9 La complexité des activités mathématiques 9-3 Façons de calculer la division 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

 Recherche d’une division ergonomique L’algorithme de la division organisée pour permettre le calcul rapide au XIXe siècle était exigeante en temps d’apprentissage et coûteuse en échecs. Elle était globalement économique car elle se rentabilisait socialement et individuellement par le nombre d’individus qui l’utilisaient fréquemment. Elle n’est plus adaptée à l’usage actuel. On devrait utiliser aujourd’hui une méthode à la fois plus fiable, plus ergonomique (demandant moins de concentration) et plus économique (en temps d’apprentissage), et donc plus adaptée aux fréquences d’usages actuels.  Recherche d’une division ergonomique Exercice : énumérer les sources d’erreurs comme nous l’avons fait pour la multiplication et envisager les observations à faire 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Division « classique», cas difficile 14 456 665 divisé par 481 Préparation 14 45’6 665 481 Première tentative 14 456 665 481 9 62 2 483 Résultat : le premier chiffre du quotient est 3 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

La division exige des tentatives risquées… Pour l’élève c’est une sorte d’échec : il doit rayer une partie de son travail La division exige des tentatives risquées… Elles sont parfois sanctionnées comme des fautes. Il faut rayer ou recommencer ailleurs, ou calculer mentalement et faire une pari. Et il reprend 3 1443 00026 Les professeurs qui aiment les cahiers sans ratures préfèreraient une disposition « sans erreurs » où les calculs auxiliaires et les essais seraient intégrés dans une présentation honnête. 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

. 14 456 665 481 3 0 0 5 5 14 43 00026 66 La source d’erreur - 24 05 est là et là 02 615 - 2 405 0 210 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Propriétés France, 1960 : La division sans poser les soustractions et sans ratures : 14456665 481 002666 30055 2615 210 combien d’heures d’apprentissage? Et au lieu d’utiliser la méthode d’apprentissage préconisée par Condorcet, basée sur l’amélioration des soustractions successives (méthode que nous avons reprise avec un franc succès), la division est introduite par une progression « rationnelle » d’apprentissages formels des sous algorithmes : division avec diviseur d’un chiffre et quotient à un chiffre, puis à quotient à deux…, puis division par un diviseur à deux chiffres, etc. 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Division « ergonomique » Quatre zones de travail dividende quotient Partie décimale soustractions diviseur produits L’élève choisit le quotient en première estimation : 2 et effectue le calcul 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

1ère tentative de quotient : 2 , mais le reste est trop grand Mais on peut déjà voir le nombre de chiffres du quotient : 5 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

L’élève peut ajouter 1 au quotient sans effacer le calcul précédent Et continuer la soustraction dans la même colonne 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Il peut soustraire ses retraits successifs dans la même colonne Le reste 26 est insuffisant, 266 aussi 2666 convient 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

L’élève peut se hésiter sur le quotient et calculer plusieurs options 2886 est trop grand 2405 convient, le quotient est 5… Mais 5 quoi ? Où le placer ? 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Le quotient partiel, 5 se place en haut de la colonne des unités de la soustraction partielle. Sa place ne dépend pas de l’absence des précédents L’élève peut utiliser plusieurs fois le même produit sans refaire le calcul 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Il reste à calculer le quotient : Chaque chiffre du quotient est la somme des quotients partiels Il reste à calculer le quotient : 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

QUOTIENT Opération terminée RESTE 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Comment inventer et apprendre la division ergonomique Sens 1: partage soustraction de parts déterminées (recherche du nombre de parts) Répétition de distributions égales (recherche de la valeur d’une part) Sens 2 : recherche du terme inconnu d’un produit: essais de multiplications Sens 3 : recherche du reste (C20) 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Effet de variables ergonomiques Ébauches à propos de la soustraction, de la division 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Situations : ergonomie et fiabilité Une situation est un ensemble d’états permis et de règles. La résolution d’une situation est une suite de choix d’états permis, qui, partant de l’état initial aboutit à l’état final gagnant. Chaque choix de l’actant est le produit d’une connaissance de l’actant au sujet de l’état de la situation. Il demande un certain effort et comporte un certain risque Ces deux paramètres interviennent dans le calcul de l’intérêt et du coût des solutions, et dans le choix des modes de résolution et des solutions optimales. 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Les équations de l’apprentissage Nous avons vu dans le diaporama précédent (9-1) que « la » complexité de la résolution d’une situation et de l’action qui la résout ne se réduit pas à celle de son organigramme. Cette complexité dépend des connaissances de l’actant et par conséquent de l’amortissement du coût de leur acquisition, lequel dépend des caractères des situations… Les équations de l’apprentissage, et par conséquent celles de l’enseignement, devront intégrer en même temps l’ensemble de ces processus… en attendant… Voici quelques extraits d’études de la complexité entre l’arithmétique élémentaire et l’algèbre linéaire Après le dénombrement et l’addition… 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

La soustraction Les méthodes de résolution d’une soustraction Le dénombrement direct du reste ou du manque si on y a accès par manipulation ou par vision mentale La recherche du complément par surcomptage Le décomptage ; le surcomptage à rebours La recherche du reste par décomposition décimale : recours à une table de soustraction La recherche du complément par décomposition décimale : recours à la table d’addition Il existe d’autres méthodes Suivant les valeurs des deux termes de la soustraction l’une ou l’autre de ces méthodes peur se révéler mieux adaptée que les autres Par exemple s’il s’agit de soustraire 8 à 93 , le décomptage de 3 puis de 5 est moins complexe pour un humain que la recherche du complément. Exercice : rechercher les variables et les conditions limites 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

