Propositionnalisation

Passage dune description structurelle à une description propositionnelle équivalente. Interêt gain en utilisation, réutilisation, explication (création dune ontologie) équivalence ? complexité de la recherche ?

1 c7 Bf5 2 Nc6 Bh3 3 Ne7 Bd7 4 h7 Kg7 5 Ng6 Kxh7 6 Nf8+ Rb(f3),Rn(f7),Fn(c2),Cb(a7),P b(c6),Pb(h6),Pn(f6),Pn(h4) Egalité matérielle Non Opposition Fou noir 2° Grande Diagonale Cavalier blanc Coin 2 Pions blancs avancés 1 Pion noir avancé Rectangle arrêt Roi blanc …. Exemple Structurel / propositionnel

Irréductibles irréductible: Elément dun treillis ayant un seul prédécesseur irréductible : Elément dun treillis ayant un seul successeur. irréductibles

Irréductibles et Treillis A partir de lensemble des irréductibles et des irréductibles dun Treillis T on construit la relation binaire R suivante: A chaque élément irréductibles x on associe lensemble R(x) des éléments irréductibles à x Théorème le Treillis de Galois construit à partir de la relation binaire R et isomorphe au treillis T. (Birkhoff)

Equivalence entre L-langages Définition Deux L-Langages L1 et L2 sont dit équivalent pour un même ensemble dexemples O TG(L1,O,d1) TG(L2,O,d2) Théorème Pour tout L-Langage L et un ensemble dexemple O décrit par des expression de L. Il existe un L-langage propositionnel LP minimal équivalent à L. Ce langage LP est construit à partir de lensemble des irréductibles du treillis de Galois TG(L,O)

Irréductibles et Treillis de Galois circle rectangle right on {0,1} rectangle circleright on {1,4} rectangleonsquare {2,4} {0,1,2} rectangle on rectangle on circle rectangle on {0,1,3} {0,1,2,3}{0,1,2,4} {0,1,3,4} {0,1,2,3,4} S1 S2 S3 S4 S5S6S7 rectangle circle right on {0,1,4}

L-Langage propositionnel

Parcours de lespace des descriptions Opérateur de spécialisation S: S(d)=d1 tel que d > d1 Opérateur de spécialisation complet: S(d)=d1 tel que d > d1 et d2 / d > d2 > d > Base de certaines méthodes ILP: Parcours Aveugle Spécialisation infinie Expression de L Etre plus générale que

Espace de spécialisation et exemple Expression napparaissant Pas sur les exemples Expression apparaissant En même temps

Complexité de la recherche des irréductibles Idée 1) Construction du treillis en généralisation construction complète: taille du treillis importante complexité de lopération -Irréductibles dans le haut du treillis Idée 2) Parcours de lespace en spécialisation => souvent trop précis

Principe E1 A1E2 A2E2 A3En An …… Es = E1 E2 As A1 A2 Es = E1 En As A2 An2 … Nécessite A1, A2, ……An Retour au cas propositionnel !! LD1 Spécialisation des langages

Langage de décomposition Exemple Langage de description Graphe Langage de décomposition Chemin de longueur k Définition Pour un langage de description L, Un langage de décomposition LD est inclus dans L, il existe un opérateur permettant de trouver les expressions de LD présentent dans une expression de L

Algorithme RechIrre Entree : un contexte (E,A,R) (relation binaire) Sortie ; lensemble des -irreductibles R=Ø Elimination des égalités (réunion en un seul attribut des attributs tel que e(a1)= e(a2)) Pour chaque attribut a si estIrreductible(a) ajouter a à R retourner R

Est irreductibles ? Dans un contexte (E,A,R) (avec e(ai)e(aj) pour tout i,j ij a est un attribut ^-irreductible ssi e / (e R a) et a d(e(a)) (aa), e R a Complexité polynomiale Incrémentalité sur lajout des attributs

Exemple chemin longueur 0 irréductibles [{0,1,4},{right}] [{0,1,3,4},{Circle}] [{2,4},{Square}]

Exemple chemin longueur 1 Recherche des -Irréductibles: Polynomiale ici!!

Complexité La recherche des -irréductibles dépend de la complexité de la recherche des éléments de LD du calcul de la relation dordre entre les éléments de LD du calcul de lappariement dun élément de LD avec un élément de L Pour une étape k, si ces trois calcul sont polynomiaux / nombre dexemples et le nombre dexpressions du langage LD alors la méthode est polynomiale Exemple L=graphe et LDk={chemins élémentaires de longueur k} Calcul polynomial à chaque étape (anytime)

Expérimentation 1 Recherche de motifs avec un algorithme de « graph mining » Ici gaston. Sélection des motifs vus sur des ensembles dexemples différents

Expérimentation 2