Transitions de phase en dimensions fractales * Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS * Université d’Evry-Val d’Essonne

Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon Irradiation d’un multicouche Ni-W par des ions Xe+ Microscopie électronique à transmission pour Ni-W Microscope électronique à balayage pour le fer Amas de DLA Fractal sur un nombre fini d’ordres de grandeur

Description des fractals de Sierpinski et modèles Simulation Monte-Carlo et analyse en tailles finies Renormalisation Monte-Carlo Ralentissement critique et amas de Wolff Modèle de Potts Percolation

Fractals de Sierpinski (et Menger) Cellule génératrice SPg(ld,Noc, 1) Noc sites occupés dans un carré ou un cube de côté l SPb(33,18,1) Invariance d’échelle : Processus itératif et dilatations L’écart à la symétrie de translation est violent Le désordre est structuré par l’invariance d ’échelle Fractal math à k infini

k étapes d’itération  Réseau SPg(ld,Noc, k) Taille L=lk Nombre de sites Nock=LDf Dimension de Hausdorff Champ pertinent et modèle Paramètres topologiques additionnels Degré de ramification, connectivité, lacunarité

Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins Modèles Spins d’Ising ou de Potts à q états placés aux sites de fractals de Sierpinski déterministes Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins Lien avec la suite phénomène critique • Fractals de degré de ramification infini  Le modèle d’Ising présente une transition du second ordre para-ferro magnétique à Tc  0

Renormalisation dans l’espace direct Construction de la structure fractale Fluctuations géométriques multi-échelles  fonctions de corrélation à deux points spin-spin dépendantes de la position Symétrie d’échelle discrète  Tailles simulées : L=lk Construction structure convergence thermo Fluctuations locales de connectivité Tailles simulées en L^k =difficultés simulations définition de la longueur de correlation  Structure de la cellule génératrice présente à tous les ordres de grandeur

Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisins zg(ld,Noc, k)  Propriétés topologiques dépendantes de l’étape d’itération k de la structure On peut calculer le nombre moyen de premiers voisins analytiquement Fluctuations de connectivité moyenne  construction de la structure k Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisins zg(ld,Noc, k) par rapport à sa limite thermodynamique zg(ld,Noc,)

Simulation Monte-Carlo en situation canonique Réduction du ralentissement critique ALGORITHMES DE “CLUSTER’’ (Wolff, Swendsen-Wang) Traitement des données des simulations Première approche Date des algo Wolff 1989 METHODE DES HISTOGRAMMES

Analyse en tailles finies • Comportement asymptotique de la longueur de corrélation x~|t|-n où t =(T- TC )/TC • Hypothèse d’homogénéité f(t,h)=b-Df f(tbyt,hbyh ) Température réduite / Finite size scaling du à Michael Fisher En champ nul Partie singulière de la densité d’energie libre devient ici énergie libre par spin

 Calcul de n  Pics des dérivées logarithmiques  Calcul de TC  Position des pics Fnmax  Calcul de TC sans n  Point fixe du cumulant :  Calcul de (b/n) et (g/n)   Autre calcul de (g/n)  Pic de susceptibilité :

SPa(52,24)  Df ~ 1.975 2.06604 2.06616 2.06602 2.06660 Tising=2.269 D=2 k=5 => L=3125 près de huit millions de spins

SPa(52,16)  Df ~ 1.723 0.8188 0.8372

SPa(32,8)  Df ~ 1.893

Maximas de susceptibilité du paramètre d’ordre cmax(L) Pente g/n a a Extrapolation à la limite thermodynamique = autre méthode a a a a

Renormalisation du Hamiltonien d’Ising : Couplages Couplages imposés pour la renormalisation du réseau en parallèle à celle de H Remonter en amont de l’homogénéité de f

Renormalisation Monte-Carlo • Flot • Linéarisation du Flot • Calcul de la matrice [T (n)] Un peu comme pour les systèmes dynamic Lyapunov Réponse linéaire => j’ai besoin de m=n et m=n+1 On peut aussi estimer TC je me borne aux exposants • Calcul des deux plus grandes valeurs propres lt(n) et lh(n) de [T (n)] dans chaque sous espace

SPa(3,8) yt=1/n <0.525 lt=3 yt yt n Nombre de couplages Convergence avec le nombre de couplages b) Convergence avec le nombre d’étapes renormalisation yt=1/n <0.525 SPa(3,8)

Analyse en tailles finies : g/n=1.732(2) lh=3 yh yh n Nombre de couplages yh=1.82(1) 2yh=Df+g/n Analyse en tailles finies : g/n=1.732(2) Nécessité d’aller très loin en tailles donnerait 1.812 Huitième étape L=6561 et N=16 777 216

Corrections d’échelle Ecarts aux lois de puissances Lx(1+aL-w+…) Dépendantes de la grandeur physique et de Df Dépendantes de la topologie du fractal Importantes lorsque Df décroît de 2 vers 1 Peu importantes pour 2.5 < Df < 3  Sans effet sur cmax(L)  Valeur précise de (g/n) Liées à la convergence à la limite thermodynamique Autre nature qu’un effet de tailles finies habituel Corrections d’échelle pas calculées fit a 4 para sur 5 points + log+ topocaractere Relation d’hyperscaling  Satisfaite avec la dimension de Hausdorff

