11 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 6 - Absorption 7 - Dispersion Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels Bloc 6

22 Milieu intermédiaire l.i.h., non magnétique 3 ème situation : 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur

33 Etablir léquation de dispersion pour lOEM associée au champ ci-dessus dans un milieu partiellement conducteur, l.i.h., de permittivité et de conductivité. Montrer que lon obtient : Exercice 1

44 réelle = o (continu) 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur 3 cas de figure selon que est réelle, imaginaire ou complexe k² complexe k complexe imaginaire k² réel > 0 k imaginaire complexe k² complexe k complexe k² réel < 0 k réel

Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur imaginaire k² réel > 0 k imaginaire = jk k² réel < 0 k réel Le milieu nest pas absorbant Le milieu nest pas absorbant, lindice est réel il peut y avoir dispersion on peut calculer v, n,,… ne se propage pas onde évanescente Londe ne se propage pas dans le milieu, lamplitude du champ décroît onde évanescente v,,..ne sont pas définies onde évanescente onde évanescente 1 er cas de figure :

66 k = k + jk réelle = o (continu) 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur Pour les détails du calcul, voir le diaporama « démonstrations bloc 6 « 2 ème cas de figure : On peut calculer, v, n, …

77 k = k + jk complexe 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur Pour les détails du calcul, voir le diaporama « démonstrations bloc 6 « 3 ème cas de figure : On peut calculer, v, n, … Il faut développer lexpression de dans léquation de dispersion avant de la résoudre

88 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 1 - Electrons libres 2 - Electrons faiblement liés 6 - Absorption 7 - Dispersion Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels

– Comportement de avec la fréquence : électrons libres Méthode pour déterminer : 1.Déterminer j L et utiliser la loi dOhm 2.Déterminer la vitesse des porteurs pour avoir j L 3.Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour déterminer la vitesse des porteurs.

10 Modèle de Drude électrons «libres» Comportement des électrons «libres» dans les conducteurs soumis à un champ électromagnétique PFD appliqué à un e- «libre» Force de Lorentz Force de frottements Force de rappel élastique Déplacement de e- % position en labsence de champ Vitesse dentraînement sous champ 5-1 – Comportement de avec la fréquence : électrons libres

11 Modèle de Drude Force de frottements Force de rappel élastique Hypothèses : mg << eE m o ²r << eE Bv ~ Ev/c <<E Temps de relaxation moyen entre 2 collisions s Justification des hypothèses ? 5-1 – Comportement de avec la fréquence : électrons libres

12 Résolution de léquation différentielle pour E champ constant et uniforme (indépendant de r et t) ? 5-1 – Comportement de avec la fréquence : électrons libres Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6

s Hypothèse : E champ constant et uniforme (indépendant de r et t) Conductivité définie en continu Mobilité des électrons libres 5-1 – Comportement de avec la fréquence : électrons libres

14 Hypothèse : E champ sinusoïdal progressif Hypothèse : Oscillations forcées des e- libres sous le champ E (à la même fréquence) complexe 5-1 – Comportement de avec la fréquence : électrons libres

15 << 1 < rad/s J est en phase avec E >> 1 > rad/s J est en quadrature retard sur E rad/s < < rad/s J est en retard sur E de tel que : Continu Ne dépend pas de f 5-1 – Comportement de avec la fréquence : électrons libres

16 Quelle est lexpression de la conductivité du cuivre dans le domaine des rayons X dont la longueur donde dans le vide est o = 1pm? En déduire lexpression de léquation de dispersion et celle du vecteur donde associé. Caractériser la propagation de ces rayons X dans le cuivre. Connaissez-vous une application de ce phénomène ? Exercice 2

17 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 1 - Electrons libres 2 - Electrons faiblement liés 2 - Electrons faiblement liés 6 - Absorption 7 - Dispersion Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels

18 Modèle de Drude électrons élastiquement «liés» Comportement des électrons élastiquement «liés» dans les milieux soumis à un champ électromagnétique PFD appliqué à un e- «lié» Force de rappel élastique Hypothèses : mg << eE Bv ~ Ev/c <<E Temps de relaxation moyen entre 2 collisions s Pulsation propre o rad/s 5-2 – Comportement de avec la fréquence : électrons liés

