LES PROBABILITÉS en classe de 3ème

Introduction Pourquoi l’aléatoire au collège ? Les probabilités : deux visions Textes officiels Expériences aléatoires Notions élémentaires de probabilité Des exemples d’activités Conclusion

Introduction Des représentations du hasard chez des élèves de CM2 : « Choses imprévisibles qui viennent de l’extérieur » « On produit du hasard en répondant au pif » « Choses relatives aux coïncidences » « Chose où on peut avoir de la chance ou de la malchance» « Le hasard n’existe pas » La réalisation d ’expériences va permettre de corriger les représentations erronées

Etymologie : Hasard vient de l’arabe « az-zahr » qui signifie jet de dé Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber

Pourquoi l’aléatoire au collège ? « Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle » Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques qui diffère fondamentalement des autres. Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des phénomènes incertains.

Un enjeu de citoyenneté : - être capable de distinguer le hasard « calculable » du hasard de la contingence fortuite. - être capable d’avoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias. Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps à enseigner l’aléatoire, parfois depuis l’école primaire.

Deux approches différentes Une approche sur des considérations de symétrie : « la géométrie du hasard » Une approche « fréquentiste »

La géométrie du hasard Probabilité d’une issue obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison. Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils ont la même probabilité : 1/2

La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5. On a 2 chances sur 5 d’obtenir une boule jaune. La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5. La probabilité est le rapport du nombre d’issues favorables au nombre d’issues possibles

Une approche « fréquentiste » Exemple du lancer de punaise : On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par l’expérimentation. La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers.

La loi des grands nombres On considère une expérience aléatoire dans laquelle le hasard intervient pour déterminer une issue. Soit A un événement, résultat possible de cette expérience, constitué par certaines issues. Par exemple : obtenir un nombre pair en jetant un dé. On répète cette expérience un nombre n de fois et on calcule la fréquence Fn des réalisations de A

La loi des grands nombres La loi des grands nombres affirme que : quand n est très grand, il y a de très grandes chances que la fréquence Fn soit proche de la probabilité p que A soit réalisé à l'issue de l'expérience. Plus n est grand, plus on a de chances que l'écart entre Fn et p soit plus petit que n'importe quel nombre positif donné. Par exemple, avec n > 1000, il y a plus de 95 chances sur 100 que la différence | Fn – p| soit inférieure à 0,03.

Programmes actuels au lycée  En classe de seconde : Une vision fréquentiste qui a pour volonté de faire découvrir les « fluctuations d’échantillonnage » par la pratique de la simulation d’expériences ; pas de formalisation de la notion de probabilité.  En classe de première et Terminale : Les simulations faites en classe de seconde amènent la construction de modèles mathématiques : les probabilités La loi des grands nombres introduite comme théorème mathématique justifie alors l’emploi des simulations. Étude de lois de probabilités

Le programme de troisième

Connaissances Capacités 1.4. Notion de probabilité   [ Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

Exemples d’activités, commentaires Version rentrée 2008 Exemples d’activités, commentaires Commentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités). La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans le cadre du socle, aucune compétence n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves.

Version rentrée 2009 Commentaires La notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves*. * Hors socle

Expériences aléatoires Une expérience aléatoire est un processus expérimental - décrit par un protocole - qui peut être répété dans les mêmes conditions - dont on peut déterminer à l’avance la liste des issues - dont on ne peut pas prévoir l’issue à l’avance. Événements Un événement est l’ensemble des issues qui le réalisent

Expériences aléatoires : l’importance du protocole Exercice: le problème des trois bancs (M Henry) Dans un square il y a trois bancs à deux places. A et B vont s’asseoir au hasard. Quelles chances ont-ils de se retrouver sur le même banc ? A B

Expériences aléatoires : l’importance du protocole Exercice: le problème des trois bancs (M Henry) Dans un square il y a trois bancs à deux places. A et B vont s’asseoir au hasard. Quelles chances ont-ils de se retrouver sur le même banc ? On a le choix de (au moins) deux protocoles : A va s’asseoir sur un banc, (peu importe le mode de choix) P1: B choisit « au hasard » un banc parmi les trois ; l’événement est réalisé si B choisit le banc où est installé A et la probabilité est 1/3 P2 : B choisit « au hasard » une des cinq places qui restent ; l’événement est réalisé si B choisit la place libre sur le banc où est installé A et la probabilité est 1/5

Une progression possible 1. Sur des exemples, notion d’expérience aléatoire (à une épreuve) et d’événement Première définition de la probabilité d’un événement 2. Répétition d’une même expérience aléatoire : la stabilisation des fréquences 3. Une autre approche de la probabilité d’un événement : l’approche fréquentiste 4. Expérience aléatoire à deux épreuves

1er temps : la géométrie du hasard Des outils générateurs de hasard : pièce, dé, roue de loterie, urne

