Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée - Historique - Les points fondamentaux - Applications monodimensionnelles - signaux temporels - fonctions de transfert - radiodiffusion, transmissions - sons - Applications multidimensionnelles - images - propagation d’ondes interférométrie, holographie - imagerie médicale - Tomographie X - Imagerie RMN Pour récupérer une image à partir du web, cliquer avec la touche de droite l ’image voulue sur le site web, et l ’enregistrer dans le dossier voulu; ensuite insérer cette image dans une diapo du fichier powerpoint (insersion) pour intégrer une diapo dans une page web l ’enregistrer (fichier /enregistrer sous/format jpeg/une seule diapo sur le dossier approprié accessible à l ’extérieur) puis l ’insérer dans le fichier de la page web (insérer image dans l ’éditeur de pages web) J. Le Roux, leroux@polytech.unice.fr

1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué 1793 Comité Révolutionnaire 1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique) 1798 Campagne d ’Egypte avec Bonaparte, Monge (excellent organisateur) 1801 Retour à Polytechnique 1802 Nommé préfet de l’Isère (Champollion) 1804-1807 commence (?) à travailler sur la propagation de la chaleur mal reçu par la communauté scientifique (n’a pas cité le travail de Jean Baptiste Biot...) 1810 Ouvrage : Description de l ’Egypte 1811 Prix (mitigé) pour son travail sur la propagation de la chaleur; le manuscrit n’est pas publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris (évite Napoléon au retour de l’île d ’Elbe) 1817 Académie des sciences 1822 Secrétaire de l’Académie des sciences; Publication de la ‘théorie analytique de la chaleur’ 1830 (16 Mai ?) Décès à Paris J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de la physique-mathématique Ed. Belin, 1998 home.nordnet.fr/~ajuhel/Fourier/Fourier.html

Le problème étudié par J. B. Fourier Résoudre une équation aux dérivées partielles : trouver v(x,y) satisfaisant et des conditions aux limites L’idée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes (série de Fourier) Comment trouver les ? Orthogonalité entre fonctions

Mathématiques un dépaysement soudain JP Bourguignon et al. Fondation Cartier Paris Oct. 2011

Les travaux qui s’en déduisent Transformée de Fourier Laplace Transformée Inverse Extension aux signaux échantillonnés 1965: Invention de la transformée de Fourier rapide Cooley, Tukey, IBM Extension aux signaux multidimensionnels (images, 3D,etc..)

LA propriété fondamentale Système linéaire invariant en temps Entrée Sortie Convolution Transformée de Fourier Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence, même si son amplitude et sa phase sont modifiées

Signaux temporels (liste non exhaustive) Applications Signaux temporels (liste non exhaustive) Equations différentielles et filtrage Transmissions analogiques et numériques Interprétation de l ’échantillonnage des signaux en vue du traitement numérique Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée) MP3= analyse de Fourier + filtrage numérique Identification des caractéristiques d’un système linéaire par exemple suppression d ’échos, sismographie signaux biologiques déformés Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusion numérique (OFDM) http://www.eskimo.com/~miyaguch/mp3info.html

Filtrage, annulation d ’écho, etc ... : déformation linéaire par un canal de transmission Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser Atténuation Déphasage -2.35696 -1.57233 -0.78770 -0.00307 0.78157 1.56620 2.35083 3.13546 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 -3.14159 -2.35696 -1.57233 -0.78770 -0.00307 0.78157 1.56620 2.35083 3.13546 -2 -1 1 2 ( XR ) visut Fréquence Fréquence ( XPH ) visut ( XR ) visut

Modulation d ’amplitude = translation en fréquence exemple en communication numérique 30 80 130 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 30 80 130 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 Bande de base 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 modulation 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 Addition, transmission ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( time time time time time time x2 x1 y2 x1 y1 ) ) ) ) ) ) YY1 YY2 XX2 YY1 XX1 ) ) ) ) ) frequence frequence frequence ys frequence frequence démodulation -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 -50 50 100 2 5 8 -50 50 100 2 5 8 filtrage ( YYS ) ( time yrec2 ) frequence 8 16 24 32 -1.2 -0.8 -0.4 -0.0 0.4 0.8 1.2 ( YYR1 ) frequence ( time yrec1 ) ( time yr2 ) ( time yr1 ) ( YYR1 ) ( ( YYRT2 YYR2 ) ) frequence frequence frequence ( YYRT1 ) frequence temps fréquence temps fréquence

