Corps Noir Astronomie étoiles - exoplanètes avec geogebra phm Obs Lyon 2011-12

Geogebra - le Corps noir Introduction La physique du rayonnement a fait un grand pas lorsque les trois lois dites « du rayonnement du corps noir » furent été établies. Celle de Planck qui donne le flux en fonction de la longueur d’onde est particulièrement complexe à utiliser. Pourtant, elle est fondamentale à utiliser en astronomie, car n’interviennent que la longueur d’onde et la température. L’approximation des intérieures stellaires à des corps noirs est fructueuse, même lorsque l’on est à la surface où l’équilibre n’est pas réalisé. Nous allons utiliser Geogebra pour la construire, la manier. Sa visualisation dans le cas de mesures photométriques de la lumière des étoiles, sera très instructif.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir - corps en équilibre thermique - absorbe tout rayonnement reçu - émet un rayonnement propre à sa température  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Lois du rayonnement Tout corps en équilibre thermique absorbe et émet un rayonnement fonction de sa température absolue. = × - s 8 4 5 67 10 , W m K 2 L T Loi de Stefan (1879) : Loi de Planck (1900) : Loi de Wien (1893) :  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir La loi de Planck L’expression de la loi de Planck est différentielle. Son écriture n’est pas la même si l’on raisonne en longueur d’onde ou en fréquences. En classification stellaire, ce sont les longueurs d’onde qui sont utilisées. Nous nous servirons de la formule : La difficulté de représenter cette courbe, même en coordonnées logarithmiques, est l’étendues des plages des variables. Il faudra parcourir les gammes en : - Température, de 100K à 100 000 K (103) - Longueurs d’onde, du nanomètres aux dizaines de mètres (1010) Les intensités du rayonnement émis vont varier de 1 à 1015.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir La loi de Planck Ce graphique permet de visualiser les énergies émises de : - 0.1 microns à 500 microns - 100K à 15 000K - Soleil - Corps humain Son utilisation est difficile, car il a du être incliné pour réduire la surface nécessaire. Comment introduire toutes ces contraintes dans Geogebra ?  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Loi de Planck et Geogebra Ordonnées Les intensités du rayonnement ayant la plage la plus étendue, nous allons créer une échelle variable en ordonnées, à l’aide d’un curseur. Ce curseur prend des valeurs entières. Il fera varier l’échelle des ordonnées, les intensités, d’un facteur dix pour une variation unitaire. Abscisses L’échelle des longueurs d’onde en abscisses, sera en microns Les longueurs d’onde intéressantes en classification stellaire, s’étendant principalement de 0.1 microns au centimètre. L’adaptation à l’échelle se fera en jouant sur le zoom.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Calcul de la formule de Planck Deuxième problème avec la formule de Planck : Ce sont les valeurs extrêmes de certains coefficients. Il y a danger de fausser les calculs, par simple dépassement de précision dans les calculs internes dans le coprocesseur arithmétique. On n’appliquera pas la formule brute telle quelle. Un calcul intermédiaire de coefficient entrant dans la formule sera nécessaire. Cette variable intermédiaire sera judicieusement choisie pour avoir une plage de valeurs raisonnables.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Calcul de la formule de Planck Décomposition de la formule de Planck : Comme on entre les données en unités courantes : microns et °K, il faudra pour les l, bien ajuster les coefficients pour rester homogène.  Pour paramétrer la courbe, il est nécessaire de créer plusieurs curseurs : curseur température : T de 100 à 50000 (°K) curseur échelle : echy de 2 à 20 D’autres curseurs seront créés pour simuler les positions des filtres et leurs bandes passantes.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Construction de la courbe de Planck  Entrer les deux coefficients de la formule : c1 = 3.74441 c2 = 0.014388 Avec c1, la fonction de Planck a sa valeur divisée par 108 Il faudra en tenir compte pour le calcul du flux total (loi de Stephan)  Le coefficient intermédiaire : ct2 = c2 / T 1000000 La formule de Planck transposée en langage Geogebra devient : Fonction[c1 / x⁵ / (exp(ct2 / x) - 1) 10^echy, 0, 100] Fonction de Planck Echelle des ordonnées Plage des l  Faire varier la température et jouer avec les échelles pour suivre l’évolution de la courbe.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Maximum d’amplitude pour une température donnée Pour trouver le maximum d’intensité de la fonction à une longueur d’onde donnée, on peut employer la fonction de Wien : Loi de Wien (1893) : Il est plus intéressant de la retrouver par l’analyse de la courbe de Planck. Geogebra permet de créer la fonction dérivée d’une courbe.  