2008/01/04La connaissances des Temps2 Calendriers La réforme grégorienne était-elle la plus judicieuse ? Formation mathématique des calendriers

2008/01/04La connaissances des Temps3 Les astronomes, par leurs observations et connaissances mathématiques, ont toujours été associés à la construction des calendriers. Formation mathématique des calendriers Pour ne pas voir dériver trop vite un calendrier basé sur une année forcément fausse (nombre entier de jours), quelles corrections périodiques ou non doit-on faire ? Pour être commode dutilisation, on recherche dans un cycle de n années, le nombre m de corrections, ajouts ou retraits, dun ou plusieurs jours à faire pour se recaler le mieux possible sur le Soleil. Exemples : calendrier musulman, alternance irrégulière des mois à 29 et 30 jours. Calendrier julien, ajout dun jour tous les 4 ans. Contre exemple : calendrier vague de 365 jours, se recale au bout de 1461 ans.

2008/01/04La connaissances des Temps4 Quel outil mathématique de recherche de la solution ? Formation mathématique des calendriers Décomposition en fractions continues. But : trouver une approximation dun nombre réel positif sous forme dun quotient deux nombres entiers. Exemple : le nombre PI ? 3, 22/7, 333/106, 355/113 Méthode q = q 0 + u 1 (u 1 <1) On écrit le nombre sous la forme 1/ u 1 = q 1 + u 2 Puis … 1/ u n = q n + u n+1 Le nombre sécrit 3, 7, 16, 1, 292

2008/01/04La connaissances des Temps5 Lannée tropique 365, On va rechercher pour la partie fractionnaire de lannée tropique ses décompositions en fractions continues. Soit n/m une bonne approximation. Si dans un laps de m années, on fait n années bissextiles, quelle sera la moyenne de lannée sur ces m années ? Nombre de jours écoulés sur m années :Nj = 365 x m + n (corrections) Moyenne sur m années : Nj =(365xm)/ m + n/m = n/m On a bien une valeur moyenne proche de la valeur réelle.

2008/01/04La connaissances des Temps6 Lannée tropique Décomposition en fraction continue de la partie fractionnaire: q 1, q 2, q 3,… q 6 365, Travail avec excel 1 colonne numérateur 1 colonne dénominateur Calculer dans les colonnes suivantes : La durée moyenne de lannée ainsi établie, La différence avec lannée tropique vraie, Le nombre dannées pour que la différence fasse un jour. Pour chaque q, calculer les numérateur et dénominateur de la fraction continue correspondante (à la calculette) et l'inscrire dans la feuille du tableur :

2008/01/04La connaissances des Temps7 Lannée tropique Décomposition en fraction continue :365, , 7, 1, 3, 5, 6 Suite des q i ? Fractions 1 / 4 7 / 29 8 / / / / E E E Durée annéeDifférence Nb année pour 1 jour

2008/01/04La connaissances des Temps8 Et lannée grégorienne ? Durée de lannée grégorienne ? 400 année grégoriennes 1 / 4 7 / 29 8 / / / / E E E années normales :400 * 365 jours années bissextiles : + 97 jours 400 x = an = 365,2425 jours 365, Année grégorienne

2008/01/04La connaissances des Temps9 Et lannée grégorienne ? Discussion 1 / 4 7 / 29 8 / / / / E E E , Année grégorienne Le cycle 8 / 33 : 8 années bissextiles en 33 ans ? Le cycle 31 / 128 : 31 années bissextiles en 128 ans ? Le cycle 7 / 29 : 8 années bissextiles en 29 ans ? Utilisé : calendrier persan Non utilisé A été proposé

2008/01/04La connaissances des Temps10 La fraction 31 / 128 pourrait être mise en œuvre facilement : Sur un cycle de 128 ans, il faut une année bissextile tous les 4 ans 32 = 128/4, sauf une. Si lon numérote les années du cycle 1 à 128, et si on prend comme principe davoir les années bissextiles de rangs 4, 8, 12, … 128 Il suffit que la dernière année de rang 128 ne soit pas bissextile. La réforme grégorienne est basée sur un double cycle de 4 et 400 ans. Mais 4 étant diviseur de 400, le cycle global est 400. Compléments Autres sujets abordables par les fractions continues : Lannée lunaire, le nombre dor, le Saros…

2008/01/04La connaissances des Temps11 Calendrier œcuménique Calendrier julien en grec Calendrier grégorien Calendrier julien en arabe Calendrier musulman Calendrier israélite Turquie 1912

2008/01/04La connaissances des Temps12 1- Si lon ne trace sur le mur quune méridienne, un style horizontal suffit pour voir lombre de son extrémité passer sur le tracé de léquation du temps. Si la longueur de la tige est l, il suffit de remplacer dans les formules l cos par l. 2 - Souvent pour une méridienne, lextrémité de la tige porte un petit disque percé en son centre. Remarques Cest alors la tache lumineuse qui sert à repérer la trajectoire du Soleil, comme dans les grandes méridiennes des églises.

2008/01/04La connaissances des Temps13 Tracé et calcul sous excel Voir le fichier trace_meridienne.xls feuille 1 mur non déclinant feuille 2 mur déclinant

2008/01/04La connaissances des Temps14 La méridienne de lHôtel de Ville de Lyon

2008/01/04La connaissances des Temps15 Bibliographie Calendriers Annuaire de lIMCCE Ephémérides astronomiques (annuel) Chapitre I Données sur les calendriers Chapitre II Définitions générales : coordonnées et temps Calendriers Saga sur