FRACTALS  UNIVERSALITE FAIBLE Développements en e  Exposants g et n en désaccord : Brisure de la symétrie de translation FRACTALS  UNIVERSALITE FAIBLE Désordre = champ pertinent

Ralentissement critique Fonction d’autocorrélation de la grandeur A Erreur statistique sur <A> tA : Temps d’autocorrélation intégré z dépend de l’algo et du modèle + cinétique stochastique au sens d’une équation maitresse Glauber, etc EQUILIBRE CANONIQUE Plusieurs temps = plusieurs lois Auotocorrélation à l’équilibre L assez grand pas de corrections à TC  Lois d’échelles dynamiques t = LzFt(tL 1/n)

Algorithme de Wolff 1) Tirage d’un site i du réseau au hasard 2) Addition de sites j, premiers voisins de i, à l’amas avec la probabilité : 3) Répétition de l’étape 2) pour chacun des sites venant de rejoindre l’amas Exemple car étude ultérieure des amas de fortuin Kasteleyn 4) Répétition de l’étape 3) jusqu'à « épuisement » 5) Retournement en bloc de tous les sites de l’amas 6) Retour en 1)

« Tension de surface » de l’amas « Nombre de sites » de l’amas nième pas Monte-Carlo (n+1)ième pas Monte-Carlo « Tension de surface » de l’amas 2|En+1 -En | « Nombre de sites » de l’amas 2|Mn+1 -Mn |

Fonctions d’autocorrélation de l’aimantation à TC SPa(52,24) Df ~ 1.975 SPa(32,8) Df ~ 1.893 CM(n) CM(n) Wolff n n

Calcul de temps d’autocorrélation k=5 Calcul de temps d’autocorrélation Plusieurs temps caractéristiques  Calcul de tE à partir d’un fit de <CE(n)> sur une base restreinte :

Exposants dynamiques

Distributions de probabilité des tailles des amas de Wolff à TC SPa(52,24), Df 1.975 SPa(43,56), Df 2.904

Invariance d’échelle des distributions de probabilité des tailles des amas Loi d’echelle liée à l’expo de RG Insister Pk(s)= Pk-1(s l -yh )=Pk-1(s / l(b/n+g/n))

Loi d’échelle de la “tension de surface’’ moyenne des amas à TC Pour L ‘‘assez grand’’ : <|DE|>~LSw

Invariance d’échelle des densités de probabilité de “tension de surface” Question : ds? L=sym discrète d’échelle De l’étape k à l’étape k-1: P S(|DE|)= l -dS P S(|DE| l -ys )

Dimension fractale des clusters de Wolff P (s)= b -Df P (sb -yh ) <s>~Lg/n P S(|DE|)= b -dS P S(|DE| l -ys ) <|DE|>~LSw 2yh= Df+g/n 2yS= dS+Sw Tailles Tensions de surface dS = Df-1 Conjecture Temps de fluctuations statistiques  Densites de proba lors d’un changement d’échelle b Lien entre les exposants? Temps de fluctuations statistiques temps courts hyperscaling les deux du haut Dimension fractale des clusters de Wolff C’est des fluctuations : elles sont liées aux fonctions de réponse <|DE|2 >=2(<E2> - <E>2)(1-CE(1)) 2Sw +2ZEWSF 2/n ZMWSF Df - g/n

Modèle de Potts ferromagnétique à q états de spin Réseaux invariants par translation  Ordre de la transition dépendant de q et d Valeur critique qc(d) Voir berche Désordre : champ pertinent dans certaines conditions

Distribution de probabilité de l’énergie à la transition Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre (Meyer-Ortmanns et Reisz) Ordre de la transition Distribution de probabilité de l’énergie à la transition SPa(3,8) Profil lorentzien de chi P(E) à l’étape 7

Modèle de Potts à 3 états sur SCa(3,8) Transition du second ordre Corrections d’échelle plus fortes que pour Ising Pas de corrections sur cmax(L)  Valeur précise de (g/n) Bornes pour les autres exposants  Df compatible avec la relation d’hyperscaling  On peut différencier les deux ‘‘classes’’ d’Ising et de Potts Correc confirme le caractère topo les amas voient plus la structure ils sont plus contraints?

Transition de percolation Distribution de taille des amas ns(L,p) Moments de ns(L,p) Recherche des pics des moments (2  k) et calcul de leur largeur Algorithme de Newmann-Ziff s reviser premier moment, deuxieme,etc Somme exclut l amas de perco

Maxima des moments Mkmax(L)~L - yk/n Dfp=1.766 pour SCa(42,12) yk/n= (Df - kDfp) Dfp=1.828 pour SCa(32,8) Dfp=1.766 pour SCa(42,12) SCa(32,8) M2max Mk(L,p)=l -yk/n Mk(L/l,p*) p -pck(L)= l -1/n (p*- pck(L/l)) 2 Df tend vers dfp si df diminue voir Wolff 1.8958 A 2D k=5 6 7 Position constant gap scaling Largeurs des pics Dpk(L) ~L-1/n

Perspectives Diagramme de phase du modèle de Potts Transport anormal et systèmes non linéaires Vieillissement d’une particule Brownienne