité couverture spatio-temporelle inhomogène Le modèle numérique : erreur modèle simplification des équations physiques - discrétisation - troncature erreur sur les conditions initiales erreur sur les conditions aux limites

Ce que l’on cherche à estimer I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Ce que l’on connaît Ébauche Description de la condition initiale Modèle Évolution temporelle Trajectoire de l’ébauche Observations Calcul innovations Ce que l’on ne connaît pas État vrai à l’instant Ce que l’on cherche à estimer Condition initiale telle que soit le plus proche de la trajectoire réelle Comment ? Problème inverse de x

I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Formulation des erreurs d’ébauche d’observation Définition des matrices de covariance d’erreur (Cohn, 1997) est inconnu La taille du système ne permet pas le stockage de tous les termes de ces matrices On modélise ces matrices : Partie II

Formulation 3D-Var/4D-Var (Courtier et al., 1994): I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie L’approche variationnelle : résolution du problème inverse par la minimisation d’une fonction coût Approche incrémentale : linéarisation au voisinage de l’ébauche l’inconnue est l’incrément Dans le 3D-Var (FGAT), l’incrément est constant sur une fenêtre d’assimilation Dans le 4D-Var, l’incrément est propagé par le modèle linéaire tangent Formulation 3D-Var/4D-Var (Courtier et al., 1994):

Plan de l’exposé I - L’assimilation de données océaniques II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. IV - Conclusions et Perspectives

a- Définition et interprétation physique II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre a- Définition et interprétation physique Écart entre l’état vrai et l’ébauche : E: Espérance mathématique T: Transposée Matrice de covariances d’erreur de x’ : On suppose les covariances d’erreur d’ébauche non-biaisées

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Variances d’erreur en chaque point de grille Covariances univariées entre les erreurs à différents points de grille pour une variable donnée de x’ Covariances multivariées entre deux différentes variables de x’

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Incrément d’analyse 3D-Var : Assimilation de données de température : Utilisation de la première colonne de B pour distribuer l’information provenant de l’observation L’outil statistique B a un impact physique : distribution spatiale de l’information distribution de l’information entre les variables

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Exemple : 1 observation de T située sur un point de la grille Distribution spatiale de l’information : construction de l’incrément de température Champ T Distribution de l’information entre variables : construction de l’incrément de salinité Champ S

b- Modélisation II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre b- Modélisation Impossible de connaître les termes de B Modélisation sous forme d’un produit d’opérateurs Un modèle univarié : Représentation des covariances univariées uniquement Distribution spatiale de l’information Univarié Matrice de covariances univariées de

c- L’opérateur de corrélation II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre c- L’opérateur de corrélation Modélisation des variances d’erreur et des corrélations par des opérateurs distincts: Matrice d’écart-types pour les variables de Matrice de corrélations pour les variables de

Assimilation variationnelle II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Comment calculer cette intégrale ? Application d’un filtre diffusif tri-dimensionnel Implémentation : discrétisation explicite/implicite du schéma temporel On veut évaluer le produit MATRICE * VECTEUR : Pas nécessaire d’exprimer la matrice Assimilation variationnelle Formulation du produit par un calcul intégral est la fonction de corrélation symétrique adimensionnelle Exemple pour les corrélations verticales

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Bibliographie : Impact sur la dynamique océanique (Pacifique tropical) dans le contexte de l’assimilation univariée de données de température Amélioration de la structure thermique (Vialard et al., 2003, Weaver et al., 2003) État moyen Variabilité (Comparaison à un jeu de données indépendant) Dégradation de la structure haline (Vialard et al., 2003, Weaver et al., 2003) Perte du maximum de salinité en sub-surface Création de masses d’eaux instables Génération de courants artificiels (Burgers et al., 2002) Courant équatorial de surface biaisé Remontée en surface du sous courant équatorial ‘‘Downwelling’’ dans l’est du bassin équatorial Introduction d’une contrainte T-S pour préserver les propriétés thermo-halines des masses d’eau lors de l’assimilation de données de température Plus généralement, modélisation des covariances multivariées grâce à un opérateur d’équilibre K

K: opérateur d’équilibre II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre d- L’opérateur d’équilibre Un modèle multivarié Représentation des covariances multivariées Distribution de l’information entre les variables I Univarié K: opérateur d’équilibre Séparation en composantes équilibrées et non- équilibrées : (Derber et Bouttier, 1999) Balanced (équilibrées) Unbalanced (non-équilibrées)

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Composantes non équilibrées Composantes équilibrées décrit les covariances univariées pour le vecteur de contrôle dont les composantes sont indépendantes les unes des autres décrit les relations d’équilibre entre les variables du modèle

K = II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Formulation en contrainte forte: Les parties non-équilibrées des variables de sont négligées et leurs statistiques sont supposées connues et nulles K = Relation T-S:

