unité #1 Analyse numérique matricielle Giansalvo EXIN Cirrincione

Soit V un espace vectoriel de dimension finie n, sur le corps R ou C (K) Une base de V est un ensemble {e1, e2, … , en} de n vecteurs linéairement indépendants de V Lorsqu'une base est fixée sans ambiguité, on peut ainsi identifier V à Kn décomposition unique composante vecteur colonne

vecteur ligne vecteur ligne vecteur transposé vecteur adjoint vecteur colonne

un ensemble {v1, v2, … , vk} de vecteurs de V est dit orthonormal si Produit scalaire u et v sont orthogonaux si ( u, v ) = 0 un ensemble {v1, v2, … , vk} de vecteurs de V est dit orthonormal si

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn m lignes

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn n colonnes

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn

Matrice a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n     am1 am2 am3 … amn

Matrice carrée a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n  ann

Matrice carrée a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n  ann diagonale

Espace vectoriel m,n(K) des matrices de type (m ,n) matrice nulle 0 = (0)

Multiplication matrice-vecteur … an xn  x2 x1 b = x1 a1 x2 a2 xn an +  = Produit externe v1 u … = v2 u vn u = umv1 um v2 … um vn  u2v1 u2 v2 u2 vn u1 v1 u1 v2 u1 vn u v1 v2 … vn

AT  I = matrice unité = … 1 am1  am2 am3 … amn a31 a32 a33 a3n a21  I = matrice unité = … 1 am1  am2 am3 … amn a31 a32 a33 a3n a21 a22 a23 a2n a11 a12 a13 a1n a1n  a2n a3n … amn a13 a23 a33 am3 a12 a22 a32 am2 a11 a21 a31 am1 AT matrice transposée

AT am1  am2 am3 … amn a31 a32 a33 a3n a21 a22 a23 a2n a11 a12 a13 a1n matrice transposée

A*, AH AT am1  am2 am3 … amn a31 a32 a33 a3n a21 a22 a23 a2n a11 a12 matrice adjointe am1  am2 am3 … amn a31 a32 a33 a3n a21 a22 a23 a2n a11 a12 a13 a1n AT matrice transposée

Décomposition par blocs

Déterminant d'une matrice carrée signature N! permutations de l'ensemble (1,,n)T Laplace A sans ligne i et colonne j (sous-matrice d'ordre n-1 )

Rang de la matrice A det A  0

Matrice inverse de la matrice A Une matrice A est inversible s'il existe une matrice (unique si elle existe), notée A-1 et appelée matrice inverse de la matrice A, telle que A A-1 = A-1 A = I. Dans le cas contraire, on dit que la matrice est singulière ( det A = 0 ). Une matrice A est inversible si elle est pleine rang (full rank).

Matrices particulières

Matrices particulières a22 a32 a33 a44 a55

Matrices particulières a21 a22 a23 tridiagonale a32 a33 a34 a43 a44 a45 a54 a55 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a24 bande (ampl. 5) a31 a32 a33 a34 a35 a42 a43 a44 a45 a53 a54 a55

Matrices particulières a22 a23 a24 a25 triangulaire supérieure a33 a34 a35 a44 a45 a55 a11 a21 a22 triangulaire inférieure a31 a32 a33 a41 a42 a43 a44 a51 a52 a53 a54 a55

Matrices particulières Hessenberg supérieure a32 a33 a34 a35 a43 a44 a45 a54 a55 a11 a12 a21 a22 a23 Hessenberg inférieure a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55

multiplicité géométrique mG (  ) : valeur propre eigenvalue eigenwert (ew) vecteur propre eigenvector eigenvektor (ev) -2 -1 1 2 -1.5 -0.5 0.5 1.5 Ax =  x x Ax Le sous-espace vectoriel {v : A v =  v} est appelé sous-espace propre El correspondant à la valeur propre . Il est un sous-espace invariant. multiplicité géométrique mG (  ) :

multiplicité algébrique mA (  ) rayon spectral de A spectre de A Les valeurs propres i d'une matrice A d'ordre n sont les n racines, réelles ou complexes, distinctes ou confondues, du polynôme caractéristique : multiplicité algébrique mA (  ) multiplicité géométrique mG (  ) :

Une matrice hermitienne A est définie positive (p.d.) si Une matrice hermitienne A est positive si Une matrice hermitienne est définie positive (positive) si toutes ses valeurs propres sont > 0 (  0 ). trace de A

Une matrice hermitienne A est définie positive (p.d.) si Une matrice hermitienne A est positive si Une matrice hermitienne est définie positive (positive) si toutes ses valeurs propres sont > 0 (  0 ) A symétrique diag. dominante avec aii > 0 est définie positive A diag. dominante est inversible A diagonalement dominante A diag. dominante par colonnes

déterminant d'une matrice carrée si A est diagonale ou triangulaire si {, x} sont ew et ev de A non singulière, alors {-1, x} sont ew et ev de A -1 si  est ew de A, alors est aussi ew de A T et  est ew de A H si A = A H , alors ew   et les ev correspondants aux ew distinctes sont orthogonaux les ev correspondants aux ew distinctes sont l.i. si  est ew de A unitaire, alors |  | =1 si  est ew de A et   K , alors  -  est ew de A -  I si A   et  est ew de A, alors -  et  sont aussi ew de A A singulière  A est diagonalisable  toutes les n ev sont l.i.

A et B sont matrices semblables si B = P -1 A P , où P est inversible Si X n'est pas singulière, alors A et X -1 A X ont le même polynôme caractéristique, valeurs propres, multiplicité algébrique et géométrique. = A x1 … x2 xn n   2 1 A est diagonalisable A est diagonalisable  toutes les n ev sont l.i.

U -1 =U * Etant donné une matrice carrée A, il existe une matrice unitaire U telle que la matrice U -1 A U soit triangulaire (décomposition de Schur). Etant donné une matrice normale A, il existe une matrice unitaire U telle que la matrice U -1 A U soit diagonale. Etant donné une matrice symétrique A, il existe une matrice orthogonale O telle que la matrice O -1 A O soit diagonale. O -1 =O T

= Décomposition en valeurs singulières (singular value decomposition, SVD) am1   amn a11 a1n U    n  1 V T = valeurs singulières

Théorème de Gerschgorin-Hadamard S’il existe un entier m vérifiant 1  m  n tel que la réunion de m disques soit disjointe de la réunion des (n-m) disques restants, la réunion de m disques contient exactement m valeurs propres de A.

Théorème de Gerschgorin-Hadamard

Théorème de Gerschgorin-Hadamard

Normes vectorielles

Normes vectorielles

Normes matricielles Norme matricielle subordonnée (à la norme vectorielle donnée)

Normes matricielles

Soit A = ( aij ) une matrice carrée. Alors : Normes matricielles Soit A = ( aij ) une matrice carrée. Alors :

Normes matricielles Norme de Frobenius

FINE