APPROXIMATION D’UN NOMBRE RÉEL PAR UN RATIONNEL : UNE APPROCHE GEOMÉTRIQUE RAIM'11 Perpignan Émilie CHARRIER Lilian BUZER GIPSA-Lab Lab-info IGM Université.

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1 APPROXIMATION D’UN NOMBRE RÉEL PAR UN RATIONNEL : UNE APPROCHE GEOMÉTRIQUE RAIM'11 Perpignan Émilie CHARRIER Lilian BUZER GIPSA-Lab Lab-info IGM Université Joseph Fourier Université Paris-Est Grenoble Marne la Vallée

2 HORLOGES ASTRONOMIQUES RAIM'11 Perpignan

3 HORLOGES ASTRONOMIQUES RAIM'11 Perpignan

4 HORLOGES ASTRONOMIQUES RAIM'11 Perpignan

5 HORLOGES ASTRONOMIQUES RAIM'11 Perpignan TERRE 1 tour = 31,556,928 s JUPITER 1 tour = 374,163,250s Rapport de vitesse:

6 APPROXIMATION D’UN RATIONNEL Si le dénominateur est trop grand  Trouver un rationnel R tel que : R approxime au mieux le rapport de vitesse Dénominateur de R ≤ 500 RAIM'11 Perpignan

7 APPROXIMATION D’UN RATIONNEL FRACTIONS CONTINUES: Convergents principaux (C i ) 0≤i≤n+2 Approximations de α RAIM'11 Perpignan

8 ARBRE DE STERN-BROCOT RAIM'11 Perpignan 1/2 1/3 2/3 1/4 2/5 3/5 3/4 2/1 3/2 3/1 4/3 5/3 5/2 4/1 1/1 … … (0/1) (1/0)

9 ARBRE DE STERN-BROCOT RAIM'11 Perpignan 1/2 1/3 2/3 1/4 2/5 3/5 3/4 1/5 2/7 3/8 3/7 4/7 5/8 5/7 4/5 1/6 2/9 3/11 3/10 4/9 5/13 5/12 4/9 5/9 7/12 8/13 7/11 7/10 8/11 7/9 5/6 12/19=[0,1,1,1,2,2] … 9/14 12/19 1/1 C 0 =1/0 C 1 =0/1 C 2 =1/1 C 3 =1/2 C 4 =2/3 C 5 =5/8 C 6 =12/19 3/5 7/11

10 APPROXIMATION D’UN RATIONNEL RAIM'11 Perpignan C 0 =1/0 C 1 =0/1 C 2 =1/1 C 3 =1/2 C 4 =2/3 C 5 =5/8 C 6 =12/19 3/5 7/11 Convergents d’index pair : Convergents d’index impair : Meilleure approximation de 12/19 de dénominateur ≤ 12 ?

11 INTERPRETATION GEOMETRIQUE (voiles de Klein) RAIM'11 Perpignan a b __ Q: Z 2 : (, ) Convergents principaux: C0C0 C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 C5C5

12 INTERPRETATION GEOMETRIQUE RAIM'11 Perpignan C0C0 C2C2 C4C4 C1C1 C3C3 C5C5 7

13 NOTRE PROBLEME

14 RAIM'11 Perpignan 7 4 C0C0 C2C2 C4C4 C1C1 C3C3 C5C5

15 AVEC LES VOILES DE KLEIN RAIM'11 Perpignan 7 4 C0C0 C2C2 C4C4 C1C1 C3C3 C5C5

16 AVEC LES VOILES DE KLEIN RAIM'11 Perpignan D’ D

17 AMELIORATION DE LA COMPLEXITE RAIM'11 Perpignan Enveloppe convexe supérieure Enveloppe convexe inférieure L

18 UNE METHODE POUR LE CALCUL DES ENVELOPPES CONVEXES Balza-Gomez et al (1999) Calcul de l’enveloppe convexe inférieure (ou supérieure) en O(log(D)) Deux étapes: Calcul d’une pré-enveloppe (incluse dans l’enveloppe finale) Filtrage de la pré-enveloppe RAIM'11 Perpignan

19 UNE METHODE POUR LE CALCUL DES ENVELOPPES CONVEXES RAIM'11 Perpignan A B A2 B2

20 RAIM'11 Perpignan A B A2 B2

21 RAIM'11 Perpignan A2 B2 B3 A3

22 RAIM'11 Perpignan B3 A3

23 RAIM'11 Perpignan B3 A3

24 INCONVENIENT DE LA METHODE Construction d’une pré-enveloppe contenant des points superflus Nécessité d’une seconde étape pour « filtrer » la pré- enveloppe Méthode non adaptative RAIM'11 Perpignan

25 INTRODUCTION DE NOTRE METHODE

26 VECTEUR DE BEZOUT v est un vecteur de Bezout du vecteur u ssi : RAIM'11 Perpignan

27 DEUX ETAPES RAIM'11 Perpignan L A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 A3A3 B3B3

28 DEUX CONFIGURATIONS RAIM'11 Perpignan AiAi BjBj u v v A i+1 L A1A1 B1B1 CAS 1

29 DEUX CONFIGURATIONS RAIM'11 Perpignan AiAi BjBj v v u B j+1 L A1A1 B1B1 CAS 2

30 EXEMPLE RAIM'11 Perpignan L A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 A’ 1 A’ 2 B’ 1 B’ 2 A’ 3 u v

31 L ’ ALGORITHME RAIM'11 Perpignan

32 ANALYSE DE COMPLEXITE Initialisation: O(1) Chaque iteration: O(1) Nombre d’iterations: O(log(D)) avec D = largeur du domaine [Zolotykh2000] RAIM'11 Perpignan Complexité dans le pire cas logarithmique en la largeur du domaine

33 RAIM'11 Perpignan CONCLUSION Algorithme logarithmique « adaptatif » pour la construction d’enveloppes convexes entières Facile à programmer Reconstruction de polygones convexes Réduction des coefficients d’une droite (approximation de la pente)

34 CONCLUSION RAIM'11 Perpignan Algorithme logarithmique « adaptatif » pour la construction d’enveloppes convexes entières Facile à programmer Reconstruction de polygones convexes Réduction des coefficients d’une droite (approximation de la pente)