Raisonnement et logique

Plan Le programme et ses intentions L’implication dans le langage courant L’implication en mathématiques Progressivité des apprentissages : un exemple

Raisonnement et logique Le programme et ses intentions

Raisonnement logique Le programme Sur des exemples : les connecteurs logiques « et », « ou »; les quantificateurs universel, existentiel; proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; « condition nécessaire », « condition suffisante » ; négation d’une proposition ; contre-exemple; raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples : _ à utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des sens courants de « et », « ou » dans le langage usuel ; _ à utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles 8, 9 ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ; _ à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; _ à utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ; _ à formuler la négation d’une proposition ; _ à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; _ à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.

« A l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant »

Raisonnement et logique Implication dans le langage courant

Cause de la conclusion Si tu pars en retard tu vas rater ton train Effet de l’hypothèse

Si tu manges ta soupe tu auras un dessert Condition nécessaire ou suffisante ? Si tu manges ta soupe tu auras un dessert

Raisonnement et logique Implication en mathématique

Exemple 1: Implication et équivalence

ABCD est un quadrilatère. On note I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

A quelles conditions IJKL est-il un losange ? Si IJKL est un losange, peut-on affirmer que ABCD est un rectangle ?

Exemple 2: le labyrinthe

Cette réponse s’explique par la pratique de la quantification implicite des énoncés conditionnels dans la classe de mathématiques, qui conduit à interpréter tout énoncé conditionnel comme un énoncé général.

Vrai ? Faux ? On ne peut pas savoir ?

X est passé par M 16

X est passé par P 17

Si X est passé par L alors X est passé par K 18

Exemple 3 g est une fonction définie sur IR

Exemple 4

Vrai ou faux ? Exemple 5 Si un nombre quelconque est multiple à la fois de 15 et de 22, alors il est forcément un multiple de 330. Si un nombre quelconque est multiple de 15 et 30, alors il est forcément multiple de 450. Si un nombre est multiple de 1485, alors il est multiple de 15 et de 99. Construire des phrases sur le modèle des précédentes et se prononcer sur leur valeur de vérité

Exemple 6

Exemple 7

Progressivité des apprentissages Un exemple : le sens de variation des fonctions

  Étape 1 : justification fondée sur l’utilisation de la situation que la fonction modélise. Lorsqu’on monte une côte à vélo, la vitesse est-elle une fonction croissante ou décroissante de la pente ?

Étape 2 : Description des variations de g à partir du graphique Considérons la fonction g définie sur IR par .

Étape 3 : Exploitation du tableau de variation de g

Imaginer un point M(x ; f(x))variable Étape 4 : formalisation de la définition Imaginer un point M(x ; f(x))variable savoir lire l’évolution de son ordonnée en fonction de celle de son abscisse