Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires B. Marx sous la direction de D. Georges et D. Koenig Laboratoire d’Automatique de Grenoble UMR CNRS-UJF-INPG B.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France 16 décembre 2003

Plan de la présentation Introduction Plan de la présentation Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Introduction aux systèmes singuliers Placement optimal de capteurs et d'actionneurs Diagnostic robuste de défauts Commande multicritère et commande tolérante aux défauts Conclusion & Publications 16 décembre 2003

Définition des Systèmes singuliers Introduction Définition des Systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des • relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.) • relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.) Commande Conclusion On a donc un modèle du type : après linéarisation, le modèle devient : avec on peut supposer 16 décembre 2003

Formes équivalentes pour P et Q non singulières on a : Introduction Formes équivalentes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste pour P et Q non singulières on a : Commande Conclusion Forme équivalente standard : sous-syst. usuel sous -syst. non propre Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières : dynamique statique 16 décembre 2003

Réponse temporelle Réponse temporelle sous-syst. usuel sous syst. Introduction Réponse temporelle Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Réponse temporelle Commande sous-syst. usuel sous syst. non propre Conclusion régularité  unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données  det(sE-A) 0 système non impulsif  admet une représentation usuelle  a une fonction de transfert propre  N=0, dans la forme équivalente standard  A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E 16 décembre 2003

Intérêts des systèmes singuliers Introduction Intérêts des systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande signification physique des variables combinaison de relations dynamiques et statiques systèmes rectangulaires systèmes interconnectés systèmes impulsifs mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible Conclusion 16 décembre 2003

Commandabilité des syst. singuliers Introduction Commandabilité des syst. singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande  K tel que les pôles finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés  Conclusion  sous-syst. usuel commandable sous-syst. non propre (E,A,B) commandable (E,A,B) Imp- commandable   K tel que (E,A+BK) soit non impulsif  (E,A,C) observable  sous-syst. usuel sous-syst. non propre  L tel que les pôles finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés  L tel que (E,A+LC) soit non impulsif (E,A,C) Imp-  16 décembre 2003

avec retour d'état observé Introduction Exemple Syst. Sing. Plact Opt. CA v(t) C R L i1(t) i2(t) Diag. Robuste Commande Circuit RLC parallèle : à t=1, on applique v=1 V Conclusion décrit par la forme singulière de fonction de transfert État du système (E,A,B) R-commandable et Imp-commandable x(t), avec retour d'état normalisant (E,A,C) R-observable et Imp-observable Éstimée de x(t), avec retour d'état observé 16 décembre 2003

Placement optimal de capteurs/actionneurs Introduction Placement optimal de capteurs/actionneurs Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Problème : quelles grandeurs mesurer ? sur quelles grandeurs agir ? Conclusion Méthodes (pour systèmes usuels) : • assurer l'observabilité / la commandabilité • minimiser une erreur d'estimation / un coût de commande pour un type d'observateur / correcteur donné • performances en boucle fermée (norme H,…) • maximiser les transferts d'énergie 16 décembre 2003

Principe et avantages des méthodes énergétiques de POC/A Introduction Principe et avantages des méthodes énergétiques de POC/A Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Principe : localisation des actionneurs énergie énergie localisation des capteurs environnement (correcteur,…) environnement (observateur, correcteur,…) système énergie énergie Avantages : • fondement théorique : interprétation énergétique des grammiens : • ne dépend pas de la structure de supervision 16 décembre 2003

Calcul des grammiens généralisés pour systèmes singuliers Introduction Calcul des grammiens généralisés pour systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Théorème. (i) Gccc, Gcncc et Gcc= Gccc + Gcncc satisfont respectivement (ii) Si (E, A) est stable, Gccc 0 , Gcncc 0 et Gcc  0, sont les uniques solutions de (1), (2) et (3) respectivement (iii) Si (E, A) est stable, (E, A, B) est commandable si et seulement si Gcc>0 est l'unique solution de (3). => Résultats analogues pour l'observabilité (par dualité) => Résultats en temps discrets déjà établis 16 décembre 2003

Interprétation énergétique des grammiens généralisés Introduction Interprétation énergétique des grammiens généralisés Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Théorème. (i) L'énergie de commande minimale pour amener un système en X, depuis x(t0)=0, en un temps infini, est donnée par : Maximisation de Gdc => minimisation de l'énergie de commande (ii) L'énergie de sortie d'un système libre, générée par une condition initiale x(0)=X, est donnée par : Maximisation de (PQ)-TGdo(PQ)-1 => maximisation de l'énergie de sortie 16 décembre 2003

