Orbite de la Terre et durée des saisons Terre Lune Soleil Orbite de la Terre et durée des saisons TD d’ Astronomie, avec quelques mathématiques et un peu de programmation dans un tableur phm - version 2007/03/10

Préambule La Terre ayant son équateur incliné sur le plan de l’écliptique, les durées des jours et des nuits son variables au cours de l’année, c’est le phénomène des saisons. L’orbite de la Terre n’étant pas circulaire, les durées des saisons sont inégales et influent sur l'ensoleillement reçu aux différents moments de l’année. Comment recalculer la durée des saisons à partir des éléments de l'orbite de la Terre ou d'une planète ? 11/03/2007 Durée des saisons

Eléments de l'orbite d'une planète demi-grand axe a excentricité e inclinaison sur l’écliptique i longitude du nœud ascendant W angle nœud ascendant -périhélie w ou  = w + W période sidérale P temps de passage au périhélie t 0 La Terre demi-grand axe a 149598023 km excentricité e 0,0165 angle nœud ascendant périhélie w 102.9373° période sidérale P 365.25636 jours temps de passage au périhélie t 0 (à retrouver) Terre : i = 0 et W = 0 11/03/2007 Durée des saisons

Travail suggéré Calculs et tracés à l’aide d’un tableur 1) Retrouver la durée des saisons dans le cas de la Terre 2) Suivre l’évolution de la durée des saisons et de l’ensoleillement avec les paramètres de l’orbite (e et w) En première approximation : les orbites des planètes sont régies par les lois de Képler 11/03/2007 Durée des saisons

Orbite elliptique et équation de Kepler Connaître r et q en fonction de t, utilisation de 2 variables u anomalie excentrique M anomalie moyenne, angle au centre d'une planète fictive accomplissant l'orbite à vitesse angulaire constante (1) Passer de q à u est simple (2) Et entre u et M (u et M en radians) on a : u - e sin u = M (3) Ces équations vont permettent pour les positions q des équinoxes et solstices d’en calculer les instants t et les durées qui les séparent. 11/03/2007 Durée des saisons

Positions des équinoxes et des solstices Pour la Terre tout est simple, à l'équinoxe de printemps, le Soleil est au point g et l'on connaît la position du périhélie. On veut calculer l’angle q EP à l’équinoxe de printemps puis SE (solstice d’été), EA (équinoxe d’automne), qEA (solstice d’hiver). Que valent ces angles ? 11/03/2007 Durée des saisons

Positions des équinoxes et des solstices Que valent ces angles ? On part de la position du périhélie que l’on connaît par rapport au point g à l’équinoxe de printemps w Que valent les angles les autres positions : q SE, q EA, q SH ? Solstice d'été q SE = q EP + 90̊ (modulo 360) Equinoxe d'automne q EA = q SE + 90̊ (modulo 360) Solstice d'hiver q SH = q EA + 90̊ (modulo 360) 11/03/2007 Durée des saisons

Travail sur tableur (1) A l'aide des trois formules, on calcule les temps de passages aux différents points par rapport au passage au périhélie et on déduit la durée des saisons. (2) u - e sin u = M (3) Pour chaque position, q EP, q SE, q EA, q SH, on calcule : 1 - l’anomalie excentrique u (équation 2), 2 - l’anomalie moyenne M (équation 3) 3 - les temps t EP, t SE, t EA, t SH (équation 1) temps de passage aux quatre positions remarquables. Les durées des saisons sont les intervalles entre t EP, t SE, t EA, t SH. Si la durée est négative, on ajoute P (365,25j) pour rendre la valeur positive. 11/03/2007 Durée des saisons

Fichier excel : durees_saisons.xls Feuille Terre (1) (2) u - e sin u = M (3) 1 - Ecrire les formules appropriées dans les cellules C11 à C14 2 - Les recopier par glissement dans les colonnes D, E, F 3 - Calculer les durées des saisons : cellules C15 àF15 4 - Décomposer ces durées en jours et heures dans les lignes 16 et 17. N.B. : ne pas oublier de mettre des $ sur les cellules de données fixes B$5$ à B$8$. 11/03/2007 Durée des saisons

Variations de la durée des saisons avec « e » Feuille Variations Recopier les cellules C11 à F17 de la feuille Terre dans les mêmes cellules de la feuille Variations Lignes 21 à 47 Colonne A : w (fixe) Colonne B : e (variable) Colonnes O, P, Q et R durées des saisons En recopiant avec décalage les formules utilisées précédemment, on remplit le tableau des lignes 24 à 50 pour q variant de 0 à 0,05 On tracera en fonction de q, les quatre courbes des colonnes O, P, Q et R 11/03/2007 Durée des saisons

Variations de la durée des saisons avec w Lignes 51 à 75 Colonne A : w (variable) Colonne B : e (fixe) Colonnes O, P, Q et R durées des saisons Travail identique aux lignes 24 à 50, ici dans la colonne A, w varie de 0 à 360. On tracera en fonction de w, les quatre courbes des colonnes O, P, Q et R 11/03/2007 Durée des saisons