Rotation Pythagoricienne Les valeurs a 2 + b 2 = (b+1) 2 correspondent aux triplets Pythagoricien (2k+1, 2k(k+1), 2k(k+1)+1). Ces valeurs ne couvrent toutefois pas tous les angles. Rotation discrète bijective Rot -1 (k)= Rot(-k-1)

Quasi-shear rotation R = o o

Quasi-Shear Rotation The formulas are rewritten as : With :

Quasi-shear rotations Quasi-shear Horizontal and Vertical Goal : find (t,u,v) so that QTH is the best possible approximation of TH Same for QTV and TV.

= t a u b We have: TH transforms x = i in -bx+ay+bi-ay o = 0 The naive discrete line ( = b) that best approaches this line is : thus : Quasi-shear rotations

QTH transforme the discrete line x=i in the discrete line : This is the previous line : Which leads to : Quasi-shear rotations

We replace : By : Quasi-shear rotations

The quasi-shear rotation of center (x o,y o ) and angle is defined by : With : Quasi-shear rotations

Properties of the quasi-shear rotation The quasi-shear rotation is one-to-one and RQT(xo, yo, ) -1 = RQT(xo, yo, - )

Properties of the Quasi-shear rotation Maximal distance Average distance

A propos des AQAs - Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique. - Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple). - Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations. - Les AQAs permettent de construire des pavages. - Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.

Changement déchelle vu par les transformations discrètes/continues Lidée cest de faire une opération dans le continu ou dans le discret en se servant des particularités de lautre monde. Dans ce qui suit on sest intéressé à lhomothétie comme opération de transition en étudiant une transformation discrète et une transformation continue.

Homothétie discrète douce ZnZn ZnZn RnRn Reconstruction Discrétisation Travail réalisé par Gaëlle Largeteau-Skapin

Implémentation reconstruction Homothétie discrétisation Homothétie discrète douce

Exemple

reconstruction Homothétie discrétisation reconstruction Homothétie discrétisation

Exemple

Simplification discrète RnRn RnRn ZnZn discrétisation reconstruction Travail réalisé par Gaëlle Largeteau-Skapin

Niveaux de détails

Implémentation homothétie discrétisation reconstruction homothétie Simplification discrète

Exemple

Instabilité : discrétisation reconstruction On peut étudier les équivalences topologique à niveau de détail près et M. Tajine, M. Ronse. Preservation of topolgy by Hausdorff discretization and comparison to other discretization schemes. Theoretical Computer Science, Elsevier, Vol. 283, N° 1, pp (June 2002).

Questions ?