VII) Formalisme Quantique Certains états quantiques ne peuvent être décrits par une fonction d’onde telle que nous les avons vues (le spin par exemple). Le formalisme doit être généralisé de manière a pouvoir décrire tous les systèmes. En mécanique ondulatoire : L’état du système est décrit par une fonction d’onde. Dans le formalisme général : L’état du système est décrit par un vecteur d’état faisant partie de l’espace des états du système. Les vecteurs d’état peuvent être associés à une fonction d’onde, mais ce n’est pas obligatoire. Le formalisme quantique se retrouve basé sur les règles du calcul vectoriel dans l’espace des états.

1) Notation de Dirac

Un vecteur quelconque de l’espace des états, e, est appelé vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note par le symbole , en mettant à l’intérieur un signe distinctif permettant de le différencier des autres états. Par exemple, si le ket est associé à un état décrit pas une fonction y(r), on pourra le noter : : ket psi Les fonctions que l’on manipulait en mécanique ondulatoire étaient complexes. On admettra qu’il existe un espace dual, e*, de l’espace des états dont les vecteurs d’états peuvent être associés aux fonctions complexes conjuguées des fonctions associées aux vecteurs d’état de e. A tout vecteur-ket de e, correspond un vecteur dans l’espace dual e* que l’on nomme vecteur-bra ou bra. NB : En anglais, bracket signifie crochet. : bra psi

Quelques propriétés : Si l est un complexe et |y> un ket de e, alors l |y> est également un ket de e que l’on peut noter | l y> . Le bra associé à l |y> est l* <y| où l* est le complexe conjugué de l.on peut le noter < l y|. Attention, on a donc < l y| = l* <y| Produit scalaire : Le produit scalaire de deux kets |y> et |j> est noté < y | j > On a les propriétés suivantes < y | j > = < j | y >* < y | l1 j1 + l2 j2 > = l1 < y | j1> + l2 < y | j2 > < l1 j1 + l2 j2 | y > = l1*< j1 | y > + l2*< j2 | y >

La notation de Dirac est plus « légère » Normalisation et orthogonalité normalisation < y | y >=1 othonormalité < yi | yj >=dij Mécanique ondulatoire Formalisme quantique La notation de Dirac est plus « légère »

Opérateurs : Lorsque l’on fait agir l’opérateur A sur un ket |y>, on obtient un autre ket. A |y> = |y’> De même : A | l1 j1 + l2 j2 > = l1 A | j1 > + l2 A |j2 > (li : complexes) On appelle élément de matrice de A entre j et y, le produit scalaire : < j | A |y> = < j | y’> ( c’est un nombre complexe !) Le produit d’un ket par un bra est un opérateur ! Si A= |y> < j | Alors A |c> = |y> < j | c> = l |y> l : complexe

Opérateurs (suite) : On désigne par opérateur adjoint, A+, de l’opérateur A, l’opérateur qui vérifie : Si A |y> = |y’> alors < y’ | = < y | A+ Comme < y’ | j > = < j | y’ >* Alors < y’ | j > = < y | A+ | j > = < j | y’ >* = < j | A |y>* D’où < y | A+ | j > = < j | A |y>* Lorsqu’un opérateur coïncide avec son adjoint : A= A+ On dit que A est HERMITIQUE et l’on a < y | A | j > = < j | A |y>*

< ui | uj >=dij 2) Définir une base dans l’espace des états Comme dans tout espace vectoriel, il existe une infinité de bases orthonormées que l’on peut définir dans e. Si cet espace est de dimension N, alors on aura N vecteurs de base |ui> i=1…N vérifiant la relation d’orthonormalité : < ui | uj >=dij Et tout ket |y> de e pourra s’écrire : |y> = l1 |u1> + l2 |u2> + l3 |u3> +….. +lN |uN> = Composantes de |y> sur les |ui>

Pour calculer les composantes, on utilise un opérateur de projection, Pi : = |ui> <ui | Qui permet de calculer li : Pi |y> = l1 |ui> <ui | u1> +…..+ li |ui> <ui |ui> +….. +lN |ui> <ui |uN> 1 Pi |y> = li |ui>

Si l’on additionne tous les opérateurs projections, on doit retrouver toutes les composantes du vecteur |y> On a donc Opérateur identité (ne fait rien) Relation de fermeture Signifie que la base est complète (suffisante pour bien décrire |y>)

< ui | uj >=dij < wa | wb >=d(a-b) Base discrète et base continue : Lorsque les états sont quantifiés, on a une base discrète d’états, et on doit utiliser le signe somme, comme dans les relations précédentes. Lorsque les états ne sont pas quantifiés, on a une base continue, et on doit utiliser le signe intégral. Base discrète < ui | uj >=dij < wa | wb >=d(a-b) Delta de Dirac Base continue Attention, une base discrète peut être de dimension infinie (N= )!