Interprétation de l’échantillonnage Echantillonner un signal au pas c’est périodiser sa transformée de Fourier 100 700 1300 1900 -1 1 -256 -128 128 256 -0.2 -0.1 -0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 100 700 1300 1900 -1 1 -256 -128 128 256 -0.2 -0.1 -0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Pour un échantillonnage correct, pas de composantes fréquentielles pour ( time x2 ) Reconstruire le signal , c’est éliminer les hautes fréquences par filtrage passe bas ( ( ( ( ( time x1 y x ) ) ) ) ) absct nfreq visX absct nfreq visY

Analyse de l ’amplitude des composantes d ’un signal vocal Signal temporel Représentation en fréquence 200 600 1000 -0.5 -0.0 0.5 harmoniques (composantes aux fréquences multiples de la fondamentale) 0.0 5.2 10.4 15.6 20.8 26.0 31.2 36.4 41.6 46.8 52.0 57.2 62.4 0.01 0.03 0.05 0.07 t Unité=125 ms 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 -0.5 -0.0 0.5 0Hz 4000Hz 8000Hz Fondamentale à 129 Hz t Unité=125 ms

Données pour la reconnaissance de parole : mesure de l’énergie dans une vingtaine de bandes de fréquences (échelle mél) 20 000 Hz

Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniques sont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) : accord majeur = harmoniques 3 et 5 la H5 du fa est le la (H3 du ré) : accord mineur ? ré fa# la (ré fa la) do 3 5 5 si la sol fa# fa mi ré do do ré mi fa sol la si do http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf

fréquence harmonique 8 temps notes jouées par un violon http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectrogram_of_violin.png

Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur) en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme) Freq.(8kHz) Temps (1s) Freq. temps

Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons)

effet doppler : le mouvement modifie la fréquence observée échographie doppler circulation sanguine cosmologie Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88

Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi Quelques applications de la transformée de Fourier discrète Codage MP3 Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numérique et transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques: suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi Codes correcteurs d’erreurs de Reed Solomon (transmissions numériques, téléphone mobile, CD…) a : générateur d ’un corps de Galois (corps fini)

Principe du codage MP3 Filtrage des signaux dans différentes bandes de fréquences T. Cos et codage T. Cos et codage T. Cos et codage Emission des données T. Cos et codage T. Cos et codage Sélection des canaux utiles (effet de masquage 1er codage T. Fourier

Rôle fondamental de la fréquence en mécanique quantique Les relations de Planck-Einstein  établissent un lien entre la fréquence d'une onde lumineuse plane, et l'énergie des photons associés à cette onde :                                               h  constante de Planck,        fréquence de l'onde

Informatique Quantique : implémentation de transformées unitaires transformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiter afin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcés mettant en évidence la solution du problème |0> H |0> H |u> U U Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor Trouver les facteurs premiers d’un nombre Ramené à la recherche de la périodicité d’une fonction : Dans le domaine des fréquences Harmoniques d ’une fréquence fondamentale Mise en évidence de pics régulièrement espacés dans la transformée de Fourier (c ’est une transformée unitaire)

http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/ La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256 http://www.nicolet.com/labsys/

Interférométrie et spectroscopie

http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/ La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256

http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy at submillimeter wavelengths » . http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf

Résultat de l ’analyse spectrale d ’un signal RMN (résonance magnétique nucléaire) pour une molécule d ’alcool éthylique

détection d’exo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale d’une étoile (effet doppler : variation de longueur d’onde de la lumière en fonction de la vitesse) : recherche d’un signal périodique en présence d’un bruit de mesure très important effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de l’univers

Recherche de traces de vie extraterrestre corrélation de deux analyses spectrales mouvement périodique de planète Interférométrie et spectroscopie (effet doppler)

Infrared spectroscopy for food quality analysis and control  Par Da-Wen Sun

Fonctions multidimensionnelles (images) (Optique de Fourier) Traitement d’images Propagation d’ondes, interférométrie Tomographie par rayons x Imagerie par résonance magnétique nucléaire Cristallographie, analyse des structures moléculaires

sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa direction et la période des oscillations dans cette direction

Traitement d ’antennes : Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques

par exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy Traitement d ’images par exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy Convolution de l ’image avec la transformée de Fourier de l ’ouverture du télescope Produit dans le domaine des fréquences Convolution dans le domaine spatial coupe

