LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE

Quelques résultats des évaluations (nationale, Apmep, Inrp) Faux Vrai 35 % 65 % 43 % 57 % Vrai ou faux (en justifiant) 2(x  y) = 2x2y 2  (5x) = 10 x Troisième Calcul de (-3/2 a) x(-8a) 48% 15% 58% Seconde 97 Factoriser (x+5)² - 4 Seconde 97 Développer (5-x)(5+2x) Fin de troisième 97 Le nombre 2 est-il solution de l’équation x² - x –2 = 0 ? 72,2 % Seconde 95

Quelques résultats des évaluations (nationales, Apmep, Inrp) Parmi les expressions suivantes: 3x+4 ; x(x+1); x(x+3)–4 ; x+(x-1)(x+2) ; (x+1)² ; 2x(x-3)+3(x-1) reconnaître les sommes reconnaître les produits Seconde 97 4 sommes : 28% 3 sommes : 38,2% 56,3% 52,4 % Seconde 96

Différents statuts des lettres Pour désigner un objet. Pour désigner une variable. Pour désigner une inconnue. Pour désigner une indéterminée.

Exemples pour la lettre objet. La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres. La lettre désigne une abréviation d’un objet mathématique : A = L X l retour

Exemples pour variable en 6éme Quel nombre peut-on mettre à la place de t ? 1,2 < t < 1,5 Complète le tableau suivant : a 1 2,5 4 7 7xa retour

Exemple pour indéterminées Pour tous les nombres k, a, b k(a + b) = k a + kb retour

Différents statuts du signe égal Annonce d’un résultat, déclencheur d’opérations. (EXE) Égalité sous conditions : équations. Égalité toujours vraie : identité. Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel.

Les autres signes opératoires En arithmétique, les signes opératoires indiquent principalement les procédures. Les résultats sont numériques. En algèbre, les écritures indiquent la procédure et le résultat.

Les écritures en algèbre « x + 7 ». Procédure (addition) et / ou résultat (somme) Cette difficulté est à l’origine de transformations « non cohérentes » en 7x ou en x + 7 = 0…

Les écritures en algèbre 6x² + 9x Pour substituer 4 Aspect procédural Pour résoudre 6x² + 9x = 0 Aspect structural

Un premier bilan

Les principaux objectifs du calcul littéral Outil qui permet la justification et l’explication des règles de calcul et des techniques de calcul. Exemple : Application au calcul mental. Outil performant pour la résolution de problèmes. Outil de généralisation et de preuve.

Résolution de problèmes Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre. Quelle est la mesure d’un côté du triangle ?

Résolution de problèmes Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre. Quelle est la mesure d’un côté du triangle ?

Outil de généralisation Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant : Calculer 23 X 7 + 7 ; 23 X 8 + 7 ; 23 X 9 + 7 ; 23 X 10 + 7 23 X 11 + 7 ; 23 X 12 + 7 ; 23 X 13 + 7 ; 23 X 14 + 7 Un camarade est absent. Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs. La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire. (Manuel Triangle, édition Hatier) Les exercices du type programme de calcul.

Outil de généralisation

Outil de preuve LLorsqu’on ajoute trois nombres entiers consécutifs, peut-on affirmer que la somme obtenue est un multiple de 3 ? CChoisis deux nombres dont la somme est 300 et calcule leur produit. Ajoute 7 à chacun d’eux, de combien augmente le produit ?

Un apprentissage progressif de la sixième à la seconde

En sixième Développer les sens de l’égalité. Par des activités numériques du type : 0,4 = = 23,52 =2x10+3+5x +2x Dans une expression littérale, fixer toutes les variables sauf une qui prend successivement plusieurs valeurs.

En sixième Initiation aux écritures littérales : tâches de substitution(formulaire pour les aires et périmètre du cercle) mise en jeu implicite de notions fonctionnelles. trouver une formule exprimant le périmètre d’une figure en fonction d’une ou deux longueurs désignées par une ou deux lettres.

En sixième Initiation à la résolution d’équations : égalités à trous. Absence de lettre pour marquer l’inconnue. Procédures en référence au sens des opérations. Procédure utilisant un schéma.

Exemple d’utilisation d’un schéma. Trouver la longueur manquante dans chaque cas : 10 7 ? 3 2 ? Longueur totale 9

En cinquième Introduction de la lettre comme indéterminée : kx(a+b) = kxa + kxb. Conventions d’écriture Écritures littérales : tâches de substitution transformations d’écriture

En cinquième Fonctions : dans une formule, variation d’une grandeur en fonction d’une autre mise en jeu implicite de notions fonctionnelles. Suite du travail sur la résolution d’équations : lettre pour marquer l’inconnue. tests dans des égalités, des inégalités. résolution basée sur le sens des opérations.

En quatrième Mise en équation d’un problème. Algorithme de résolution des équations en référence aux règles connues. «  Double distributivité ». Tests pour vérifier les transformations algébriques. Égalité : d = v x t.

En troisième Résolution de systèmes d’équations. Identités remarquables. Premières formalisations sur la notion de fonction. Prise d’initiative lors des tâches portant sur le calcul littéral.

Exemple en troisième A = (2x + 3)(-4 + x) – 4x(x – 4) Montrer que A = (x – 4) (3 – 2x) Montrer que A = -2x² + 11x – 12 Résoudre A = - 12 Résoudre A = 0