Soutenance de thèse Lundi 12 décembre 2005 Modélisation analytique des transferts bi- et tridirectionnels eau-soluté Application à l’irrigation à la raie et à la micro irrigation David Crevoisier UMR G-Eau

Objectifs Objectifs du travail Mise en œuvre d’une modélisation intégrée à l’échelle de la saison Impact des pratiques d’irrigation et de fertilisation sur les risques agro-environnementaux. Application à deux techniques d’irrigation L’irrigation à la raie. La micro-irrigation. Techniques à caractère bi- ou tridirectionnel : Géométrie des transferts. Technique de fertilisation.

Plan Problématique Sélection des outils Création du modèle Résultats Principes généraux Résolution des équations de transferts Recomposition de la solution Accroissement du domaine de validité Résultats Perspectives

Problématique Campagnes expérimentales Nemeth, 1999 Triki, 2002 Devenir de l’azote sous irrigation gravitaire. Forte hétérogénéité de la distribution du fertilisant sur la parcelle. Triki, 2002 Etude locale. Impact du tirant d’eau sur l’homogénéisation de la répartition du fertilisant. Popova, 1997 Champ expérimental en Bulgarie équipé d’un lysimètre. Etude des lixiviats afin de mesurer les risques environnementaux de deux pratiques culturales. Importance des transferts bidirectionnels à l’échelle de la saison.

Problématique Limites des outils existants Modèle capacitif (Stics) mal adapté Représentation 1D des phénomènes à l’échelle de la saison. Dynamique des transferts inappropriée au contexte de l’étude. Limites de l’utilisation de la modélisation numérique (Hydrus-2D) Représentation 2D des phénomènes à l’échelle événementielle. Influence de la plante et du climat sur l’état du sol non prise en compte directement. Conditions de convergence numérique. Calage de nombreux paramètres. Description des phénomènes Caractère opérationnel

Exigence opérationnelle Sélection des outils Modélisation retenue Construction d’une modélisation intégrée Hydrus-2D + modules manquants. Modèle à base mécaniste + domaine de validité étendu + réduction des contraintes d’Hydrus-2D. Exigence opérationnelle Rôle de chaque modélisation Modèle de culture existant : en appui au nouveau modèle (fonction puits racinaire, puits et source nitrate). Hydrus-2D : modèle de référence à l’échelle événementielle (à valider).

Sélection des outils Validation d’Hydrus-2D Nemeth, 1999 Triki, 2002 validation effectuée par Mailhol et al. (2001) Triki, 2002 Transferts hydriques : simulation satisfaisante. Transferts de nitrate : bonne restitution qualitative. Popova, 1997 Même remarque que pour l’expérience précédente. + Littérature (Abassi et al., 2004; Gärdenäs et al. 2004,…) Validation d’Hydrus-2D Compréhension des conclusions expérimentales.

Création du modèle Principes généraux Idée Principe Résolution analytique à bases mécanistes. Domaine de validité plus étendu. Principe Décomposition du problème initial en problèmes plus simples. Résolution des problèmes simples. Recomposition d’une approximation de la solution du problème initial. Outils mathématiques mis en jeu Utilisation de la fonction de Green. Principe de superposition. Représentation algorithmique des expressions symboliques par des arbres binaires.

Création du modèle Principes généraux Problème initial Décomposition du problème initial complexe et problèmes élémentaires Décomposition gaussienne des conditions initiales et discrétisation de la surface Rotation du domaine des problèmes élémentaires permettant leur résolution Conditions atmosphériques Apport d’eau dans la raie Condition initiale

Transformation des conditions initiales et aux limites. Création du modèle Simplification de l’équation de Richards Equation de Richards : Résolution analytique de l’équation Dans le cas des problèmes élémentaires. Linéarisation de l’équation. Le changement de fonction Les variables adimensionnées La transformation de Kirchhoff L’hypothèse du sol linéaire Le modèle de Gardner Le changement de variables relatif à la rotation du domaine En utilisant : L’équation à résoudre devient : Transformation des conditions initiales et aux limites.

