TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES Echantillonnage, Filtrage numérique (convolution discrète) Analyse en fréquence (transformée de Fourier discrète)

échantillonnage (pixelisation) de 4x4 à 128x128 pixels

attention à l’interprétation de l’échantillonnage n’est pas un pavage de pixels y x mais une « brosse » d’impulsions variant en amplitude d’après la théorie de l’échantillonnage, l’image y x

interprétation fréquentielle de l’échantillonnage la transformée de Fourier d’une brosse périodique d’impulsions de Dirac b(x,y) est une brosse d’impulsions de Dirac B(u,v) dans le domaine des fréquences dans le domaine spatial :l’échantillonnage correspond au produit de f(x,y) par b(x,y) dans le domaine des fréquences : convolution de F(u,v) et de B(u,v) la transformée de Fourier de l’image échantillonnée est périodique pour reconstituer l’image continue dans le domaine spatial, il faut que son support soit limité dans le domaine des fréquences la fonction d’interpolation idéale est la tranformée de fourier inverse de la fonction support dans le domaine des fréquences (carré en général)

Rappel du cas monodimensionnel : - l’échantillonnage se traduit par la périodisation de la transformée de Fourier - pour retrouver le signal initial, il ne faut pas que les répliques se chevauchent Fréquence Fréquence - récupération du signal initial par filtrage passe bas

Rappel : la transformée de Fourier d’une suite régulière d’impulsions (théorème de Shannon dans le cas monodimensionnel) S(w) s(t) T.Fourier w t par transformée de Fourier un produit dans le domaine spatial devient une convolution

illustration du théorème d’échantillonnage des signaux bidimensionnels première étape étude de la fonction d’échantillonnage et sa transformée de Fourier

UNE BROSSE REGULIERE D IMPULSIONS

EST LE PRODUIT DE DEUX ‘‘LIVRES’’ = y y x x y x

y y x x exemple avec moins de pages dans le livre y x

* la transformée de Fourier de la brosse est la convolution des transformées de Fourier des deux livres (par transformation de Fourier, le produit devient une convolution) T.Fourier v y u x les transformées de Fourier des livres sont des peignes d’impulsions leurs supports sont respectivement l’axe u et l’axe v nous les nommons ¨PX(u,v) et PY(u,v) v v * u u

la convolution de PY(u,v) avec une des impulsions (placée en u0) se traduit par la création d’une réplique de PY(u,v) translatée en u0 la convolution de PY(u,v) avec PX(u,v) est la somme de toutes les répliques de peignes décalées, c’est-à-dire une brosse v v v u u u

deuxième étape : utilisation de ce résultat pour interpréter l’effet de l’échantillonnage spatial dans le domaine des fréquences

dans le domaine spatial, l’échantillonnage d’une fonction f(x,y) se traduit comme un produit de f(x,y) par la fonction d’échantillonnage (la brosse) y y x x avant échantillonnage après échantillonnage

autre image où les variations sont plus rapides (il y a plus de hautes fréquences) y y x x avant échantillonnage après échantillonnage

la transformée de Fourier de la fonction échantillonnée est la convolution de la transformée F(u,v) de f(x,y) par la transformée de Fourier de la brosse qui est elle aussi une brosse la convolution par la brosse est la somme des répliques décalées à la position de chacune des impulsions de la brosse v v u u

retrouver la fonction dans le domaine spatial est équivalent à la retrouver dans le domaine des fréquences v v u u il ne faut garder qu’une composante fréquentielle il ne faut pas que les répliques décalées se chevauchent

ici le pas d’échantillonnage est trop grand et les répliques se chevauchent il n’est pas possible de retrouver la fonction initiale par une simple sélection v v u u

v v u u sélectionner la réplique = effectuer un filtrage passe bas

DANS LE DOMAINE SPATIAL : produit par la « brosse » d’échantillonnage DANS LE DOMAINE DES FREQUENCES : convolution de la tf par une brosse d’impulsions = répétition du spectre suivant la brosse domaine spatial domaine des fréquences « spectre » de l’image initiale (fonction continue de l’espace) reconstitution de l’image initiale par filtrage passe bas (interpolation) échantillonnage reconstruction « spectre » de l’image échantillonnée

Remarque : il est possible de choisir des motifs de « pavage » différents mieux adaptés aux caractéristiques spectrales de l’image à échantillonner par exemple si le spectre de l’image est à symétrie circulaire, le support hexagonal permettra un pavage plus compact que le support carré ce qui se traduira dans le domaine spatial par un échantillonnage en quinconce plus économique que l’échantillonnage sur un motif carré

effectuer le filtrage dans le domaine spatial calcul de la réponse impulsionnelle du filtre par transformée de Fourier inverse : c’est la transformée de Fourier inverse d’un pavé (produit de deux créneaux monodimensionnels en u et v) y y x x

pour reconstruire l’image à partir de ses échantillons (pixels) il faut que son support spectral soit limité à la moitié de la fréquence d’échantillonnage dans les deux directions u et v ; on en déduit (par transformée de Fourier inverse de la fonction constante sur un support carré) la réponse impulsionnelle du filtre interpolateur interpolation idéale (voir le cours de traitement numérique du signal)

