Géométrie des réseaux d’interactions : rôle en écologie et épidémiologie Alain Franc(1) & Nathalie Peyrard(2) (1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux (2) INRA, Biométrie Avignon, France Avignon, 22-23 mai 2006

Plan I. Contexte Epidémiologie sur un graphe Métapopulations Espèces invasives II. « Interacting particle models » sur un graphe : vers des modèles simples, et accessibles III. Quelques explorations durant le régime transitoire

Contexte : Epidémiologie sur un graphe, Métapopulations, Espèces invasives

Principaux types de modèles spatio-temporels

Principaux types de modèles spatio-temporels

Graphe : un outil mathématique

Graphes

Exemple

Metalife !

Trois exemples Métapopulations: Patches Flux de graînes entre patch Epidémiologie: Hôtes Flux de parasites entre hôtes Espèces invasives Patches de végétation résidente Invasion par des espèces exotiques

Cadre géométrique commun Patches : Dynamique résidente Croissance des plantes Dynamique de la végétation Cycle de vie de l’hôte Flux : Flux d’information Perturbation de la entre patch dynamique résidente

Processus de contact

Géometrie et processus locaux Processus de contact 2. Modèles «  interacting particle models » plus généraux

Processus de contact sur un graphe

Approximation « champ moyen »

Métapopulations, Epidémiologie, Modèles « champ moyen »

Ecarts au champ moyen

Rupture Champ Moyen

Quelques caractéristiques d’un graphe Distribution des degrés Coefficient d’agrégation Diamètre PC sur un graphe Géométrie du graphe Processus

Modèles « Interacting particles » vers des modèles moins simples mais tjs accessibles

Modèles « SIR »  S I R

Interactions entre une plante et un parasite fongique Connaissances biologiques de ces interactions Une diversité d’interactions et de filtres - gène pour gène : réaction hypersensible - résistance partielle : protège de l’infection en limite les effets - tolérance : réduit ou élimine les effets de l’infection voir Jokela, Schmid-Hempel & Rigby, Oïkos, 2000 Roy & Kirchiner, Evolution, 2000 Segarra, Phytopath., 2005

Modèle pour l’hyperparasitisme

Communautés de parasites b c

Towards closed forms?

Elimination du paramètre à l’équilibre

Forme « fermée » à l’équilibre Champ moyen Approximation par paires

Ajustement de la « forme fermée » (k.x avec r)

Ajustement de la « forme fermée » (k.x avec r) Champ moyen Paires Ajustement

Question à 1 000 € Est-ce que la forme fermée fonctionne aussi en régime transitoire ?

Question plus générale Comment fermer le systèmes durant le régime transitoire ? Différentes fermetures type MF, PA, Bethe, etc …. Extrapoler la fermeture empirique à l’équilibre Trajectoire rectiligne dans le plan (ρ,ξ)

Fermeture par trajectoire rectiligne On connaît l’état de départ le paramètre b On calcule (ρ0, ξ0) On calcule l’état d’équilibre (ρ*, ξ*) par la fermeture empirique On « ferme » le régime transitoire par l’hypothèse que la trajectoire dans le plan (ρ,ξ) est une droite

En équation …

Ligne droite Equilibre

Questions à étudier 1. Mieux comprendre la transition ligne droite → forme fermée 2. Quelle équation de la forme fermée ? ici, polynôme empirique 4ème degré loi allométrique de puissance ? 3. Quel comportement sur un réseau 2D ? sur un graphe non régulier ?

Pourquoi ça marche à peu près ?

Remerciements Mercedes Pascual Marie-Laure Desprez-Loustau Cécile Robin