Plan de la présentation Introduction Résumé de la théorie Aversion au risque Méthode de l’arbitrage Splines cubiques Méthodologie : Simulations Monte Carlo Résultats Général Arrondissement Nombre de points Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique Extensions Conclusion

1. Introduction Les préférences face au risque reviennent dans plusieurs discussions économiques et une bonne connaissance de ces préférences pourrait avoir des avantages : - Meilleure compréhension des facteurs déterminant le choix d’un emploi, d’une éducation, d’un portfolio financier, ...; - Prédiction du comportement des individus; - Outil d’élaboration de politiques publiques; - etc. Toutefois, il n’existe pas encore de manière uniforme de mesurer ces préférences. Pourtant, de nombreuses méthodes ont été développées au cours des dernières dizaines d’années.

1. Introduction Méthodes s’appuyant sur un processus décisionnel courant. Ex: choix d’assurances (Halek et Eisenhauer, 2001), composition du portfolio financier (Guiso et Paiella, 2002) Méthodes expérimentales indépendantes. Ex: méthode de l’arbitrage (Wakker et Deneffe, 1996), choix de loteries (Holt et Laury, 2002) Puisque des procédés ou des contextes différents peuvent fournir des estimations différentes, l’utilité des mesures du risque a été remise en question (Isaac et James, 2000). Approche habituelle : spécification paramétrique d’une fonction d’utilité. Cette approche est toutefois susceptible de générer des biais de spécification.

1. Introduction Questions principales de la problématique : Est-il possible d’estimer les préférences face au risque de manière entièrement non paramétrique? Quel est l’impact de l’introduction d’une erreur sur les estimations des préférences face au risque? Y a-t-il un nombre de points optimal à utiliser sur les courbes d’utilité? L’approche non paramétrique permet-elle d’éviter les erreurs de spécification auxquelles sont soumises les approches paramétriques? Démarche adoptée : Utilisation de splines cubiques et simulations informatiques de type Monte Carlo.

2. Résumé de la théorie : Aversion au risque Les préférences d’un individu sont représentées par une fonction d’utilité U(x). La courbure de la fonction nous renseigne sur l’attitude face au risque de l’individu : Concave : Aversion pour le risque Convexe: Goût pour le risque Linéaire: Neutralité envers le risque

2. Résumé de la théorie : Aversion au risque Mesures d’Arrow-Pratt : Aversion absolue au risque : Mesure la variation de l’utilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière absolue. Ex: Fonction exponentielle : ARA(x) = r

2. Résumé de la théorie : Aversion au risque Mesures d’Arrow-Pratt : Aversion absolue au risque : Mesure la variation de l’utilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière absolue. Ex: Fonction exponentielle : ARA(x) = r Aversion relative au risque : Mesure la variation de l’utilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière proportionnelle. Ex: Fonction puissance : RRA(x) = r

2. Résumé de la théorie : Méthode de l’arbitrage Wakker et Deneffe(1996) : Méthode expérimentale non paramétrique pour obtenir des courbes d’utilité :

2. Résumé de la théorie : Méthode de l’arbitrage Principe : Trouver des valeurs créant des égalités de différence d’utilité . S, R et x0 sont des quantités arbitraires du bien x dont on mesure l’utilité et p est la probabilité que x0 ou x1 se réalise. On cherche x1 qui satisfait [x0, S; p] ~ [x1, R; p]. Ensuite, on trouve x2 qui satisfait [x1, S; p] ~ [x2, R; p] On obtient que : U(x1) – U(x0) = U(x2) – U(x1) On continue le processus pour obtenir n+1 valeurs de xi. On normalise U(x) entre 0 et 1, on pose u(xi) = i/n et on trace la courbe d’utilité à l’aide des points (xi, u(xi)) trouvés.

2. Résumé de la théorie : Méthode de l’arbitrage Problème : La méthode de l’arbitrage nous fournit une courbe d’utilité, mais pas de coefficient d’aversion au risque. Deux solutions : Postuler une forme fonctionnelle pour l’utilité. Trouver une manière non paramétrique d’obtenir le coefficient. Autres problèmes : Tenir en compte la possibilité que les valeurs de xi soient erronées. Déterminer le nombre optimal de questions à poser.