Optimisation de l'observabilité ou de la commandabilité Introduction Optimisation de l'observabilité ou de la commandabilité Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Placement de nc capteurs  maximiser l'énergie de sortie le placement optimal correspond à la matrice C solution de sous les contraintes et Conclusion Placement de na actionneurs  minimiser l'énergie de commande le placement optimal correspond à la matrice B solution de sous les contraintes et  Problèmes d'optimisation entière 16 décembre 2003

Réalisation et grammiens équilibrés Introduction Réalisation et grammiens équilibrés Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Pour (E,A,B,C) commandable et observable, il existe T1 et T2 telles que : cas continu : et cas discret : et où et Conclusion Les énergies de commande optimale, Eu(X), et de sortie, Ey(X), s'écrivent alors : et 16 décembre 2003

Optimisation jointe de l'observabilité et de la commandabilité Introduction Optimisation jointe de l'observabilité et de la commandabilité Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Placement de nc capteurs et /ou na actionneurs  maximiser l'énergie transmise des entrées vers les sorties, le placement optimal correspond à la matrice C et/ou B solution de sous les contraintes Conclusion 16 décembre 2003

traitement des résidus Introduction Diagnostic robuste Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Modèle nominal généralement insuffisant car : bruits, dynamiques non modélisées, variation de paramètres…  perturbations perturbations Commande Conclusion défauts biais, dérives, pannes,...  défauts générateur de résidus traitement des résidus nature, valeur, instant d'apparition,... des défauts  besoin d'étudier les défauts, malgré les perturbations système capteurs actionneurs consigne mesures 16 décembre 2003

Diagnostic robuste pour systèmes singuliers Introduction Diagnostic robuste pour systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande méthodes a priori - traitement (logique, statistique,...) des données brutes :  validation de bilans pour systèmes interconnectés Conclusion méthodes a posteriori - comparaison entre des grandeurs mesurées et des grandeurs estimées :  diagnostic robuste par filtrage-H  diagnostic robuste par factorisation coprime  estimation des fautes par observateur PI à entrées inconnues 16 décembre 2003

Validation de bilans pour systèmes interconnectés Introduction Validation de bilans pour systèmes interconnectés Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande objectifs :  détecter et localiser des défauts de mesures (dérives,…)  détecter et localiser des défauts système (fuites,…)  validité à l'apparition de défauts multiples Conclusion méthode :  approche graphique : système équivalent à un graphe  génération de résidus par arcs et par nœuds  logiques de décision pour générer des alarmes résultats :  détection et localisation de défauts multiples  minimisation des fausses alarmes,  décentralisation possible 16 décembre 2003

Diagnostic par filtrage-H Introduction Diagnostic par filtrage-H Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Positionnement du problème : système décrit par ou Conclusion Objectifs :  génération de résidus  modeler la réponse fréquentielle aux défauts  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations Hypothèse :  faisceau (E,A) régulier Méthode :  généralisation du filtrage-H aux systèmes singuliers 16 décembre 2003

Diagnostic par filtrage-H Introduction Diagnostic par filtrage-H Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Formulation sous forme de contrôle H : Commande Gf(s) Gd(s) + K(s) r w z génération de résidus modeler Gfr(s) gabarit de robustesse problème standard H Wf(s) - y Déterminer le K(s) qui minimise la norme H de Gwz(s) Wd(s) Gf(s) Gd(s) Gu(s) + -Gu(s) K(s) f u d r génération de résidus modeler Gfr(s) gabarit de robustesse Wf(s) - z Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s) K(s)Gd(s)Wd(s) || Wd(s) Gf(s) Gd(s) Gu(s) + -Gu(s) K(s) f u d r génération de résidus modeler Gfr(s) Wf(s) - z Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s)|| Conclusion Gf(s) Gd(s) Gu(s) + -Gu(s) K(s) f u d r génération de résidus Résolution :  synthèse de K(s) par résolution de LMI strictes Limite de cette approche :  générateur de résidus éventuellement impulsif 16 décembre 2003

Diagnostic par factorisation coprime Introduction Diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Système : Conclusion Objectifs :  génération de résidus par des filtres propres  modeler la réponse fréquentielle aux défauts  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations Hypothèses :  faisceau (E,A) régulier  système (E,A,C) Imp-observable et détectable Méthode :  factorisation coprime du système  formulation H du diagnostic 16 décembre 2003