Un exemple : lancer d’une pièce Protocole de l’expérience : On lance une pièce Si elle tombe sur la tranche, on recommence Sinon, on note la face obtenue Un événement : « obtenir Pile » On a une chance sur 2 d’obtenir pile. La probabilité d’obtenir pile est 1/2

Un exemple : roue de loterie Protocole de l’expérience : On fait tourner l’aiguille. Si elle s’arrête sur un trait noir, on recommence Sinon, on note la couleur obtenue Un événement : « obtenir noir » Il y a 2 chances sur 6 d’obtenir noir La probabilité d’obtenir noir est 2/6, soit 1/3

2e temps : observation de la stabilisation des fréquences pour des événements dont on connaît la probabilité On lance un dé un grand nombre de fois et on observe la fréquence d’apparition du six. On observe que la fréquence du « six » tend à se stabiliser au voisinage de 1/6 Lancer d’un dé

3e temps : observation de la stabilisation des fréquences pour des événements dont on ne connaît pas la probabilité ou difficilement. Exemple 1 : Le jeu du « Franc carreau » Exemple 2 : Quatre « pile » consécutifs en cinquante lancers d’une pièce

Travail de groupe Analyse de l’activité 5 En quoi cette activité est elle propice ou non aux apprentissages? La donneriez vous à vos élèves ? Pour quels objectifs ? Quelles modifications lui apporter pour l’améliorer ? Justifiez vos choix.

4e temps :Expérience aléatoire à deux épreuves

Un premier exemple d’expérience aléatoire à deux épreuves « Si je dois parier sur la somme des points obtenus lorsque je lance deux fois de suite un dé, quelle valeur faut-il que j’annonce avant le lancer pour avoir le plus de chance de gagner ? » 1) Réalise 60 expériences et note, à chaque fois, la somme des points obtenus. Donne une synthèse de tes résultats. 2) Représente graphiquement tes résultats. 3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés vas-tu parier ? Explique ta réponse.

Graphique

Après débat et mise en commun, on peut dégager les points suivants : A l’intérieur de la classe, les échantillons varient, fluctuent. C’est le regard sur un grand nombre de résultats qui peut permettre de parier. Qu’y avait-il de prévisible ?

Pour répondre à cette dernière question, on peut faire un tableau comme celui qui suit, qui indique et dénombre les différents totaux :

De l’expérience à la simulation Utilisation par le professeur du générateur de nombres aléatoires de la calculatrice ou du tableur Une simulation d’un lancer de deux dés. lancer de dé(s)

Un deuxième exemple d’expérience aléatoire à deux épreuves On dispose : d’une part, d’une roue de loterie (bien équilibrée). ayant un secteur rouge, deux secteurs noirs et trois secteurs verts et d’autre part, d’une pièce de monnaie (bien équilibrée). On fait tourner la roue puis on lance la pièce et on note le résultat obtenu. Ecrire tous les résultats possibles. Déterminer la probabilité d’obtenir Vert et Pile.

Présentation des résultats : Ce tableau ne peut pas convenir pour déterminer les probabilités. Les « couleurs » ne sont pas équiprobables.

Présentation des résultats : tableau La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

Résumé éventuel

Présentation des résultats : un arbre (R;P) R F (R;F) P F (N1;P) (N1;F) N1 P F (N2;F) (V1;P) (V1;F) (V2;F) (V3;F) (N2;P) (V2;P) (V3;P) N2 V2 V1 V3 La probabilité d’obtenir « vert et pile » est 3/12 ou 1/4

Arbre : une autre présentation 1/2 P R F 1/2 1/6 1/2 P 2/6 N V F 1/2 3/6 1/2 P F 1/2

Pour un grand nombre d’expériences, par exemple 12 000: 3/6 d’entre elles environ, soit environ 6 000 « donneront » Vert pour la roue. Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, soit environ 6 000, la moitié d’entre elles environ, soit environ 3000 « vont donner » Pile. Environ 1/2 de 3/6 des 12 000 expériences donneront (V;P). roue et pièce

Pour un grand nombre d’expériences : 3/6 d’entre elles environ « donneront » Vert pour la roue. Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, la moitié d’entre elles environ « vont donner » Pile. 1/2 de 3/6 des expériences environ donneront (V;P). La probabilité d’obtenir (V;P) est donc

Une autre activité Un exemple tiré du document d’accompagnement : Sur un segment [AB] , on prend au hasard deux points M et N. On considère l’événement « La longueur du segment [MN] est strictement supérieure à la moitié de celle du segment [AB] ». Quelle est la probabilité de cet événement ? longueur de segment.xls

Le document d’accompagnement C’est un document à destination des professeurs, pas directement des élèves! Rester dans des exemples simples Éviter une formalisation hâtive et complexe

Conclusion Déjà enseigné dans de nombreux pays. Nouvelle forme de pensée à acquérir. Fil rouge tout au long de l’année. Favoriser la démarche par l’expérience et laisser du temps. Allers-retours entre expérience et modèle.