NOTER LES OSCILLATIONS « Parasites »

application à la rotation l’antécédent d’un pixel n’appartient pas à la grille ! calcul par interpolation de q p

impulsion « parfaite » avant rotation impulsion après rotation on voit les oscillations des fonctions sinc

reconstruction par interpolation échantillonnage reconstruction par interpolation difficulté : somme infinie, la convergence n’est pas assurée ! combien faut il calculer de termes pour que le résultat ait une précision suffisante (par exemple 10bits soit 1/1000) approximation : par des fonctions prenant en compte un nombre plus réduit de pixels dans le voisinage de l’échantillon traité surfaces de Bézier http://www.mathcurve.com/surfaces/beziersu/beziersu.shtml

reconstruction pratique interpolation linéaire par morceaux réponse impulsionnelle pyramidale

éventuellement interpolation plus élaborée tenant compte des caractéristiques spécifiques de l’image : régions lisses, contours nets par exemple

LES CONDITIONS DE SHANNON ? FAUT IL RESPECTER LES CONDITIONS DE SHANNON ? apparition de franges sur les contours

inconvénient du filtre passe bas idéal : les oscillations parasites (Gibbs, Fraunhofer, Airy)

transformée de Fourier discrète bidimensionnelle pas de perte d’information : calculer autant de valeurs dans le domaine des fréquences que dans le domaine spatial (transformée de Fourier inverse) (expression de la transformée inverse) chaque composante étant calculée par la transformée valeurs discrètes (ici entières) de u et de v tout comme de x et de y

Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète la transformée de Fourier discrète (signal échantillonné) est périodique ½ fréquence d’échantillonnage fréquence d’échantillonnage fréquence (0,0) il est préférable de placer la fréquence (0,0) au centre

Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète la transformée de Fourier discrète (signal échantillonné) est périodique il est préférable de placer la fréquence (0,0) au centre

Calcul basé sur la transformée de Fourier rapide monodimensionnelle on commence par calculer la TF monodimensionnelle de chaque ligne puis la TF monodimensionnelle de chaque colonne de ce tableau intermédiaire

y y f (x,y) G (u,y) x u v y G (u,y) F (u,v) u u 1. calcul de la transformée monodimensionnelle de chaque ligne de l’image et rangement dans un tableau où la variable en abscisse est u et non plus x y y f (x,y) G (u,y) x u 2. sur ce deuxième tableau, calcul de la transformée monodimensionnelle colonne par colonne et rangement dans un tableau où la variable en ordonnée est maintenant v v y G (u,y) F (u,v) u u

transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse Convolution 2D par transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse IMAGE INITIALE IMAGE MODIFIEE EFFET

transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse Convolution 2D par transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse valeurs discrètes (ici entières) de u et de v tout comme de x et de y échantillonnage spatial = périodisation de la transformée de Fourier échantillonnage de la transformée = périodisation dans le domaine spatial attention : tout se passe comme si les images et leurs transformées étaient périodiques

Illustration avec la transformée de Fourier bidimensionnelle Lorsqu’on effectue une convolution (nécessairement circulaire) en utilisant la transformée de Fourier discrète, le résultat est une fonction périodique dont la période est la dimension du signal (ici 128) convolution de f et de g le résultat de la convolution qui déborde en haut de l’image se retrouve reproduit en bas du fait de la périodisation implicite

utilisée en compression jpeg et mpeg cos cos le résultat est réel (mais peut se déduire de la transformée de Fourier) utilisée en compression jpeg et mpeg

application à des médaillons 8x8 ; compression par élimination des composantes de très faible amplitude, et quantification grossière des amplitudes faibles

original ou compression à 50% à 25% http://www.egr.msu.edu/waves/people/Ali_files/DCT_TR802.pdf

transformée en ondelettes (wavelets) JPEG2000 antonini, barlaud, mathieu (traitement d’images SI5) basses fréquences verticales basses fréquences horizontales filtrage hautes fréquences verticales filtrage hautes fréquences horizontales http://fr.wikipedia.org/wiki/Compression_Ondelette_(Images)

points communs entre la DCT et la compression par ondelettes transformée de Fourier les hautes fréquences sont peu énergétiques, il n’est pas nécessaire d’utiliser beaucoup de bits pour les coder 0 bit 1 bit 2bits 3bits et plus

signaux aléatoires bidimensionnels les définitions et les propriétés fondamentales sont des extensions directes de celles qui sont données en traitement du signal monodimensionnel moyenne, variance autocorrélation densité spectrale transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation stationnarité : invariance spatiale des propriétés statistiques filtrage des signaux aléatoires

bruit blanc : échantillons indépendants y y domaine spatial x x autocorrélation nulle sauf à l’origine m=n=0 (valeur de la variance) domaine fréquentiel v y densité spectrale constante mais fluctuations importantes autour de cette moyenne constante x u