MATHEMATIQUES COMPETENCE 3 : « mise en œuvre d'une démarche scientifique ou de résolution de problèmes »

Phases 1°ACTIVITES DE RECHERCHE 2°CONSTRUCTIONS DES CONNAISSANCES 3°STRUCTURATION ET TRANSFERT

Phase 1 : Situation-problème Sur la figure ci-contre : • ABCD est un carré, • AEFG est un carré, • les points A, B, E sont alignés, • les points A, D, G sont alignés, • BE = DG = 7 cm, • la surface hachurée a une aire de 189 cm2. Calculer la longueur en cm d’un des côtés du carré ABCD

Tâche complexe Tâche mettant en oeuvre une combinaison de plusieurs procédures simples, automatisées, connues. Elle nécessite l'élaboration par l'élève d'une stratégie (pas forcément la stratégie experte attendue) et fait appel à plusieurs ressources.

Aide Découpage en figures simples

Résolution attendue Le petit carré hachuré a une aire de 49 cm² L'aire totale hachurée est de 189 cm²; il reste 140 cm² pour les rectangles; donc 70 cm² pour un rectangle dont la largeur est 7 cm. La longueur est donc de 10 cm.

Grille de compétences S3C Pratiquer une démarche scientifique Capacités à évaluer en situation Indicateurs de réussite Observer, rechercher et organiser les informations Reformuler les données utiles prélevées;distinguer ce qui est établi de ce qui est à prouver. Trier les éléments connus et inconnus. Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes Calculer, utiliser une formule. Aires du carré et des rectangles. Calcul de la dimension manquante en utilisant le sens de la division. Raisonner, argumenter,démontrer Formuler une conjecture. Proposer une méthode. Proposer un découpage de la figure. Communiquer à l'aide de langages scientifiques Exprimer à l'oral et à l'écrit les étapes de résolution. Rédiger le protocole de résolution.

Phase 2 : Construction des connaissances L'identité remarquable (a + b)² = a² + 2 ab + b²

Si une ligne droite est coupée comme on voudra, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments. Dans le carré ABDC, on a la démonstration, par les aires, de l'identité remarquable : ( a + b)² = a² + b² + 2ab.

Retour sur la situation-problème Si X désigne la longueur du côté du carré ABCD;son aire est x²; L'aire du carré AEFG est (x +7)²; Pour trouver x , il suffit de résoudre l'équation (x + 7)² – x² = 189

Programme de la classe de 3ème CONNAISSANCES CAPACITES Figures de base et propriétés de configurations du plan;calculs d'aires. Utiliser les propriétés d'une figure. Raisonner. Sens des opérations. Maitriser les calculs sur les nombres. Choisir les opérations. Identités remarquables. Connaître et utiliser les formules.

Phase 3 : Structuration et transfert 1- Calculer mentalement 101² 101² = (100+1)² = 100² + 2x100x1+ 1² = 10 000 + 200 +1 = 10 201

2- Démontrer que le carré d'un entier impair est impair = 4p² + 4p + 1 = 2(2p² + 2p) + 1 = 2n + 1

3 – Situation – problème (le retour!): Calculer en fonction de a et b l'aire du carré de côté c.

Résultat attendu : (a + b)² – 4x ab/2 = a² + 2ab + b² – 2ab = a² + b² = c²

Une démonstration du Théorème de Pythagore

De l'intérêt de l'identité remarquable (a + b) ²= a²+ 2 ab + b² Trouver le côté d'un carré tel que si on lui ajoute un rectangle de longueur 10 cm et de largeur égale au côté de ce carré, l'aire totale du rectangle obtenue soit 39 cm² x(x +10) = 39 x² + 10x = 39 x² + 2*x*5 + 25 = 64 (x + 5)² = 8² x>0 x + 5 = 8 x = 3

Raphaël : École d'Athènes