Solution analytique de l’EDP Création du modèle Utilisation de la fonction de Green Méthode de résolution Utilisation de la fonction de Green (permet la résolution analytique d’EDP dans des cas de conditions aux limites complexes). Principes de la méthode Multiplication de l’EDP initiale par la fonction de Green. Intégration en espace et en temps. Application du théorème de Green. Propriétés de la fonction de Green Solution de l’EDP initiale. Réponse à une condition initiale sous forme d’une impulsion infinie au point (XS,ZS,TS). Solution analytique de l’EDP

Création du modèle Représentation des expressions Choix d’une représentation des expressions adaptée à l’étude Complexité des expressions analytiques Apparition de fonctions de la forme de Gaussiennes dans les expressions. Besoin d’une représentation adaptative pour intégrer ultérieurement d’autres modules. Arbre binaire. Famille de fonctions adaptées au problème . Arbre binaire  Programmation récursive. Intégration temporelle numérique

Création du modèle 4 types de problèmes élémentaires : Résolution des problèmes élémentaires 4 types de problèmes élémentaires : Condition initiale sous forme de Gaussienne et conditions de charge aux limites nulles (problème GDN). Condition initiale sous forme de Gaussienne et conditions de flux aux limites nulles (problème GCN). Condition initiale nulle et condition de charge aux limites constantes (problème NDV). Condition initiale nulle et condition de flux aux limites constantes (problème NCV). Condition initiale Condition aux limites Reconstruction de la solution du problème général.

Création du modèle Recomposition de la solution Superposition des solutions élémentaires Solutions élémentaires

+ Création du modèle Recomposition de la solution Recomposition des conditions aux limites par superposition des problèmes élémentaires de type NDV et NCV. Cas de deux segments du même type de condition à la limite. Cas d’un segment portant une condition de flux nul. Cas des conditions de flux nul latéral. Flux nul  Charge imposée +

+ =11+22 Création du modèle Recomposition de la solution Recomposition des conditions initiales par superposition pondérée des problèmes élémentaires de type GDN et GCN. Influence de deux segments sur une Gaussienne. Solution continue. =11+22 + Cas M : 1 > 2 Cas M’ : 1 = 2 Cas M’’ : 1 =1 et 2 = 0

Domaine de validité trop limité. Création du modèle Critiques de la modélisation Situations traitées Géométrie du domaine irrégulière. Conditions initiales et aux limites relativement complexes. Durée de l’événement quelconque. Applicable aux transferts hydriques et aux transferts de solutés. Limite de cette approche Hypothèses du sol linéaire. Tenseur de dispersion trop simplifié et flux considéré comme monodirectionnel. Domaine de validité trop limité.

Création du modèle Accroissement du domaine de validité Atténuation des contraintes de l’hypothèse du sol linéaire N jeux de paramètres moyens. N résolutions. Recomposition de la solution à partir des N solutions. Conservation de la masse

Vmoy Création du modèle Accroissement du domaine de validité Atténuation des approximations dans l’équation de convection-diffusion Transformation Lagrangienne du maillage. 1ère résolution de l’équation linéarisée. Transformation du maillage en fonction de V-Vmoy. Interpolation entre maillage transformé et maillage initial. Approximation du tenseur de dispersion comme fonction constante par morceaux. Transformation du maillage. Itération Condition CFL Vmax ΔT <ΔX

Résultats du modèle Cas testés Sol de type limoneux, Δθ=0,3 cm3.cm-3. Profondeur 1 m. Nombre cellule Hydrus  Nb points de visualisation modèle.

