Variables Aléatoires & Lois de Probabilités Usuelles

Théorie des Probabilités Étude des lois de probabilités usuelles

Introduction: Une variable aléatoire X peut prendre des valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de xi correspond une probabilité pi. pi apparaît comme une fonction de xi et l’ensemble des probabilités élémentaires pi constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Théorie des Probabilités

Ceci ne pose aucun problème lorsque la var. aléatoire est discrète. Autrement dit, affecter une probabilité pi à chacune des valeurs de xi, c’est doter la variable aléatoire X d’une loi de probabilité. Ceci ne pose aucun problème lorsque la var. aléatoire est discrète. Exemple : Si on lance successivement 3 fois une pièce de monnaie: Théorie des Probabilités xi 1 2 3 P(xi) 1/8 3/8

- Les Lois relatives à la variation discontinue et, Le problème des lois de probabilité devient plus délicat lorsque la V.A. X est continue. En effet, pour des V.A. continue, la probabilité d’une valeur particulière est nulle.(De la même manière que le choix d’un point sur une droite). On est donc amener à distinguer deux catégories de lois de probabilité: Théorie des Probabilités - Les Lois relatives à la variation discontinue et, - Les Lois relatives à la variation continue.

I- Distribution Binomiale

La distribution binomiale ou loi binomiale est une loi de variation discontinue dite de Bernoulli. Si X est la V.A. qui associe à tout élément de A la valeur 1 et à tout élément n’appartenant pas à A la valeur 0. Cette variable ne prend donc que deux valeurs 1 et 0, avec: Loi Binomiale P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p

1- Urne de BERNOULLI: Considérons une urne qui contient deux types de boules: - Des boules blanches d’effectif n1 (8): ☺ - Des boules noires d’effectif n2: (12)☻ ☻ ☺ Loi Binomiale n1 + n2 = N = 20

On suppose que le tirage se fait avec remise, de sorte que la composition de l’urne ne change pas d’un tirage à l’autre. ☺ ☻ ☺ p = n1/N = 8/20 = 0,4 Loi Binomiale: urne de Bernoulli q = n2/N = 12/20 = 0,6 ☻ On constate que p+q = n1 + n2 /N = 20/20 = 1

2- Définition: Une Variable aléatoire X suit une Loi Binomiale β(N,p) si elle peut être considérée comme une somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. Loi Binomiale: urne de Bernoulli Ce qui nous intéresse donc, c’est la probabilité des associations qui peuvent résulter de n tirages successifs.

2- 1. Épreuve du double tirage: Considérons l’exemple simple d’un sac de 3 boules, dont une blanche et deux noires. On se propose de voir ce qui va se passer sur le plan de probabilités quand on procède à deux tirages successifs avec remise. Loi Binomiale: Épreuve du double tirage La probabilité de tirer une boule blanche étant p=1/3 et celle de tirer une boule noire est q=1-p = 2/3.

Ce qui nous intéresse, c’est la probabilité des associations issues du premier et du second tirage. 1er tirage 2eme tirage Association BB : p2 BN : pq NB : qp NN : q2 Loi Binomiale: Épreuve du double tirage p=1/3 q=2/3

Loi Binomiale: Épreuve du double tirage 1er tirage 2eme tirage Association BB : p2 BN : pq NB : qp NN : q2 Au total, on aura trois catégories d’associations (2 tirages + 1) Si on ne tient pas compte de l’ordre du tirage, on aura: 1- Association BB de probabilité (1/3)(1/3)=p2 2- Association BN ou NB de probabilité 2(1/3)(2/3)=2pq Loi Binomiale: Épreuve du double tirage 3- Association NN de probabilité (2/3)(2/3)=q2 Ces divers associations de 2 boules, comportant respectivement 0, 1 et 2 boules noires, ont donc pour probabilités respectives les termes successifs du développement de (p+q)2 = p2 + 2pq + q2