19 E champ sinusoïdal progressif Hypothèse : Oscillations forcées des e- élastiquement liés à la même fréquence que le champ 5-2 – Comportement de avec la fréquence : électrons liés Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6 complexe

20 Il faut discuter en fonction de en comparant les ordres de grandeur des termes du dénominateur << o o >> o 5-2 – Comportement de avec la fréquence : électrons liés

21 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 6 - Absorption 6 - Absorption 1- Puissance dans un milieu absorbant 2 - Coefficient dabsorption 7 - Dispersion Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels

22 Montrer que le théorème de Poynting dans les milieux matériels sécrit : En déduire le bilan dénergie : Exercice 3

23 Variation de lénergie électromagnétique dans le volume V Puissance dissipée par les courants J L circulant dans V (effet Joule) Puissance rayonnée par lOEM à travers S fermée entourant V Puissance transportée dans un milieu absorbant Théorème de Poynting

24 1 – Puissance dissipée dans un milieu conducteur Puissance dissipée dans le conducteur Milieu l.i.h. : o

25 Exercice 4 A laide des équations de Maxwell en notation complexe, donner lexpression complexe du champ B associé au champ E ci dessus. Exprimer le déphasage de B par rapport à E. A laide des expressions complexes de B et E ci-dessus, montrer que le vecteur de Poynting sécrit : En déduire la puissance moyenne transportée par londe (par unité de surface).

26 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 6 - Absorption 6 - Absorption 1- Puissance dans un milieu absorbant 2 - Coefficient dabsorption 7 - Dispersion Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels

27 absorbant Le coefficient dabsorption caractérise un milieu absorbant Il est défini (en puissance ou en intensité), pour une onde atténuée, par : z : direction de propagation sexprime en Néper/m (Np/m) ou en m -1 sexprime aussi en décibel/m (dB/m) Coefficient dabsorption

28 =2k est lié à lindice dextinction n = = c.k/ Exemple : semi-conducteur GaAs Coefficient dabsorption Loi de Beer- Lambert

29 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 6 - Absorption 7 - Dispersion 7 - Dispersion 1- Vitesse de groupe 2 – Relation de Rayleigh Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels

30 v ( ) Milieux dispersifs v ( ) 7 - Dispersion Emetteurs non monochromatiques largeur de raie Emission dun paquet dondes Représentation dune OEM réelle sous la forme dune superposition dOPPM (analyse de Fourier) Se propageant dans la même direction De même amplitude De vecteurs donde différents (pulsations différentes) 1 - Vitesse de groupe

31 Soit o la pulsation centrale associée à k o Vitesse de groupe Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6 Expression du champ associé au paquet donde (PO) ?

32 v = o /k o Terme sinusoïdal se propageant à la vitesse de phase v = o /k o Enveloppe de lamplitude Enveloppe de lamplitude se propage v = d /dk à la vitesse v = d /dk Vitesse de groupe : v g Vitesse de groupe

33 Enveloppe Enveloppe se propage v = d /dk À la vitesse v = d /dk Énergie transportée par le paquet dondes partie de lenveloppe où E est max énergie se déplace à la vitesse v g Vitesse de propagation de lénergie : v g Vitesse de groupe

34 animation En regardant bien lanimation : Comment repère-t-on la vitesse de groupe ? Comment repère-t-on la vitesse de phase ? Exercice 5

35 k² = ².µ o r = ². r /c² Etablir lexpression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe pour une OEM se propageant dans un milieu diélectrique caractérisé par léquation de dispersion : Exercice 6

36 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude 6 - Absorption 7 - Dispersion 7 - Dispersion 1- Vitesse de groupe 2 – Relation de Rayleigh Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux matériels

37 Relation traduisant la dispersion, liant les vitesses de groupe et de phase ; 2 expressions équivalentes 7-2 – Relation de Rayleigh Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6 : mesurée dans le milieu o : mesurée dans le vide

38 Fin du bloc 6…. Début du bloc 7…. Quizz 6 Problème N°3 à rédiger…