2. Résumé de la théorie : Splines cubiques On peut utiliser les splines cubiques pour estimer la fonction d’utilité et les coefficients d’aversion au risque de manière non paramétrique. (Bissonnette, 2007) et (Bellemare, Bissonnette et Kröger, 2010) : Application aux anticipations rationnelles

2. Résumé de la théorie : Splines cubiques On identifie les paramètres en posant des contraintes : Égalité des dérivées premières aux points intérieurs; Égalité des dérivées secondes aux points intérieurs; Utilité normalisée entre 0 et 1. Il manque deux équations à poser pour identifier pleinement les paramètres. Splines naturelles; Coefficients d’aversion au risque constants; Autres. Les calculs sont faits à l’aide du programme Splinesim (Oxmetrics) développé par Bellemare, Bissonnette et Kröger (2010).

3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo 1) Pour un individu fictif donné, postuler… Fonction d’utilité : puissance ou exponentielle Une valeur pour le paramètre inconnu r : puissance : [-1, 1] , exponentielle : [-0.002, 0.002] Une règle d’arrondissement : fixe (0, 0.1, 0.5, 1, 5, 10) ou proportionnel : Intervalle dans lequel se trouve le montant xi à arrondir Niveau d’arrondissement pour la règle dite de 5% (au multiple de…) Niveau d’arrondissement pour la règle dite de 10% (au multiple de…) [100, 500[ 5 10 [500, 1 000[ 25 50 [1 000, 5 000[ 100 [5 000, 10 000[ 250 500 …

3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo 2) Choisir les loteries de référence pour la méthode de l’arbitrage : [x0=100, 64; 0.5]~[x1, 12; 0.5] [x0=1000, 640; 0.5]~[x1, 120; 0.5] 3) Appliquer la méthode de l’arbitrage pour obtenir n+1 points (xi, u(xi)) 4) Résoudre le système de contraintes pour identifier les paramètres des splines cubiques reliant ces points.

3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo 5) Utiliser les formules d’Arrow et Pratt pour estimer l’aversion au risque absolue ou relative de l’individu fictif postulé à chacun des points intérieurs de la courbe d’utilité.

3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo En plus des estimations non paramétriques, on souhaite également obtenir des estimations paramétriques afin de comparer les performances des deux approches. On procède encore par simulation en gardant le même environnement (mêmes fonctions d’utilité, intervalles pour les coefficients, règles d’arrondissement, etc.), mais on remplace les étapes 4 et 5 par les suivantes: 4) Spécifier une fonction d’utilité : Spécification correcte; Spécification incorrecte. 5) Estimer le coefficient d’aversion au risque constant à l’aide des moindres carrés non linéaires.

4. Résultats : Général Pour un individu ayant une aversion au risque constante et une fonction d’utilité connue, la moyenne des estimations aux points intérieurs est généralement plus proche de la vraie valeur d’aversion au risque que les estimations ponctuelles. Ex : Aversion au risque relative Données de la courbe d’utilité Estimations de l’aversion au risque relative Point (i) Valeur rapportée lors de la méthode de l’arbitrage (xi) Utilité normalisée entre 0 et 1 (u(xi)) Estimations ponctuelles de l’aversion au risque Moyenne des estimations ponctuelles 0.50 100.00 0.00 0.54 (0.17) 1 211.29 0.25 0.69 2 363.73 0.31 3 557.32 0.75 0.63 4 792.06 1.00

4. Résultats : Général Pour un individu ayant une aversion au risque constante et une fonction d’utilité connue, la moyenne des estimations aux points intérieurs est généralement plus proche de la vraie valeur d’aversion au risque que les estimations ponctuelles. Ex : Aversion au risque relative Données de la courbe d’utilité Estimations de l’aversion au risque relative Point (i) Valeur rapportée lors de la méthode de l’arbitrage (xi) Utilité normalisée entre 0 et 1 (u(xi)) Estimations ponctuelles de l’aversion au risque Moyenne des estimations ponctuelles 0.50 100.00 0.00 0.54 (0.17) 1 211.29 0.25 0.69 2 363.73 0.31 3 557.32 0.75 0.63 4 792.06 1.00

4. Résultats : Arrondissement Loteries utilisées Arrondissement Fonction puissance Fonction expo. [x0 = 100, 64; 0.5] ~ [x1, 12; 0.5] Aucun 15.51 (13.75) 14.18 (0.14) Fixe ( au multiple de…) 0.1 15.33 (13.91) 14.40 (2.77) 0.5 15.12 (14.43) 20.70 (39.28) 1 17.52 (20.64) 19.31 (18.17) 5 38.82 (44.70) 60.74 (98.78) 10 71.10 (90.69) 77.65 (64.47) Proportion-nel 5% 39.17 (44.83) 10% 74.17 (88.95) Le tableau ci-contre montre les écarts en pourcentage entre les estimations et les vraies valeurs d’aver- sion au risque pour certains cas.

