Genèse des nombres complexes :

Présentation au sujet: "Genèse des nombres complexes :"— Transcription de la présentation:

1 Genèse des nombres complexes :
Au siècle, les mathématiciens se sont aperçus que pour résoudre certains problèmes algébriques, ils étaient amenés à effectuer certaines « opérations interdites » sur les nombres réels. Pourtant, les méthodes en questions permettaient de trouver de manière efficace les solutions de certaines équations. Afin de « régulariser » cette situation, ils ont été amenés à créer un nouvel ensemble de nombres : XVIe

2 Le corps des nombres complexes

3 Le nombre imaginaire j j 2 = (- j 2) = - 1
On définit les nombres j et – j vérifiant: j 2 = (- j 2) = - 1

4 Forme algébrique des nombres complexes
z = a + bj a : partie réelle du nombre complexe z b : partie imaginaire du nombre complexe z (a et b sont des nombres réels)

5 Le plan complexe M + z = a + jb Affixe du point M Ordonnée du point M:
: Abscisse du point M

6 Module & Argument d’un nombre complexe
M (z) + b ρ Module de z θ Argument de z a Notations: Module de z: |z| Argument de z: arg(z)

7 ρ 2 a 2 + b 2 = a = ρ cos (θ) b = ρ sin (θ)

8 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
z = ρ cos (θ) + j ρ sin (θ) z = [ ρ;θ ] Autre notation de la forme trigonométrique:

9 Conjugué d’un nombre complexe
z = a + jb z = a - jb

10 (-z ) (z) (-z) ( z )

11 |z| = |z| arg (z) = - arg (z) zz = (a + jb)(a – jb) = |z|2

12 Addition de deux nombres complexes z et z’
M’’ ( z’’ = z + z’ ) + b + b’ + M (z) b M’ (z’) + b’ a a’ a + a’

13 z = a + jb z’ = a’ + jb’ z + z’ = (a + a) + j (b + b’)

14 Multiplication de deux nombres complexes z et z’
z=a+jb=[ρ;θ] z’=a’+jb’=[ρ’;θ’] zz’ = (aa’ – bb’) + j (ab’ + a’b) zz’ = [ ρρ’ ; θ + θ’]

15 P (zz’) + ρρ’ θ + θ’ M’ (z’) + ρ’ M (z) + θ’ θ ρ

16