SGM Séminaire 2 CRISTALLOGRAPHIE Indexation et représentation des plans réticulaires 2011 SGM Auteur : ESNOUF Claude CLYM

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés Introduction Vous êtes autorisé : A reproduire, distribuer et communiquer, au public, ce document, A modifier ce document, selon les conditions suivantes : Vous devez indiquer la référence de ce document ainsi que celle de l’ouvrage de référence : ESNOUF Claude. Caractérisation microstructurale des matériaux : Analyse par les rayonnements X et électronique. Lausanne: Presses polytechniques et universitaires romandes, 2011, 596 p. (METIS Lyon Tech) ISBN : 978-2-88074-884-5. Vous n'avez pas le droit d'utiliser ces documents à des fins commerciales. Vous pouvez accédez au format PDF de ce document à l’adresse suivante : http://docinsa.insa-lyon.fr/polycop/download.php?id=170621&id2=1 © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés

Accès aux autres séminaires 1 - Séminaire « Rappels cristallographie 1 » 2 - Séminaire « Rappels cristallographie 2 » 3 - Séminaire « Emission, détection, propagation, optique des rayons X » 4 - Séminaire « Méthode des poudres en DRX » 5 - Séminaire « Méthodes X rasants et mesure des contraintes » 6 - Séminaire « Emission électronique – Conséquence sur la résolution des microscopes » 7 - Séminaire « Diffraction électronique » 8 - Séminaire « Projection stéréographique » 9 - Séminaire « Imagerie CTEM » 10 - Séminaire « HAADF » 11 - Séminaire « HRTEM » 12 - Séminaire « Ptychographie » 13 - Séminaire « EELS » © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés

INDEXATION et REPRESENTATION des PLANS RETICULAIRES Plan réticulaire = plan de réseau (plan qui passe par les nœuds du réseau) Les homologues parallèles et équidistants passent par tous les nœuds du réseau. INDICES DE MILLER : h, k, l pour représenter les plans, u,v, w pour représenter les directions. x1 x2 x3 a/h b/k c/l PLANS (111) © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. (221) NON (1 1 0,5) OUI (2 2 1) h, k, l entiers © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Quelques plans simples : z x y (010) z x y (100) Si cubique : (100), (010), (001) sont indiscernables du point de vue de la symétrie : on dit qu’ils appartiennent à la famille {100} Si quadratique : {100} comprend (100), (010) mais pas (001) etc............. Le plan hkl est noté (hkl) et par {hkl}, les plans de même symétrie. © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Quelques plans simples (suite) : z z (110) (-110) y y x x Si cubique : (110), (-110), (011), (01-1), (101), (-101) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110}, Si quadratique : seuls (110), (-110) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110}. © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Quelques plans simples (suite) : z z (1-11) (111) y y x x Si cubique : (111), (-111), (1-11), (11-1), (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111}, Si quadratique : (111), (11-1), (1-11), (-111) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111}. © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Q : Comment reconnaître les plans d’une même famille ? R : Ceux qui ont la même symétrie et donc la même distance réticulaire, par exemple. Exemple : Cubique {125}{251} {152}  ....... Quadratique {125}{215} {-215} {512} Monoclinique {125}{1-25} {-125} {12-5}  ... © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. AXES x3 Remarque : wc D[uvw] vb ua D appartient à p si : hu + kv + lw = 0 en toutes bases De même, mais n’a pas pour composantes h, k, l !!!!! x2 x1 © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Plans d’une même famille {100} Cas particulier de l’hexagonal (le notation à 4 indices) : -(x+y) Ajout d’un 4ème axe A6 (010)  (01-10) (010) (100) (1-10) (1-10)  (1-100) x y (100)  (10-10) Plans d’une même famille {100} Plans d’une même famille { © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Cas particulier de l’hexagonal (suite) : Notations 4 indices : (hkl)  (hkil) avec i = - (h+k) Par exemple : (125) devient (12-35) La permutation des 3 premiers indices est autorisée pour les plans d’une même famille (symétrie 6 oblige) : (2-315)  {12-35} c’est à dire que : d2-315 = d12-35 = d-3215 ou que : d2-35 = d125 = d-325 © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Cas particulier de l’hexagonal (suite) : Notations 4 indices des directions : (UVW)  (uvtw) avec t = - (u+v) Par exemple : [123] devient [01-13] Le passage d’une notation à l’autre est résumée par le tableau : 3 indices 4 indices Directions U = 2u + v V = 2v + u W = w u = (2U - V)/3 v = (2V - U)/3 t = - (u + v) w = W © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Changements d’axes ? (HKL) [UVW] (hkl) [uvw] Ancien Nouveau [ ] si Matrice [M] © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Changements d’axes (suite) : Soit un vecteur : d’où : ce qui s’écrit : [ ] [MT] soit © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Tableau d’application : [M] { anciens nouveaux M MT (M) ~ © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Tableau d’application : [M] { nouveaux anciens M-1 (M-1) ~ © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. ESPACE et RESEAU RECIPROQUES Direct Réciproque  compatibles avec : Exemple : HEXAGONAL 60° © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Réseau réciproque PROPRIETES : 1 - Produit scalaire : 2 – Indices de Miller : x3 x1* x2* x3* ha* kb* lc* RECIPROQUE o c/l DIRECT H o b/k x2 a/h p OH = dhkl x1 © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Réseau réciproque Soit : Or : D’où : ghkl  plan p(hkl) g= 1/dhkl (dhkl : distance interréticulaire) R.R.  Espace de points Application : Droite [uvw] d’un plan (hkl) est telle que : est  à la droite et donc : hu + kv + lw = 0 © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Réseau réciproque + T 3 – Espace réciproque – Espace de Fourier : Rappel : Notion de série de Fourier f(t) = - F(n).exp(2pint) F(n) = t=0 f(t).exp(-2pint) dt Périodique Discret f(t) t 1/T F(n) n © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Réseau réciproque Soit une fonction tripériodique , qui se développe de la manière suivante : avec = Transformée de FOURIER (TF) Si est la période dans l’espace des : Si on identifie à un vecteur de l’espace réciproque : * Conclusion : R.R.  Espace de Fourier En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de FOURIER d’une série à 3 dimensions. Cette série est égale à une fonction décrivant une propriété f( ) de l’espace direct. S © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. Une application directe : NORMALE à un PLAN (hkl) : 1 - Systèmes à bases orthogonales : ( , etc ....) à une constante près Mais, donc : = [h/a2, k/b2, l/c2] Le cas particulier du système cubique entraîne que la normale à un plan (hkl) s’indexe [hkl]. Exemple du quadratique a = 2c : Le plan (401) admet pour normale [4/a2,0,4/a2], c’est à dire : [101]. © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 2 - Système à base hexagonale : Normale à un plan (suite) 60° En notation 4 indices, u = (2U-V)/3 , ....., il vient : u = 2(4h+2k-2k-h)/9a2 = 2h/3a2 v = 2(4k+2h-2h-k)/9a2 = 2k/3a2 w = l/c2 Finalement, le plan (hkil) prend pour normale : = [h, k, i, 3/2(a/c)2l] © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Les distances interréticulaires FORMULES USUELLES Les distances interréticulaires © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. LES FORMULES USUELLES Les angles entre plans © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. LES FORMULES USUELLES Les volumes de maille Séminaire suivant : « Emission, détection, propagation, optique des rayons X »  © [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.