4. Résultats : Arrondissement Loteries utilisées Arrondissement Fonction puissance Fonction expo. [x0 = 100, 64; 0.5] ~ [x1, 12; 0.5] Aucun 15.51 (13.75) 14.18 (0.14) Fixe ( au multiple de…) 0.1 15.33 (13.91) 14.40 (2.77) 0.5 15.12 (14.43) 20.70 (39.28) 1 17.52 (20.64) 19.31 (18.17) 5 38.82 (44.70) 60.74 (98.78) 10 71.10 (90.69) 77.65 (64.47) Proportion-nel 5% 39.17 (44.83) 10% 74.17 (88.95) Le tableau ci-contre montre les écarts en pourcentage entre les estimations et les vraies valeurs d’aver- sion au risque pour certains cas.

4. Résultats : Arrondissement Un niveau d’arrondissement plus élevé implique généralement des erreurs d’estimation plus élevées. Ces erreurs peuvent être très importantes. Pour un niveau d’arrondissement fixe donné, augmenter les montants en jeu fait diminuer les erreurs engendrées. Si la fonction d’utilité est de type puissance, multiplier les montants en jeu et le niveau d’arrondissement par la même constante n’affecte pas les erreurs sur les estimations. Ces résultats s’appliquent que l’on utilise les estimations ponctuelles ou la moyenne des estimations (que l’on connaisse la fonction d’utilité ou non).

4. Résultats : Nombre de points Si l’arrondissement suit une règle fixe: Fonction utilisée Nombre de points sur la courbe (n+1) Niveau d'arrondissement Fixe Proportionnel 10 5% 10% Puissance 3 128.67 (169.49) 105.25 (87.87) 128.60 (169.54) 5 71.10 (90.69) 39.17 (44.83) 74.17 (88.95) 7 44.10 (57.13) 40.85 (39.44) 54.83 (62.79) 36.43 (41.15) 79.65 (276.0) 59.82 (84.44)

4. Résultats : Nombre de points Si l’arrondissement suit une règle fixe: Fonction utilisée Nombre de points sur la courbe (n+1) Niveau d'arrondissement Fixe Proportionnel 10 5% 10% Puissance 3 128.67 (169.49) 105.25 (87.87) 128.60 (169.54) 5 71.10 (90.69) 39.17 (44.83) 74.17 (88.95) 7 44.10 (57.13) 40.85 (39.44) 54.83 (62.79) 36.43 (41.15) 79.65 (276.0) 59.82 (84.44)

4. Résultats : Nombre de points Si l’arrondissement suit une règle proportionnelle: Fonction utilisée Nombre de points sur la courbe (n+1) Niveau d'arrondissement Fixe Proportionnel 10 5% 10% Puissance 3 128.67 (169.49) 105.25 (87.87) 128.60 (169.54) 5 71.10 (90.69) 39.17 (44.83) 74.17 (88.95) 7 44.10 (57.13) 40.85 (39.44) 54.83 (62.79) 36.43 (41.15) 79.65 (276.0) 59.82 (84.44)

4. Résultats : Nombre de points Fonction d’utilité connue : Si l’arrondissement est fixe, plus il y a de points sur la courbe d’utilité, moins les erreurs sont élevées. Si l’arrondissement est proportionnel aux montants en jeu, les erreurs sont les plus faibles s’il y a entre cinq et huit points sur la courbe d’utilité. Choisir sept point peut être un compromis minimisant les erreurs. Une étude plus approfondie des attitudes d’arrondissement des individus est nécessaire avant de pouvoir déterminer un nombre de points optimal exact. Fonction d’utilité inconnue : Si la fonction d’utilité est inconnue, il devient impossible de déterminer un nombre optimal de points.

Moindres carrés non linéaires 4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique Sans erreur de spécification : Ex : L’approche paramétrique fournit des estimations plus proches des vraies valeurs d’aversion au risque dans tous les cas. Arrondissement Aucun Fixe (au multiple de…) Proportionnel 0.1 0.5 1 5 10 5% 10% Splines 11.83 (23.1) 11.87 13.48 (26.3) 15.98 (27.5) 37.50 (39.4) 44.10 (57.1) 40.85 54.83 (62.8) Moindres carrés non linéaires 0.00 (0.01) 0.37 (0.68) 2.13 (5.48) 4.52 (14.1) 16.89 (24.4) 42.61 (60.4) 18.16 45.63 (59.8)