Représentation d’un ket : Dans la base des |ui> le ket |y> est représenté par ses composantes ci Le ket est représenté par le vecteur colonne des coefficients Cette notation implique que la base est clairement définie. Au même ket correspondent des représentations différentes dans différentes bases.

Représentation d’un bra : Dans l’espace dual, le bra associé au ket précédent, dans la base des bras <ui| s’écrit : Le bra est représenté par le vecteur ligne des coefficients Cette notation implique que la base est clairement définie. Au même bra correspondent des représentations différentes dans différentes bases.

Aij=< ui | A | uj > Représentation d’un opérateur : Dans la base |ui>, un opérateur A est représenté par une matrice dont les éléments de matrices sont définis par : Aij=< ui | A | uj > Ligne colonne Matrice carrée

< ui|BA| uj> 1 Application successive de deux opérateurs : Soient A et B deux opérateurs représentés dans la base des |ui>. L’action de A puis de B est représenté par la matrice dont les éléments sont : < ui|BA| uj> On peut insérer la relation de fermeture de la base |ui>. 1 C’est la formule usuelle du produit de matrice

Attention, certains opérateurs ne commutent pas

Application d’un opérateur à un ket : Si |y’>= A|y> Les composantes de |y’> sont ci’ = <ui|y’> = <ui| A|y> En insérant la relation de fermeture : On obtient la formule usuelle du produit matrice-vecteur

Le produit scalaire : Si |y> et |j> sont deux kets, on peut calculer leur produit scalaire en utilisant leur représentation dans une base |ui> : qui est

Aij=ai bj* Le produit ket-bra : Nous avons vu que le produit d’un ket par un bra est un opérateur Représente une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la ligne i, colonne j, qui vaut 1. (facile à démontrer) On obtient finalement un opérateur dont les éléments de matrice sont : Aij=ai bj*

Récapitulatif Ket | > Bra < | Opérateur A = AB=C < | > = scalaire = l = | > < | = opérateur

Exemple : la monnaie (qu)antique Tétradrachme d'argent Tête d'Athéna avec des feuilles d'olivier sur le casque Revers: chouette, rameau d'olivier, croissant de lune Vers 460-450 avant JC

L’espace des états pour l’observable « face visible » est composée de deux états propres : Face, noté par le ket | f > Pile, noté par le ket | p > La fonction d’onde décrivant la pièce est : |y> = a | f > + b | p > Avec a2+b2=1 a peut être différent de b car les calculs de probabilités n’étaient pas encore très connus à l’époque, et la pièce est très mal équilibrée.

L’opérateur suivant permet de « retourner » la pièce : En effet : Sont effet sur la fonction d’onde est moins clair ! En fait, cet opérateur permute les coefficients (et les probabilités) de chaque face.

L’opérateur du tricheur : donne toujours le résultat « pile » lorsque l’on mesure la face visible : La combinaison de A et B donne : A et B ne commutent pas

L’exemple de la monnaie n’est pas très physique, mais il existe beaucoup de systèmes simples à 2 états. Spin de l’électron Polarisation de la lumière

Observables : Un opérateur qui peut être associé à une observable doit coïncider avec son adjoint (propriété d’hermiticité) et on a alors : < ui | A | uj > = < uj | A |ui>* Au niveau de la matrice représentant l’opérateur, cela signifie que : * Les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont complexes conjugués. * Les éléments sur la diagonale principale sont réels. Exemple d’observable : NB : une matrice réelle symétrique non nulle est toujours une observable Diagonale principale

VOUS DEVEZ ABSOLUMENT SAVOIR DIAGONALISER UNE MATRICE. Recherche des états propres et des valeurs propres associées à un opérateur : La résolution de l’équation A| y > = l| y> est bien connue en algèbre linéaire. La diagonalisation de A permet de déterminer les valeurs de l et les kets | y> associés. VOUS DEVEZ ABSOLUMENT SAVOIR DIAGONALISER UNE MATRICE. En faisant court, si la matrice A est exprimée dans une base orthonormée : 1) Les valeurs propres sont les solutions de : det(A - l1 ) = 0 2) On trouve les fonctions propres en résolvant le système d’équations pour chaque valeur de l.

Propriétés utiles et fondamentales : Les vecteurs propre d’un opérateur sont orthogonaux. La matrice de l’opérateur, représentée dans la base de ses vecteurs propres est diagonale. Les éléments diagonaux sont les valeurs propres. Les valeurs propres d’une observable sont réelles. Le nombre d’états propres est égal à la dimension de la matrice. La même valeur propre peut être associée à plusieurs états propres. On dit qu’elle est dégénérée.