CHAPITRE 4 Nombres complexes

Le plan R2 et les nombres complexes Le corps (C , + , x) Module et argument La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et d’Euler Résolution dans C de l’équation algébrique zn=A Résolution dans C des équations du second degré

Le plan R2 : une structure d’espace vectoriel Addition (loi interne) (x1 , y1) + (x2 , y2) := (x1+x2 , y1+y2) (pour (x1 , y1) , (x2, y2) dans R2) Action « externe » de R sur R2 a . (x , y) = (a x x , a x y) (pour a dans R , (x, y) dans R2)

Les règles régissant les deux opérations (interne et externe) (R2,+) est un groupe abélien a . (b . (x,y)) = (a x b) . (x,y) (a+b) . (x,y) = a . (x,y) + b . (x,y) a . ((x1 ,y1) + (x2 ,y2)) = a . (x1 ,y1) + a . (x2 ,y2) 1 . (x,y) = (x,y) (R2 , + , . ) R-espace vectoriel

Applications linéaires du plan dans lui-même L ( a . (x1 , y1) + b . (x2 ,y2)) = a . L ((x1,y1)) + b . L ((x2 ,y2))

Application linéaire tableau 2 x 2 Matrice de L L ((1,0)) = (a , c) L ((0,1)) = (b , d) ( ) a b c d L ((x,y)) = (a x + b y , c x + d y)

Composition des applications linéaires et « produit » de tableaux 2 x 2 c1 d1 L1 L2 a2 b2 c2 d2 a2a1 + b2c1 a2b1+b2d1 c2a1+d2c1 c2b1+d2d1 L2 o L1

Les complexes ; pourquoi Les complexes ; pourquoi ? Des motivations issues de la physique (et quelques noms) Hydrodynamique, Mécanique des fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …) Astronomie et Mécanique Céleste (P. S. Laplace,…) Mécanique Ondulatoire, Thermodynamique, Optique, Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, J. C. Maxwell, ..) Augustin Cauchy 1789-1857 Joseph Fourier 1768-1830 Pierre Simon Laplace 1749-1827 James C. Maxwell 1831-1879

( ) q Quelles sont les applications linéaires préservant les angles orientés des figures ?? Le principe de moindre action M r 0 0 r m’ r cos q -r sin q r sin q r cos q cos q -sin q sin q cos q o r q m ( ) a -b b a a = r cos (q) b = r sin (q)

L’ensemble des nombres complexes (l’ensemble C ) { ( ) ; a , b dans R } a -b b a ( ) ( ) a+ib a -b b a ) 1 0 0 1 ( 0 -1 1 0 1 i =a . + b .

L’addition sur C a1 -b1 b1 a1 a2 -b2 b2 a2 a1+a2 -(b1+b2) b1+b2 a1+a2 = + (a1 + i b1)+(a2 + i b2) := (a1+a2) + i (b1+b2)

a2 -b2 La Multiplication Sur C b2 a2 a1 -b1 b1 a1 (a1+i b1) x (a2 + i b2) = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + b1 a2) a2 -b2 b2 a2 La Multiplication Sur C a1 -b1 b1 a1 a1a2 – b1b2 -(a1b2+b1a2) a1b2+b1a2 a1a2-b1b2

Inverse d’un élément non nul pour la multiplication a – ib a2 + b2 a – ib a2 + b2 (a+ib) x ? = ? x (a+ib) =1

Propriétés des opérations (C ,+) groupe abélien Addition + (C,+, x) corps commutatif Commutativité z1+z2=z2+z1 Associativité z1+(z2+z3)= (z1+z2) +z3 Elément neutre 0 : z+0 = 0 + z = z Tout élément z admet un « opposé » -z z+ (-z) = (-z) + z = 0 Multiplication x Commutativité z1 x z2=z2 x z1 Associativité z1 x (z2 x z3)= (z1 x z2) x z3 Elément unité 1: z x 1 = 1 x z = z Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : z z-1 = z-1 z = 1 Distributivité mult/addition z1 x (z2+z3) = (z1 x z2) + (z1 x z3)

Module et argument (d’un nombre complexe non nul) z= a+ib a = r cos (q) b = r sin (q) m’ r q m r = |z| = (a2+b2)1/2 : module (amplitude) de z q (modulo 2 p) = arg (z) : argument (phase) de z

Conjugaison complexe y z=a+ib x’ x _ z :=a - ib y’

Quelques formules utiles (sans ambiguïté) _ |z| = |z| |z1 z2 | = |z1|x|z2| _____ _ _ z1 + z2 = z1 + z2 ___ _ _ z1 z2 = z1 z2 _ |z|2 = z z _ 1/z = z /|z|2

D’autres formules (à manier avec précaution !) arg ( z1 z2) = arg (z1) + arg (z2) _ arg (z) = - arg (z) si z S 0 Attention !! Ce sont des égalités entre classes de nombres réels modulo 2p

La fonction exponentielle sur R : exp (x1 + x2) = exp (x1) exp (x2) sur C : exp (x+iy) := exp (x) x (cos (y)+i sin(y)) sur C : exp (z1 + z2) = exp (z1) exp (z2) En particulier : exp (z) = 1/(exp (-z)) S 0

i2 = -1 p= 3.1415926535897932385... e 2 i p = 1 fonction exponentielle e=exp(1)= e1 =2.7182818284590452354...

Formes trigonométriques, forme cartésienne d’un nombre complexe Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p]) Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q) (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2p]) Forme cartésienne : z = a + i b (avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z) [partie imaginaire])

Les formules de MOIVRE (cos q + i sin q )n = (eiq)n = cos (nq) + i sin (nq)

Les formules d’Euler cos q = (eiq + e-iq)/2 sin q = (-i/2) (eiq – e-iq)

Résoudre zN=A A = R eiq z = R1/N e (iq/N + 2ipk/N) k=0,1,2,..., N-1 (N solutions)

Résoudre a z2 + b z + c = 0 d= discriminant az2+b z+c = a (z2 + (b/a) z) + c = a ((z+ b/(2a))2 – (b2-4ac)/(4a2)) d= discriminant X2 = (b2-4ac)/(4a2) a (dans C) deux racines X=u et X=–u distinctes si b2-4ac est non nul

Conclusion : 2 cas à distinguer Si b2 – 4 ac =0, il y a une seule solution donnée par z = -b/(2a) Si b2 – 4 ac R 0, il y a deux solutions données par : z1 = -b/(2a) - u/(2a) z2 = -b/(2a) + u/(2a) u2 = b2 – 4 ac

Construction d/(4a2) z2 u/(2a) q/2 -b/(2a) q/2 - u/(2a) z1

Cas particulier : a,b,c réels et d <0 u/(2a) z2 -b/(2a) d/(4a2) - u/(2a) z1

Autres relations utiles pour le calcul de la racine carrée Re( z2) = x2 -y2 |z2| = x2+y2 x2 = [|z2| + Re(z2)] /2 y2 = [|z2| - Re (z2)] /2 Im (z2) = 2 x y signe(Im(z2))= signe (xy) Détermination des racines De z2 =A sans ambiguïté

Fin du chapitre 4