Résolution d’un programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices d’application

PROGRAMME LINÉAIRE FONCTION OBJECTIF Contraintes Maximiser ou minimiser z = c1x1 +… + cnxn Contraintes a11x1 + … + a1nxn (, =, ) b1 a21x1 + … + a2nxn (, =, ) b2 am1x1 +… + amnxn (, =, ) bm Contraintes de non-négativité xj  0 ; j = 1, 2, 3, … n avec xj variables de décision (inconnues) aij, bi, cj paramètres du programme linéaire

Méthode Graphique Valable si 2 variables de décision seulement. Le nombre de contraintes est quelconque. Repose sur une représentation des contraintes dans un plan.

Contrainte =inégalité à 2 variables a1x1 + a2x2 <= b ; b > 0, a1 >0, a2 > 0 b/a2 x2 > b Demi-espace admissible <= b b/a1 x1

Maximisation sous contraintes Fonction objectif Zone réalisable x1

l’optimum est un des points extrêmes

Exemple 1 Maximisation du profit Contrainte de rareté d’une ressource Contraintes de demande

Solution graphique de l’exemple 1 xC xB = 6000 xC = 1400 6000 192’000 4500 Solution optimale 3000 P 1500 SR xB 1500 3000 4500 6000 7500 9000

Exemple 2 MAXIMISER z = 3 x1 + 5 x2 Contraintes : x1  4 2 x2  12

ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE Zone limitée par les contraintes du problème et par les limites des variables de décision SR x2 8 6 4 2 x1 2 4 6 8 10

FONCTION OBJECTIVE Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum x2 8 Solution optimale x1 = 2 x2 = 6 Max Z = 36 (2,6) 6 4 2 x1 2 4 6 8 10

Exemple 3 Maximiser Z = x1 + 2x2 2x1 + x2  4 x1 + x2  8 -x1 + x2  4

Exemple 3 (suite) SR X1 = 2 X2 = 6 Z = 14 x2 -x1 + x2 = 4 8 6 x1 = 5 4 2 4 6 8 10

Exemple de MINIMISATION Minimiser Z = x1 – x2 Sachant que : ½ x1 + x2  8 -x1 + 8x2  40 x1  8 x2  8 x1  0, x2  0

PROBLÈME DE MINIMISATION X1 = 8 X2 = 6 Min Z = 2 x2 x2 = 8 8 6 -x1 + 8x2 = 40 SR 4 x1 = 8 2 ½x1 + x2 = 8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x1

Cas possibles La zone SR peut être : Vide: Contraintes contradictoires (pas de solution optimale) borné : le problème possède toujours au moins une solution optimale non borné : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finie Si MAX : Solution non bornée

Le nombre de solutions optimales ? Une seule. Une infinité : si deux sommêts réalisent l’optimum (tout le segment reliant les deux sommêts optimaux)

Méthode du simplexe Méthode algébrique Méthode itérative

Etapes Forme standard du PL Tableau de départ du simplexe Application de l’algorithme du simplexe

Forme standard d’un PL Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1  300

Inégalités  égalités x1  300  x1 + e1 = 300 x1 + x2  500  x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2  700  2x1 + x2 + e4 = 700 ei = Variable d’écart.

x1 + e1 =300 x2 + e2 = 400 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 + e4 = 700 Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 + e1 =300 x2 + e2 = 400 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 + e4 = 700 x1  0 ; x2  0 ei  0 

Tableau de départ du simplexe 1 300 400 500 2 700 Z 7 5

Changement de variable

Deuxième tableau

Changement de variable

Troisième tableau

Changement de variable

Quatrième tableau

Solution optimale En base : x1 = 200 e2 = 100 e1 = 100 x2 = 300 e3 = e4 = 0 (hors base) Max Z = 2900