Quelques exemples de traitement (Amplification des hautes fréquences c ’est à dire des variations rapides) Correction d’effet de flou, de bougé Mise en évidence des contours Codage d’images JPEG et MPEG (une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus) + élimination ou codage plus sommaire des hautes fréquences

Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant est dans les basses fréquences)

FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)

FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)

Transformée en cosinus et réduction de débit en transmission d ’images JPEG MPEG

Étude des équations aux dérivées partielles Chebyshev and Fourier Spectral Methods John P. Boyd University of Michigan Décomposition des fonctions étudiées sur une base, par exemple des sinusoïdes multidimensionnelles ; Trouver l’amplitude de chaque composante afin d’approcher au mieux la solution de l’équation

Electromagnétisme, optique ondulatoire l ’onde transmise ‘porte’ la transformée 2D de la source (équations de Maxwell) (Analyse des appareils d ’optique p.ex. lentilles, optique de Fourier) Application en interférométrie et en holographie (mécanique quantique)

Holographie = Enregistrement des interférences formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses)

enregistrement des franges d’interférence éclairage de l’hologramme l’observateur, en regardant les franges voit « l’objet » http://fr.wikipedia.org/wiki/Holographie

et de la phase des interférences F(w) Interférométrie en imagerie astronomique Antoine Labeyrie au plateau de Calern Télescopes de l ’ESO à La Silla au Chili Limitation du diamètre faire interférer les signaux provenant de deux télescopes distance = fréquence = w Mesure de l ’amplitude et de la phase des interférences F(w) Déplacement des télescopes: Modification de w Transformée de Fourier inverse f(x) Problème : turbulence atmosphérique

http://fr. wikipedia. org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf. C3. A9rom http://fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optique

surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse Observatoire de Paris (LESIA) interféromètre IOTA (Arizona) http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=7401

Cristallographie Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module de la transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse

Transformée de Fourier http://www.afmb.univ-mrs.fr/IMG/pdf/introduction-cristallo.pdf

élément pour l’étude de la structure des protéines

Tomographie Reconstruire un objet à deux dimensions à partir de ses projections

LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS D’OBJETS TRANSLUCIDES PERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS VOLUMES

Tomographie : formulation dans le domaine spatial Dans le domaine des fréquences Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de On reconstruit F(u,v) à partir de pour différentes valeurs de Puis on effectue une transformée inverse

Tomographie

Résonance magnétique nucléaire Champ magnétique: Faible aimantation du noyau Possibilité d’utiliser les phénomène de résonance A. Champ magnétique fixe B + champ tournant à la fréquence (Onde radiofréquence 20 à 50 MHz) B. Evolution libre, retour à l ’équilibre Décroissance exponentielle oscillante de l ’aimantation (~100ms) mesurée par une antenne La fréquence des oscillations (quelques Hz) dépend de B

Imagerie par RMN Fréquence du retour à l’équilibre (exponentielle amortie) de l’ordre du Hz 0.0000 10.0294 20.0588 30.0882 40.1176 50.1471 60.1765 70.2059 80.2353 90.2647 -1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5 B fort 0.0000 10.0294 20.0588 30.0882 40.1176 50.1471 60.1765 70.2059 80.2353 90.2647 -2.0 -1.2 -0.4 0.4 1.2 2.0 B faible On choisit B(x,y,z) fonction linaire de la position, variable d ’une mesure à l ’autre rep visut 1000 rep rep visut visut 1000 1000 Le signal capté par une antenne est rep visut 1000 avec

Imagerie par RMN t fixé : une valeur de la transformée de Fourier tridimensionnelle (t varie: valeur suivant un axe : même formulation que la tomographie) Une image ou un volume complet : plusieurs mesures avec des directions de gradient différentes Quantité de molécules d’hydrogène dans le volume dxdydz B y x Variation linéaire du champ ‘fixe’ dans l’espace Reconstruction par transformée inverse (précision du mm)

Image rmn

image irm de diffusion de molécules d’eau (le long des axones)

Conclusion Vaste champ d ’application Grâce au traitement numérique Grâce à l ’invention de la transformée de Fourier rapide Du point de vue mathématique Importance des systèmes linéaires invariants et de leur effet sur les signaux sinusoïdaux Orthogonalité des fonctions sinusoïdales + la théorie des distributions (en particulier la distribution de Dirac) Copie des transparents: http://www.essi.fr/~leroux/ http://www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html