Factorisation coprime de systèmes singuliers Introduction Factorisation coprime de systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Théorème. Un système régulier et Imp-observable admet une factorisation coprime avec et Conclusion  cofacteurs propres, réalisables par une représentation usuelle Application à la génération de résidus  générateur de résidus propre (choix de L) 16 décembre 2003

Synthèse du module de diagnostic Introduction Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Théorème. Le choix du gain L, n'influe pas sur les performances du module de diagnostic Conclusion Algorithme de synthèse du module de diagnostic. Gu(s) ~ -Nu(s) M(s) + u y Gf(s) f Gd(s) d r 1. Déterminer L, telle que (E,A+LC) soit admissible, par résolution d'une LMI stricte. Gu(s) ~ -Nu(s) M(s) Qd(s) + u y Gf(s) Wf(s) f r - z Gd(s) d Wd(s) 2. Déterminer Qd(s), solution d'un problème H standard pour le système non singulier (LMI) 16 décembre 2003

Exemple de diagnostic par factorisation coprime Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion On considère le système défini par avec On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations : 16 décembre 2003

Exemple de diagnostic par factorisation coprime Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Résultats obtenus : Fautes (pointillés noirs) et résidus (traits rouge) Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit (vert) 16 décembre 2003

Estimation des défauts par observateur PI à entrées inconnues Introduction Estimation des défauts par observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Système : Conclusion Objectifs :  estimation robuste de l'état et des défauts  gabarit de robusesse Hypothèses :  (E, A, C) Imp-observable (H1)  rang [E E1] = rang E (H2)  défaut vérifiant df(t)/dt=0 (H3) Méthode :  extension de l'observateur PI aux systèmes singuliers  synthèse d'un banc d'observateurs dédiés 16 décembre 2003

Observateur PI à entrées inconnues Introduction Observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Système équivalent à () par compression des lignes de E : Conclusion H L1+L2 F J + M2 M1 M3 D C (') L3 - K u d f y ^ x z boucle integrale On propose l'observateur proportionnel-integral défini par :  gains à déterminer afin que et 16 décembre 2003

Existence et synthèse de l'obs. PI Introduction Existence et synthèse de l'obs. PI Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Pour : F=T1A-L2C , L1=FT2 , J=T1B-(L1+L2)B , H=T1R1-L2R2 M1=In , M2=T2 , M3=-T2D, K=R2, l'erreur d'estimation vérifie : avec Commande Conclusion Théorème : sous (H1-H3), l'observateur PI converge  les erreurs d'estimation sont stabilisables  Existence Théorème : l'observateur PI optimal est solution de la minimisation de  sous les contraintes LMI et et L est donné par L=X-1Y Synthèse 16 décembre 2003

Diagnostic robuste par observateur PI à entrées inconnues Introduction Diagnostic robuste par observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande  Synthétiser un banc de nf observateurs : chaque observateur PI dédié à un défaut Conclusion  Un gabarit de robustesse est assuré par une fonction de pondération fréquentielle Wd(s) Algorithme de synthèse du module de diagnostic. Pour i=1,…nf l'observateur PI dédié optimal est déterminé par la minimisation de i sous les contraintes LMI suivantes où Di est la (n+i)ème colonne de D et Li est donné par Li=X1i-1Yi 16 décembre 2003

Exemple d'application de l'observateur PI Introduction Exemple d'application de l'observateur PI Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste On considère le système défini par avec : et le filtre de pondération : Commande Conclusion 16 décembre 2003

Diagnostic robuste pour systèmes singuliers : récapitulatif Introduction Diagnostic robuste pour systèmes singuliers : récapitulatif Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Validation de bilans Filtrage H Factorisation coprime Observateur PI à entrées inconnues Nature du système Structure maillée régime stationnaire (E,A) régulier (non impulsif) (E,A) régulier Imp-observable détectable Défauts à dynamiques lentes dans Im(E) Résolution Logique booléenne (E,A) régulier (non impulsif) Problème H non singulier LMI strictes LMI strictes placement de pôles Implémentation Automate logique Filtre singulier (admissible) d'ordre n Filtre propre d'ordre 2r+kf+fd Filtre propre d'ordre n+nf Application Génération de résidus, Génération d'alarmes Estimation robuste des fautes, Accomodation de la loi de commande Génération de résidus, Estimation robuste des fautes, Contrôle tolérant aux fautes Estimation robuste des fautes, Accomodation de la loi de commande 16 décembre 2003

