Homothétie Auteures : Nathalie Charest et Chantal Prince Enseignantes de mathématique, CSRS

Homothétie Une homothétie est une transformation géométrique qui permet de tracer une figure semblable à une figure initiale. Une figure est semblable à une figure donnée lorsqu’il y a un agrandissement de la figure initiale ou lorsqu’elle reste identique ou lorsqu’il y a réduction de la figure initiale. Toute homothétie se définit par un point fixe appelé centre (O) et un rapport d ’homothétie (k).

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) C’est une homothétie de centre 0 Le rapport d’homothétie est de 2. Donc K=2 A D C B

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) Trace des lignes pointillées du centre à chaque sommet et prolonge-les le plus possible. 4cm A B D C Mesure maintenant chaque segment du centre d’homothétie à chaque sommet

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) Fais de même pour les autres segments! m 0A = 4 cm m 0B = 7 cm m 0C = 6 cm m 0D = 4,5 cm 4cm A B 7cm 6cm D C 4,5 cm

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) On doit maintenant placer les points images de chaque sommet. Pour cela, on doit prendre les mesures de chaque segment mesuré précédemment et les multiplier par le rapport d’homothétie K. A B m 0A’ = 4 cm x 2 = 8cm m 0B’ = 7 cm x 2 = 14cm m 0C’ = 6 cm x 2 = 12cm m 0D’ = 4,5 cm x 2 = 9cm D C

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) Maintenant, il te reste simplement à placer tes points images en mesurant avec ta règle à partir du centre 0. Remarque: Toutes les mesures se prennent par rapport au centre 0. 8 cm A B m 0A’ = 4 cm x 2 = 8cm m 0B’ = 7 cm x 2 = 14cm m 0C’ = 6 cm x 2 = 12cm m 0D’ = 4,5 cm x 2 = 9cm D C

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) Fais de même pour tous les autres sommets! 8 cm 14 cm A B m 0A’ = 4 cm x 2 = 8cm m 0B’ = 7 cm x 2 = 14cm m 0C’ = 6 cm x 2 = 12cm m 0D’ = 4,5 cm x 2 = 9cm 12cm D C 9 cm

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) Il te reste relier tes nouveaux sommets pour former l’image du trapèze ABCD. A B D C

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| > 1 Voici la règle h(0, 2) N’oublie pas de nommer ton trapèze image A’B’C’D’ Que remarques-tu à propos de la grosseur de l’image? A’ B’ A B D C C’ La figure image est 2 fois plus grosse que la figure initiale. 2 Fois ce qui est représenté par le rapport d’homothétie k = 2 D’

Homothétie Homothétie de rapport négatif et égale à |1| Voici la règle h(0, -1) 1)Trace des lignes pointillées! 2)Mesure maintenant chacun de tes segments en commençant par le centre 0. 4 cm A B D C m 0A = 4 cm m 0B = 7 cm m 0C = 6 cm m 0D = 4,5 cm

Homothétie Homothétie de rapport négatif et égale à |1| m 0A’ = 4 cm x -1 = - 4 m 0B’ = 7 cm x -1 = - 7 m 0C’ = 6 cm x -1 = - 6 m 0D’ = 4,5 cm x -1 = - 9 Voici la règle h(0, -1) 3)Place tes points images en mesurant avec ta règle à partir du centre 0, mais de l ’autre côté du centre d ’homothétie puisque le rapport est négatif. Chaque ligne en pointillée est comme une droite numérique qui a son centre au point 0; puisque les mesures trouvées sont négatives, on doit les mettre à gauche du centre 0. A B D C Te souviens-tu comment trouver tes points images? Multiplie chaque longueur de segments par le rapport d’homothétie K.

Homothétie Homothétie de rapport négatif et égale à |1| m 0A’ = 4 cm x -1 = - 4 m 0B’ = 7 cm x -1 = - 7 m 0C’ = 6 cm x -1 = - 6 m 0D’ = 4,5 cm x -1 = - 9 Voici la règle h(0, -1) 3)Place tes points images en mesurant avec ta règle à partir du centre 0, mais de l ’autre côté de la figure initiale puisque le rapport est négatif. A B D C Fais de même pour les autres points images. - 4cm

Homothétie Homothétie de rapport négatif et égale à |1| Voici la règle h(0, -1) Trace maintenant ta figure image et nomme ce trapèze A’B’C’D’ A B C’ D’ B’ D C A’

Homothétie Homothétie de rapport négatif et égale à |K|=1 La figure image est de la même grosseur que la figure initiale lorsque le k=1. Elle est située de l ’autre côté du centre d ’homothétie par rapport à la figure initiale puisque le rapport est négatif. Voici la règle h(0, -1) Que remarques-tu à propos de la figure image? A B C’ D’ B’ D C A’

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| <1 Voici la règle h(0, 1/2) 1)Trace des lignes pointillées! 2)Mesure maintenant chacun de tes segments en commençant par le centre 0. A 9 cm B C

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| <1 Voici la règle h(0, 1/2) 1)Trace des lignes pointillées! 2)Mesure maintenant chacun de tes segments en commençant par le centre 0. A 9 cm m 0A = 9 cm m 0B = 11 cm m 0C = 7,5 cm 7,5 cm B C 11 cm

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| <1 Voici la règle h(0, 1/2) Pour placer les points images, tu dois tout d ’abord faire tes calculs pour savoir où placer tes points images. A 4,5 cm B C m 0A = 9 cm x 1/2 = 4,5 m 0B = 11 cm x 1/2 = 5,5 m 0C = 7,5 cm x 1/2 = 3,75

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| <1 Voici la règle h(0, 1/2) Place maintenant tes points images. Tu dois tout d ’abord faire tes calculs pour savoir où placer tes points images. A 4,5 cm 5,5 cm B C m 0A = 9 cm x 1/2 = 4,5 m 0B = 11 cm x 1/2 = 5,5 m 0C = 7,5 cm x 1/2 = 3,75 3,75 cm

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| <1 Voici la règle h(0, 1/2) Place maintenant tes points images. Tu dois tout d ’abord faire tes calculs pour savoir où placer tes points images. A A’ 4,5 cm 5,5 cm B C B’ m 0A = 9 cm x 1/2 = 4,5 m 0B = 11 cm x 1/2 = 5,5 m 0C = 7,5 cm x 1/2 = 3,75 C’ 3,75 cm

Homothétie Homothétie de rapport positif et |K| <1 Voici la règle h(0, 1/2) Que remarques-tu à propos de la figure image? A La figure image est plus petite que la figure initiale lorsque le 0<k<1. Elle est située du même côté que la figure initiale par rapport au centre d ’homothétie puisque le rapport est positif. A’ B C B’ C’

Fin Homothétie En résumé: La règle d ’homothétie h(0, k) est caractérisée par un point 0 nommé centre d ’homothétie et un nombre k nommé rapport d’homothétie. Lorsque le rapport d ’homothétie est positif, l’image se retrouve du même côté que la figure initiale par rapport au centre d ’homothétie. Et lorsque le rapport d ’homothétie est négatif, l’image se retrouve de l’autre côté du centre d ’homothétie par rapport à la figure initiale. Si |k|> 1, l’homothétie produit un agrandissement. Si |k|=1, l’homothétie produit une figure isométrique. Si |k|<1, l’homothétie produit une réduction. Fin