( S ) T = II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre La contrainte température-salinité Relation T-S locale issue de l’ébauche (Troccoli et al., 2002) b ( S ) T = Introduction de cette contrainte dans B après linéarisation Perturbations de T-S proviennent de déplacements verticaux des isopycnes de l’ébauche Conservation des propriétés T-S dans les régions où les processus isentropiques dominent  = 0 fort mélange =1 ailleurs  = 0 fort mélange =1 ailleurs

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Illustration sur l’assimilation 3D-Var de T 3D-Var simple (analyse à t donné) Expérience jumelle Assimilation de 11 données de T le long d’un profil vertical Relation T-S “innovations” T Incrément d’analyse en salinité S incrément “vrai” Incrément d’analyse en température État ‘‘vrai ’’ connu 11 données synthétiques de T Incréments ‘‘vrais’’ de T et S connus

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Illustration sur l’assimilation 4D-Var de SSH 4D-Var Assimilation d’une données de SSH à t = 30 jours Modèle de B univarié Le 4D-Var génère un incrément de SSH, T, S, u et v à t=0 jours dynamique thermique ou haline ? équilibre dynamique entre δη, δT, δS ? Température (°C) Salinité (psu) 4D-Var multivarié anomalie négative de SSH remontée d’eau plus dense remontée d’eau froide anomalie négative de T sur-élévation du profil de T remontée d’eau plus salée anomalie positive de S enfoncement du profil de S

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche Température (°C) Salinité (psu) II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Illustration sur l’assimilation 4D-Var de SSH 4D-Var Assimilation d’une données de SSH à t = 30 jours Modèle de B multivarié T-S sur-élévation du profil de T sur-élévation du profil de S Dynamique thermique Préservation des propriétés T-S des masses d’eau

Conclusions II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Conclusions Def.: Statistiques sur les écarts entre l’état ‘‘vrai ’’ et l’ébauche 2 rôles principaux: distribution spatiale distribution entre variables Impossible de calculer B Modélisation Séquence d’opérateurs traitant séparément les covariances univariées et multivariées Corrélations spatiales représentées par l’application d’un filtre diffusif Analyse dynamiquement incohérente Covariances multivariées modélisées grâce à l’application d’un opérateur d’équilibre Relation T-S permet la préservation des propriétés thermo-halines des masses d’eau

Plan de l’exposé I - L’assimilation de données océaniques II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. IV - Conclusions et Perspectives

Modèle d’océan et méthode d’assimilation: a- Contexte des expériences longues III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Modèle d’océan et méthode d’assimilation: Assimilation de données de température du réseau GTSPP Données TAO (moyennes journalières), CTD, XBT (20 à 30 000/mois) Configuration toit rigide Pacifique tropical (T, S, u, v) ~ Résolution 1° x 0.5 °/ 2° x 25 niveaux verticaux Système 3D-FGAT (Weaver et al., 2003) Modèle de covariance d’erreur d’ébauche: Ecart-type issue de la climatologie d’une expérience forcée Échelles de corrélation spatiales variables Relation T-S Modèle de covariance d’erreur d’observation: Diagonal Erreur: 0.5 °C pour les données TAO et 1 °C pour les XBT 3 expériences (Ricci et al., 2004) CTL run de contrôle forcé sans assimilation NOTS assimilation univariée de T TS assimilation de T + relation T-S

b- Impact sur la dynamique Climatologie Levitus TS NOTS CTL b- Impact sur la dynamique III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Impact sur la structure thermo-haline moyenne : Restauration du maximum de salinité (35.2 psu) dans TS Pincement de la thermocline dans NOTS et TS par rapport à CTL Section verticale le long de l’équateur de la climatologie de sel 1993-98

a- Contexte des expériences longues TS CTL NOTS III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Salinité moyenne sur la boite TAO Jan. 93 Jan. 94 Jan. 95 Jan. 96 Jan. 97 Jan. 98 Profil moyen de sel sur la boite TAO pour 1996 Cas univarié (T) : Diminution/augmentation de la salinité dans l’océan de surface/de sub-surface Destruction du maximum de salinité Développement d’une circulation artificielle (Troccoli et al., 2002) Cas Multivarié (T-S): Préservation du maximum de salinité en sub-surface Conservation des masses d’eau Rétablissement de la dynamique Levitus Levitus Profondeur (m) Salinité (psu)

a- Contexte des expériences longues Impact les courants : III – Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Climatologie Reverdin et al. Courants de surface Pacifique tropical CTL NOTS Biais du courant de surface équatorial vers l’Est TS Correction du courant de surface

a- Contexte des expériences longues III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Comparaison aux observations de courant TAO indépendantes: Courants à 165°E Courants à 140°W Courants à 110°W TAO Obs. CTL NOTS TS Correction du courant de surface Amélioration des courants en sub-surface mais encore imparfaits Maximum imparfait Amélioration par la contrainte T-S Utilisation d’une contrainte sur les vitesses dans K