2-2. Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale En résonnant de la même manière que précédemment, on arrivera dans le cas d’un triple tirage à 4 associations (3+1) de boules blanches ou noires, avec 0, 1, 2 ou 3 boules noires. En démontre facilement que les probabilités des 4 associations seront obtenues par les termes du développement de (p+q)3. Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple (p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2 3B 2B+ N 2N+ B 3N

Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale [ p = 1/3 ; q = 2/3 ] (p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2 Nombre de boules Noires Probabilité 1 2 3 p3 = 1/27 3p2q=6/27 q3 =8/27 3pq2= 12/27 Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple

D’une manière générale: En répétant l’épreuve plusieurs fois; la structure des échantillons sera la suivante: - 0 boules Blanches et n boules noires. 1 boules Blanches et (n-1) boules noires. 2 boules Blanches et (n-2) boules noires. …. k boules Blanches et (n-k) boules noires. n boules Blanches et 0 boules noires. Soit une urne composée de N boules , dont k boules blanches et N-k boules noires. Tirage Échantillon Loi Binomiale: En général E: n boules (n < N)

La probabilité d’avoir k boules blanches est: Si X: nombre de réalisations de E dans un échantillon de n boules. X: peut prendre (n+1) valeurs possibles tel que: X = { 0, 1, 2, ………., K, ……., n } La probabilité d’avoir k boules blanches est: p. p. p…..p… p = pk K fois Si X = k réalisations de E et si l’on tient pas compte de l’ordre du tirage des boules Loi Binomiale: En général Dans l’échantillon, on aura (N-k) boules noires de probabilité q. q. ….q…….q = q(N-k)

Ainsi, la probabilité d’avoir k boules blanches et (n-k) boules noires dans l’échantillon serait; fk = pk.q(n-k). Mais il y a autant d’échantillon satisfaisants (k boules blanches et n-k boules noires) que de combinaisons de n boules avec k boules blanches; on aura donc: Loi Binomiale: En général

Si X est le nombre de réalisation de E avec X = { 0,1,2,……k,……N} Les probabilités liées à chacune des réalisations xi correspondent aux termes successifs du développement du binôme de Newton (p+q)n. Loi Binomiale: En général C’est cette distribution de probabilités qui est connue sous le nom de Distribution Binomiale.

2-3. Paramètre de La loi Binomiale 2-3-1. La moyenne d’une loi Binomiale Si X est le nombre de réalisation de E avec X={0,1,2,……k,……N}; à chacune des valeurs xi s’associe une probabilité P(xi), telle que: Loi Binomiale:Moyenne (p+q)(n-1) = 1

2-3-2. La variance d’une loi Binomiale La variance V(X) = sx2 = E(X)2 – [E(x)]2 = S1n pi xi2 -x2 = Spi xi2 - x +x -x2 _ Loi Binomiale:Variance

(p+q)(n-2) = 1(n-2)=1 Loi Binomiale:Variance

3- Exemples d’application 3-1. Exemple 1: Dans les familles de 3 enfants, quelle est la probabilité d’avoir 2 filles?. La probabilité de naissance d’une fille est p=0.48. Solution: n=3, k=2, p=0.48 et q=1-p=0.52 Loi Binomiale Quel est le nombre moyen de filles et la variance? Solution: E(X) = np = 3 (0.48) = 1.44 Var(X) = npq = 3 (0.48) (0.52)= 0.75

3-2. Exemple 2: Dans les familles de 5 enfants, définir la loi de probabilité de X (nombre de filles) si la probabilité d’avoir une fille est de 0.3 et donner la valeur moyenne et la variance de X Solution: Loi de Probabilité La Moyenne est: E(X) = n.p =5(0.3)=1.5 x P(X=x) 0.1680 1 0.3601 2 0.3087 3 0.1323 4 0.0283 5 0.0024 Loi Binomiale La Variance est: Var(X) = n.p.q =5(0.3)(0.7) =1.05

Fonction de répartition: Solution: FX(x) = P(X ≤ xi) x P(X = x) P(X ≤ x) 0.1680 1 0.3601 0.5281 2 0.3087 0.8368 3 0.1323 0.9691 4 0.0283 0.9974 5 0.0024 0.9999 ≈ 1 Loi Binomiale

Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès obtenus sur les 9 jets. 3- 3. Exemple 3: Soit un Dé cubique à 6 faces numérotés de 1 à 6, ayant la même probabilité. On lance 9 fois de suite le Dé. On considère que l’on obtient un succès si la réponse obtenue est supérieur à 5. Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès obtenus sur les 9 jets. Déterminer la probabilité de X=0, X=4 et de X=9, la moyenne et la variance de cette distribution.