fcn2 = Dérivée[fcn] La dérivée étant nulle au maximum, on recherche l’intersection de la fonction dérivée avec l’axe des x (ou bien avec une droite y=0).  dy0 : y = 0   Px_M = Intersection[fcn2, dy0]  M = Intersection[fcn, x(Px_M] L’ordonnée de la courbe de Planck en ce point donne l’intensité du maximum.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Maximum d’amplitude pour une température donnée  Faire afficher la position et la valeur de l’Intensité en cette position : "lambda max = " + (x(M)) + " microns I=" + (y(M))  En position absolue à l’écran.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Intégrale du flux – loi de Stephan Nous pouvons appliquer la formule de Stephan, 1ère loi du Corps Noir. Nous pouvons aussi intégrer le flux sur toutes les longueurs d’ondes. isteph = 100000000*Intégrale[fcn, 0.00001, 200] La limite inférieure doit être non nulle, sinon, l’intégrale n’est plus définie.0  Faire afficher la position et la valeur de l’énergie émise par m2. "Flux / m2 = " + isteph + " W/m2 On peut maintenant s’amuser avec notre fonction.  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Indices de couleurs Quand on étudie une étoile, on mesure son intensité relative en différents points de son spectre (spectrographie, photométrie). La courbe de Planck pour une étoile de température donnée de surface, nous donne l’intensité en toute longueur d’onde. On va donc comparer l’intensité en deux longueurs d’onde différentes, c’est-à-dire en faire le rapport. Ce rapport est indépendant de la distance. L’éclairement de l ’étoile varie pour chaque longueur d’onde comme l’inverse du carré de la distance. Si l’on prend le logarithme de ce rapport et qu’on le multiplie par -2.5, on obtient la différence de magnitude en ces longueurs d’onde. Cela s’appelle un indice de couleur. Il est directement fonction de la Température.  Nous allons le voir bientôt sur notre graphique. 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Indices de couleurs  Créer deux curseur l_1 et l_2 qui nous donnerons deux longueurs d’onde.  Créer les deux droites verticales qui repèrent ces longueurs d’onde : dx1: x=l_1 et dx2:x=l_2 Les intensités en ces longueurs sont les ordonnées des intersections de la courbe de Planck avec les deux droites : i1 = y(Intersection[fcn, dx1]) i2 = y(Intersection[fcn, dx2]) i1 = fcn(l_1) i2 = fcn(l_2)  ou Calcul de l’indice de couleurs :  IC = -(2.5) lg(i1 / i2) + cte Le coefficient additif, est à ajuster en fonction des longueurs d’onde choisies pour se raccorder à un système standard de mesures photométriques. Sa valeur sera déterminé avec une étoile prise comme référence (diapo suivante).   Afficher le résultat : "IC = " + IC 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Indices de couleurs Exemple avec Véga (10200°K) et le Soleil (5800°K). L’indice de couleur choisi est l’indice (B-V) rapport des intensités dans un filtre Bleu et un filtre Visible (jaune). Les longueurs d’onde centrales des filtres sont B : 0.43 microns et V : 0.52 microns. En système photométrique UBV, l’étoile Véga est prise comme référence, tous ses indices de couleurs (U-B, B-V, V-R, R-I, etc sont pris égaux à 0. On peut donc, en affichant une température de 10200°K, ajuster la constante dans la formule, en retranchant à IC, la valeur de IC sans constante. Cte = + 0.3823  Trouver l’indice de couleur du Soleil ? (B-V)Soleil = 0.446  2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Indices de couleurs Encore mieux ! Prendre l’intensité en une longueur d’onde n’est pas très réaliste. Le filtre a une bande passante plus ou moins larges et c’est l’intégrale du flux convolué par la bande passante qui est la mesure de flux. Largeur à mi hauteur : 90% du flux dans cette largeur. 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Indices de couleurs Simulation de la bande passante :  Soit df1 = 0.05 et df2 = 0.07 les deux bandes passantes des filtres (largeur à mi-hauteur).  A partir de chaque longueur d’onde l_1 et l_2, calculer les limites de l’intégrale de la fonction de Planck pour chaque filtre : Filtre bleu Curseur l_1 = 0.43 , lb1 = l_1 - df1 / 2 lb2 = l_1 + df1 / 2 Filtre visible Curseur l_2 = 0.43 , lv1 = l_2 – df2 / 2 lv2 = l_2 + df2 / 2  Intégrales : intb = Intégrale[fcn, lb1, lb2] et intv = Intégrale[fcn, lv1, lv2]  Indice de couleur : ICF = -(2.5) lg(intb / intv) + cte  Nouvelle calibration : cte = 0.0143  Afficher le résultat : "IC = " + IC + " "ICF= " + ICF   Comparer les deux résultats et faire varier la température. 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir Indice de Couleurs Directement relié à la Température. En passant en magnitude, l'inégalité s'inverse : 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir

Geogebra - le Corps noir . . . . . FIN 2011/09/22 Geogebra - le Corps noir