Commande multicritère Introduction Commande multicritère Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Système : Conclusion Objectifs :  placement de pôles (O1)  contrainte de norme-H sur le transfert de w vers z (O2)  contrainte de norme-H2 sur le transfert de w vers z2 (O3) Hypothèses :  (E, A,B) Imp-commandable  (E, A,C) Imp-observable  Ker(E)  Ker(C2) Méthode :  formulation LMI des objectifs, et optimisation convexe 16 décembre 2003

caractérisation par LMI stricte du placement de pôles Introduction caractérisation par LMI stricte du placement de pôles Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Région LMI : région convexe de C  2 matrices =T et  D-admissible : (E,A), stable, non impulsif et les v.p. finies  D Théorème : (E,A) est D-admissible si et seulement si il existe une matrice P définie positive et une matrice S telles que EPET+APE T + TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0 avec V et U base du noyau de E et ET, et où 1ij désigne la matrice (ij) de composantes égales à 1  Généralisé aux systèmes singuliers incertains 16 décembre 2003

Synthèse des correcteurs pour commande multicritère Introduction Synthèse des correcteurs pour commande multicritère Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste  chaque objectif impose une contrainte LMI stricte Commande  recherche d'un solution : convexité,… mais conservatisme Conclusion Théorème : Pour une région LMI D et deux réels 2 et  , il existe un retour d'état u(t)=Kx(t) tel que le système en boucle fermée satisfasse (01-03) si il existe des matrices P=PT>0, L, H et S telles que et le gain est donné par K=(LET+HUT)(PET+VSUT)-1  méthode analogue pour le contrôle par retour dynamique de sorties 16 décembre 2003

Commande tolérante aux fautes Introduction Commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Système : Conclusion Objectifs :  performances nominales  tolérance aux fautes et aux perturbations  mise en œuvre de filtres propres Hypothèses :  (E, A) régulier  (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable  (E, A,C) Imp-observable et détectable Méthode :  factorisation coprime  formalisme H standard pour systèmes usuels 16 décembre 2003

Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande G(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref Réponse nominale  retour d'état observé L et F déterminés par LMI strictes Conclusion G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Tolérance aux fautes  problème standard H Qc(s) déterminé par synthèse de correcteur H d'un système non singulier.  filtres propres  perf. nominales / tolérance aux fautes : traitées séparément 16 décembre 2003

Commande tolérante aux fautes adaptative Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Algorithme de contrôle adaptatif tolérant aux fautes. 1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal 2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s) 3 Déterminer nf filtres Qci(s) chacun dédié à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute" 4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec où Jd est la norme H du transfert de d sur r Conclusion G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Qd(s) r 16 décembre 2003

Application de la commande tolérante aux fautes Introduction Application de la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande On considère le système défini par avec Conclusion Résidus fournis par le module de diagnostic Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait). 16 décembre 2003

Conclusion & Perspectives Introduction Conclusion & Perspectives Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande On a proposé des méthodologies complémentaires de 1/ placement optimal de capteurs / actionneurs 2/ diagnostic robuste 3/ commande Conclusion mais de nombreux sujets restent ouverts… 1/ robustesse du POC / A 2/ LTR et Loop shaping 3/ décentralisation de la commande 4/ aspects numériques de la mise en œuvre 16 décembre 2003

Publications Soumis : Introduction Syst. Sing. Plact Opt. CA  Georges, Benoit, Chovin, Koenig, Marx & Mauris, Distributed Instruments for Control and Diagnosis Applied to a Water Distribution System, IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference, Anchorage, USA, 2002.  Koenig, Mammar & Marx, H Fault Detection and Isolation for Descriptor : a Matrix Inequalities Approach, American Conference on Control, Anchorage, USA, 2002.  Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor/Actuator Location for Descriptor Systems Using Lyapnov-Like Equations, 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA, 2002.  Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.  Marx, Koenig & Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, European Control Conference, Cambridge, UK, 2003.  Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for linear descriptor systems using proportional integral obsevers, 42nd IEEE Conference on Decision and Control, Hawai, USA, 2003. Diag. Robuste Commande Conclusion Soumis :  Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor and actuator location for descriptor systems using generalized gramians and balanced realizations, soumis à American Control Conference, 2004  Marx, Koenig & Georges, Pole-Clustering, H2/H Control for Descriptor Systems : a Strict LMI Approach, soumis à IEEE transactions on automatic control (2003)  Marx, Koenig & Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003) 16 décembre 2003

Merci de votre attention (ou de votre patience) 16 décembre 2003