Les courants géostrophiques III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Érosion du maximum de sel dans NOTS Creux de hauteur dynamique biais du courant de surface vers l’Est dans NOTS Anomalie de courant géostrophique

c- Étude des budgets III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Équation de la chaleur au temps t: (A) Équation d’eau fraîche au temps t: (B) Prise en compte des forçages dans le terme de diffusion vertical Intégration de (A) et (B) sur 1993-98

NOTS CTL TS III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température

III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Eaux chaudes Eaux froides CTL Advection zonale positive et advection verticale négative se compensent pour maintenir la thermocline -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température

III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets NOTS et plus fort que dans CTL Sous-courant zonal plus fort que dans CTL “ Upwelling ” équatorial plus fort que dans CTL Advection zonale positive et advection verticale négative plus fortes que dans CTL Déséquilibres locaux (biais) compensés par l’incrément de T -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température

III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Structure de la thermocline identique à celle de NOTS Réduction du sous courant zonal par rapport à NOTS Réduction de l’upwelling équatorial par rapport à NOTS Réduction de l’advection zonale et de l’advection verticale Tendance de l’assimilation à produire un biais de T plus petit à corriger TS -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température

a- Contexte des expériences longues Évolution temporelle des contributions dynamiques au budget de sel (TAO 0-300m) III – Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets CTL Forçages Total Diffusion verticale Advection horizontale Incrément de sel NOTS Faible mélange vertical Dérive du contenu de sel Dérive de l’advection (hor.+ vert.) TS Terme d’advection proche de celui du contrôle Incrément de sel

Impact de l’introduction de la relation T-S dans B Conclusions III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Impact de l’introduction de la relation T-S dans B Meilleure représentation de la structure haline des courants Réduction du biais de T induit par la circulation artificielle due à l’assimilation Le terme d’advection est responsable de la dérive en sel dans l’océan de sub-surface dans l’expérience univariée, le terme de mélange a un rôle moindre L’incrément de S permet de compenser le biais de sel généré par l’assimilation : semblable au phénomène observé pour la température

I - Qu’est ce que l’assimilation de données ? Plan de l’exposé I - Qu’est ce que l’assimilation de données ? I - Qu’est ce que l’assimilation de données ? II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. Conclusions et Perspectives

Conclusions L’assimilation en océanographie: Pourquoi? Meilleure connaissance du climat Meilleure compréhension de la dynamique océanique Prévision des phénomènes océaniques ou atmosphériques importants L’assimilation en océanographie: Comment ? Combine l’information provenant du modèle et des observations pour donner l’estimation de l’état océanique la plus proche possible de l’état ‘‘vrai’’ Choix d’une méthode variationnelle Utilisation des observations in situ de température

Un modèle pour la matrice B Modélisation de la matrice de covariance d’erreur d’ébauche Représentation des covariances univariées et multivariées par des opérateurs distincts Modélisation des covariances univariées par un opérateur intégral à travers l’application d’un filtre diffusif 3D Analyse 3D-Var univariée génère une circulation artificielle Représentation des covariances multivariées par l’application de l’opérateur d’équilibre K Dans le contexte de l’assimilation de données de T, la relation T-S permet une représentation réaliste de la circulation océanique pour le Pacifique tropical

L’opérateur d’équilibre K résultats exposés : application de K comme une contrainte forte tests : assimilation de données de salinité (K contrainte faible) Introduction de contraintes physiques entre η, T, S, u et v dans K Application de ce modèle de B dans le cadre de l’assimilation globale Bonne représentation des termes de B et analyse dynamiquement cohérente

Coupe verticale de salinité le long de l’équateur : Le modèle global CTL Coupe verticale de salinité le long de l’équateur : (Climatologie 1990-1999) NOTS Destruction de la stratification en sel Érosion du maximum de salinité Relation T-S TS Préservation de la stratification Préservation du maximum de sel

Perspectives Assimilation systématique de données diverses in situ ou satellitaires Étude approfondie de l’impact des contraintes physiques dans B Relation de hauteur dynamique pour contraindre la hauteur de mer Relation géostrophique pour contraindre les courants Calcul des statistiques d’erreur liées aux composantes non-équilibrées Méthode d’ensemble Salinité en profondeur Campagne ARGO SSS Correction dans les couches de surface + relation T-S SSH Données le long des traces (C. Deltel, LODYC) Éviter une relaxation vers la climatologie Reynolds SST

Différentes méthodes d’assimilation Un jeu de données commun Projet ENACT(*) : Projet multi-modèle et multi-méthodes d’assimilation océanique globale sur la période ERA-40 Différentes méthodes d’assimilation Un jeu de données commun Une période d’étude commune Un ensemble de diagnostiques communs Comparaison des méthodes d’assimilation Étude des ré-analyses (intérêt descriptif ) Outil pour l’étude de la variabilité climatique Mesure de l’impact de l’assimilation sur la prévision saisonnière à décennale (Projet ENSEMBLES) *ENACT: ENhanced ocean data Assimilation and Climate predicTion