Résultats du modèle Cas testés Irrigation à la raie de 3h – condition initiale homogène. Redistribution de 2 jours – condition initiale fin de l’irrigation. Transfert de solutés sous irrigation – condition initiale hétérogène. Condition initiale humidité Condition initiale nitrate

Evolution de la teneur en eau Résultats du modèle Phase d’irrigation Ecart quadratique : 3,17% Temps CPU : 25% Modèle développé Hydrus-2D Evolution de la teneur en eau

Evolution de la teneur en eau Résultats du modèle Phase de redistribution Ecart quadratique : 3,61% Temps CPU : 85% Modèle développé Hydrus-2D Evolution de la teneur en eau

Evolution de la concentration en nitrate Résultats du modèle Transfert de solutés Ecart quadratique : 4,12% Temps CPU : 63% Cumuls des erreurs du calcul de flux et calcul des transferts de solutés. Modèle développé Hydrus-2D Evolution de la concentration en nitrate

Résultats du modèle Paramètres à définir Modèle développé Hydrus-2D Paramètres hydriques Modèle linéaire : cD,cC Modèle van Genuchten : , n, m, Ks Paramètres transferts de solutés Equation linéarisée : Dmoy Equation de transferts : D0, DT, DL Conditions initiales N Gaussiennes (μ,σ,A) Valeur en chaque cellule Conditions aux limites Variables en espace et en temps Variables en espace

Conclusions Apport du modèle développé sur les modélisations existantes Traitement de situations plus complexes que les modélisations analytiques existantes. Réduction des contraintes par rapport à une modélisation numérique. Modèle adaptatif. Retour sur les objectifs initiaux Principes généraux du modèle établis. Simulation à l’échelle événementielle. Passage de l’échelle événementielle à l’échelle de la saison facilité.

Perspectives Amélioration du caractère opérationnel Capacité du modèle à traiter des conditions aux limites variables en espace et en temps Variation du débit d’un goutteur, avancement de l’eau dans une raie d’irrigation. Traitement de l’évaporation du sol. Traitement des précipitations. Impact de la plante sur l’état du sol Traitement de l’extraction racinaire possible avec le modèle dans certaines conditions. Effort de modélisation à faire dans le cas de stress hydrique ou stress azoté. Description d’une saison culturale complète Calage des paramètres du modèle. Passage d’une phase d’irrigation à une phase de redistribution. Amélioration de l’efficacité des méthodes numériques.

Je vous remercie de votre attention

Sélection des outils Modélisation par analogie Juxtaposition de plusieurs empilements de réservoirs. Définition de transferts latéraux entre les piles de réservoirs. Frein à l’application de cette méthode  Difficulté à représenter la dynamique du sol dans le contexte. Dépendance des transferts latéraux selon la nature du sol et l’humidité initiale du sol. Même apport d’eau + Durée d’apport différente  Même stockage d’eau + Même profil de flux.

Campagnes expérimentales Micro-irrigation Tests de 5 stratégies de fertigation en micro-irrigation sur 3 types de sol. Objectifs : optimiser la disponibilité du fertilisant pour la plante tout en limitant les risques de lessivage. Cycle répété à intervalle régulier sur une durée de 28 jours. Même dose totale apportée.

Campagnes expérimentales Micro-irrigation Système racinaire concentré à 50 cm  fertilisant perdu au delà. Utilité de la modélisation  comparaison qualitative de l’impact des stratégies. Résultats obtenus par simulation numérique après un cycle de fertigation.

Création du modèle Représentation des expressions Avantage de ce type de représentation et de la programmation récursive Représentation d’un grand nombre de fonctions (polynôme, fonction d’erreur). Stockage informatique dynamique. Simplification des définitions d’opérations sur une expression générale. Exemple de programmation récursive sur l’évaluation d’une expression Opération à effectuer sur un arbre en fonction de ses deux fils. Opération à effectuer sur une feuille. Calcul en cours GA GB G3(Xs,X) GA(Xs,X) +GB(Xs,X) G4(Xs,X) G5(Xs,X) G1(Xs,X) GA(Xs,X) GB(Xs,X) G2(Xs,X) Calcul général GA GB G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+ G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+G3(Xs,X))  ((G4(Xs,X)+ G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+G3(Xs,X))  ((G4(Xs,X)+G5(Xs,X))) G(Xs,X) =G1(Xs,X)+ G(Xs,X) = G1(Xs,X) + ((G2(Xs,X)+G3(Xs,X))  G(Xs,X) = GA GB GA GB