La complexité de la soustraction dans N Les zones colorées représentent X-Y X, Y naturels, X>Y Y y = x x - y = 5 0 5 10 20 30 40 80 160 320 X Zones de meilleure efficacité (ZME) ZME de la vision globale ZME de la recherche du complément (surcomptage) ZME du comptage à rebours ZME du calcul ZME du dessin (Non confirmée) Zones théoriques de meilleure efficacité des méthodes de soustraction (confirmées par l’expérience) Extrait de la Thèse d’Imana Katembera p.33 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Compréhension de la division des décimaux En présence de nombres décimaux les élèves reconnaissent s’il convient ou non de faire une division en se référant principalement… 1 au sens de la division euclidienne : les difficultés varient suivant La taille des nombres 2 et/ou à des représentations typiques mettant en œuvre des grandeurs ou des disposition géométriques 1. La division euclidienne perd son sens suivant la taille de d et q - lorsque le quotient et ou le diviseur prennent des valeurs < 2 Voici les 18 cas engendrés par ces trois conditions {[(q <1) ou (1 < q <2), ou (q > 2)] X [(d <1) ou (1 < d <2), ou (d > 2)]} X {(D>d) ou (D<d)} - lorsque les propriétés dans N sont violées Ex : quotient > au diviseur 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

0  d < 1 1< d  2 d > 2 0  q < 1 1< q  2 q > 2 Dividende D Diviseur d Quotient q 0  d < 1 1< d  2 d > 2 0  q < 1 0,3 : 0,8 q = 0,37… Grande difficulté 0,8 : 1,25 q = 0,64 380:450 q = 0,84 1< q  2 1,70 : 0,90 q = 1,88… q > D 1,8 : 1,25 =1,44 Diffic. Moyenne 15:8 = 1,875 Compris comme 15:8 q > 2 0,3 : 0,8 = 2,6… 12 : 0,75 = 16 9 : 1,5 = 6 380 : 14,2 = 26,76 Compris comme 380:14 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

a) quotient d’une mesure par un scalaire 2. Les difficultés suivant l’homogénéité de la signification (scalaires, mesures, mesures différentes) des nombres du diviseur du dividende et du quotient, par ordre croissant de difficultés a) quotient d’une mesure par un scalaire b) quotient de mesures de même nature (rapport décimal) Taux, homothéties géométriques,… c) quotient de mesures de natures différentes: équation aux dimensions : o prix o grandeurs dérivées (vitesse, densité), intégrales… d) quotients décimaux de scalaires e) les mesures du temps 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Conclusion pour la division: 1. la connaissance de la division dans les naturels guide l’élève dans le choix de l’opération à faire avec les grandeurs si le diviseur et le quotient sont supérieurs à 2 Pour les autres cas, un autre modèle, un autre sens est indispensable, mais les résultats montrent que le modèle des naturels lui fait alors obstacle. Nous étudierons l’existence et l’importance de tels obstacles dans la conception, dans l’enseignement et dans l’apprentissage des mathématiques dans le prochain paragraphe de ce diaporama. 2. Au lieu de considérer les nombres comme un même et unique concept qui s’enrichit de sens contradictoires, il pourrait être utile, de mieux distinguer les types de nombres des l’école primaire. C’est ce que nous avons essayé de faire – avec succès - au cours des expériences avec divers curriculums pour la scolarité commune (5-14 ans). Mais beaucoup d’observations et d’expériences restent à faire et à rassembler. 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Peut-on étendre ce genre d’analyse aux raisonnements et à l’algèbre ? 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Algorithmes et théories Algorithmes et théories sont tous deux des exposés didactiques composés d’expressions mathématiques valides. Ils servent à les communiquer et à les contrôler. Ils ont des structures logiques comparables en première approche: ce sont des collections d’expressions bien formées (ex. 34x6 = 204; (x-y)2 = x2 + y2 -2xy ) dont la validité est assurée par des « démonstrations » : « 34x6 = 204 » est vrai ; « 34x6 = 24 » est faux. Le procédé standard de la démonstration de ces énoncés est le calcul (algorithme ou règles de calcul direct) mais il y en a d’autres : ex. le produit de deux naturels est plus grand que chacun d’eux ou bien (x+y)2 = x2 + y2 +2xy  [x+(-y)] 2 = (x-y)2 = x2 + (-y)2 -2x(-y)) etc. Le présent chapitre a illustré les méthodes d’analyse ergonomique de la résolution d’énoncés dans un algorithme. Les mêmes méthodes peuvent-elles s’étendre aux théories mathématiques? 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010

Un algorithme est une collection d’énoncés dont la validité est directement établie par un schéma de démonstration unique, un même calcul. Nous avons vu que la validité d’une expression dans une théorie logique peut s’établir à partir des axiomes par des suites de théorèmes déjà établis c’est-à-dire par des démonstrations spécifiques. Une théorie mathématique est une organisation qui permet de prouver chaque énoncé par des énoncés établis précédemment, ce qui permet d’éviter de répéter les éléments d’une nouvelle démonstration. Il existe de nombreuses théories mathématiques distinctes pour un même ensemble d’énoncés valides, donc pour une théorie au sens logique. L’analyse ergonomique des théories mathématiques est évidemment beaucoup plus complexe que celle des algorithmes, mais elle est de même nature. Dans les deux cas il existe des modèles indépendants des capacités des utilisateurs et des modèles plus adaptés à des propriétés particulières des « utilisateurs » 9-3 Ulysse 68-94 Cours GB 2010