X suit une loi binomiale b (N,p) = b (9, 1/3) Solution: Sur un jet, la probabilité de succès est p = 2/6 = 1/3 La probabilité de l’échec est q = 4/6 = 2/3 X suit une loi binomiale b (N,p) = b (9, 1/3)

La moyenne de X : b (N,p) est: La variance de X : b (N,p) est: npq = 9.1/3.2/3 = 2

3- Distribution binomiale symétrique ou asymétrique: L’expression générale de la loi binomiale est donnée par: Si p = q; l’expression générale de terme k, abstraction faite du coefficient C, devient pk.q(n-k) = pk.p(n-k) = pn. Loi Binomiale Dans ce cas, tous les termes sont de la forme pn et ne différent que par C. Il en résulte que, si p=q, les termes situés à égales distance du binômes (p+q)2 deviennent respectivement égaux entre eux: La distribution est dite alors Symétrique.

Exemple: X: Nombre de fois « pile » dans l’épreuve de 3 tirages successifs d’une pièce de monnaie non truquée (p = q = 1/2) Avec ∑ Pi = 1 (P,P,P)→3 (F,P,P)→2 (P,F,F)→1 (F,P,F)→1 (F,F,P)→1 (F,F,F)→0 (P,P,F)→2 X = {0, 1, 2, 3} (P,F,P)→2 P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8 P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8 P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8 P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8

La forme générale de la distribution symétrique est la suivante: P k 0 1 2 3

P(X=xi) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(i-1)) 4- Utilisation de la table de la Loi Binomiale:P (X ≤ x) n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,348 0,736 0,929 0,987 0,998 0,999 1,000 0,107 0,375 0,677 0,879 0,967 0,993 0,056 0,244 0,525 0,775 0,921 0,980 0,996 0,028 0,149 0,382 0,649 0,849 0,952 0,989 0,006 0,046 0,167 0,633 0,833 0,945 0,000 0,010 0,054 0,171 0,379 0,623 0,828 Par définition: P(X=xi) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(i-1)) P(X=5) = P(X≤5) – P(X ≤4) P(X=5) = 0,999 – 0,998 = 0,001

P(xi ≤ X ≤ xK) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(k-1)) Probabilité d’un intervalle: P (xi ≤ X ≤ xk) n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,348 0,736 0,929 0,987 0,998 0,999 1,000 0,107 0,375 0,677 0,879 0,967 0,993 0,056 0,244 0,525 0,775 0,921 0,980 0,996 0,028 0,149 0,382 0,649 0,849 0,952 0,989 0,006 0,046 0,167 0,633 0,833 0,945 0,000 0,010 0,054 0,171 0,379 0,623 0,828 Par définition: P(xi ≤ X ≤ xK) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(k-1)) P(2≤ X ≤4) = P(X≤4) – P(X ≤1) P(X=5) = 0,998 – 0,736 = 0,262

Par définition: P(X ≥xi) = 1 -P(X ≤x(i-1)) Probabilité P ( X ≥ xk) n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,348 0,736 0,929 0,987 0,998 0,999 1,000 0,107 0,375 0,677 0,879 0,967 0,993 0,056 0,244 0,525 0,775 0,921 0,980 0,996 0,028 0,149 0,382 0,649 0,849 0,952 0,989 0,006 0,046 0,167 0,633 0,833 0,945 0,000 0,010 0,054 0,171 0,379 0,623 0,828 Par définition: P(X ≥xi) = 1 -P(X ≤x(i-1)) P( X ≥4) = 1 -P(X≤3) P(X=5) = 1 – 0,987 = 0,013