Moindres carrés non linéaires 4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique Avec erreur de spécification : Méthode utilisée Arrondissement Aucun Fixe (au multiple de…) Proportionnel 0.1 0.5 1 5 10 5% 10% Splines - Fctn. réelle : Puissance 23.82 (43.31) 25.62 (44.07) 39.52 (69.0) 58.17 (75.6) 182.11 (215.7) 230.24 (377.2) 192.01 (212.9) 259.22 (388.5) Moindres carrés non linéaires - Fctn. réelle : Puissance - Fctn. spécifiée : Exponentielle 306.07 (767.5) 308.08 (767.1) 305.80 (764.6) 307.50 (768.4) 287.41 (666.7) 372.93 (1058) 287.39 (665.0) 381.45 (1070)

4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique Lorsque la fonction d’utilité spécifiée n’est pas la bonne, nous engendrons des erreurs importantes. Dans ce contexte, les splines cubiques fournissent des estimations significativement plus précises que les moindres carrés non linéaires. Bien que les splines engendrent des erreurs moindres, ces dernières restent quand même élevées. Les études expérimentales tendent à montrer que l’aversion relative au risque est constante ou presque et que l’aversion absolue est décroissante. Ainsi, spécifier une fonction d’utilité de forme puissance engendrerait possiblement des erreurs moindres que celles que nous obtenons.

5. Extensions Identification ex post de la tendance suivie par l’aversion au risque :

6. Conclusion Notre but était de répondre à quatre questions: Est-il possible d’estimer les préférences face au risque de manière entièrement non paramétrique? Oui, les splines cubiques permettent d’estimer l’aversion au risque des individus sans poser d’hypothèses fortes concernant la fonction d’utilité.

6. Conclusion Quel est l’impact de l’introduction d’une erreur sur les estimations des préférences face au risque? Une erreur telle que l’arrondissement des réponses au cours de la méthode de l’arbitrage peut biaiser les estimations de manière importante. La magnitude du biais dépend du rapport entre le niveau d’arrondissement et les montants en jeu.

6. Conclusion Y a-t-il un nombre de points optimal à obtenir sur les courbes d’utilité lors de l’application de la méthode de l’arbitrage? Si la fonction d’utilité est connue et que l’aversion au risque est constante, une meilleure connaissance des attitudes d’arrondissement des individus est nécessaire avant de déterminer un nombre de points optimal. Utiliser sept points peut quand même être un bon compromis. Si la fonction d’utilité est inconnue, il est impossible de déterminer un nombre optimal exact.

6. Conclusion L’approche non paramétrique permet-elle d’éviter les erreurs de spécification auxquelles peut être soumise une approche paramétrique? Oui, elle peut diminuer significativement les erreurs lors de l’estimation de l’aversion au risque. Les estimations obtenues peuvent quand même être éloignées des véritables valeurs.

6. Conclusion L’estimation non paramétrique de l’aversion au risque est donc quelque chose d’envisageable. Des travaux supplémentaires doivent toutefois être menés afin de perfectionner la méthode. Les pistes à suivre incluent : Changer les contraintes d’identification des paramètres; Tester la possibilité d’utiliser des splines de degrés supérieurs; Identifier ex post la tendance suivie par l’aversion au risque; etc.

Merci!

Aversion au risque absolue Concrètement… Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = -0.995012 U(10) = -0.990050 U(15) = -0.985112 U(20) = -0.980199 Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = 2.236 U(10) = 3.162 U(15) = 3.873 U(20) = 4.472

Aversion au risque absolue Concrètement… Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = -0.995012 U(10) = -0.990050 U(15) = -0.985112 U(20) = -0.980199 Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = 2.236 U(10) = 3.162 U(15) = 3.873 U(20) = 4.472 +0.499% +0.499% +0.499% Aversion absolue au risque constante

Aversion au risque absolue Concrètement… Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = -0.995012 U(10) = -0.990050 U(15) = -0.985112 U(20) = -0.980199 Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = 2.236 U(10) = 3.162 U(15) = 3.873 U(20) = 4.472 +0.499% +41.42% +0.499% +22.47% +0.499% +15.47% Aversion absolue au risque constante Aversion absolue au risque décroissante

Aversion au risque relative Concrètement… Ex : Fonction exponentielle : (r = 0.001) U(5) = -0.995012 U(10) = -0.990050 U(15) = -0.985112 U(20) = -0.980199 Ex : Fonction puissance: (r = 0.5) U(5) = 2.236 U(10) = 3.162 U(15) = 3.873 U(20) = 4.472 +0.499% +41.42% +0.995% +41.42% Aversion relative au risque croissante Aversion relative au risque constante