Eclipses et distance Terre Lune Terre Lune Soleil Eclipses et distance Terre Lune phm - version 2007/03/10

Evolution distance Terre-Lune Types d’éclipses Eclipses totales et éclipse annulaires de Soleil Lors d'une éclipse de Soleil, les orbites respectives de la Terre autour du Soleil et de la Lune autour de la Terre, qui ne sont pas circulaires, font que les diamètres apparents des deux astres sont presque identiques. Soleil La configuration Terre Lune Soleil est telle que vu de la Terre: Soleil ~ q Lune q étant le rayon angulaire Lune 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Types d’éclipses Eclipses totales et éclipse annulaires de Soleil Lors d'une éclipse de Soleil, les orbites respectives de la Terre autour du Soleil et de la Lune autour de la Terre, qui ne sont pas circulaires, font que les diamètres apparents des deux astres sont presque identiques. éclipse totale : le diamètre de la Lune est un peu plus grand, éclipse annulaire : le Soleil n’est pas entièrement caché 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune L’effet des marées Les marées et la rotation diurne rendent la Terre dissymétrique en créant un bourrelet équatorial. La force de rappel engendre un ralentissement de la rotation de la Terre. et provoquent un frottement des masses d’eau déplacée sur la croûte terrestre. Il y a transfert de moment angulaire, ce qui modifie l’orbite de la Lune : La Lune nous fuit ! Cette évasion a une vitesse qui est estimée à 4,4 ± 0,6 cm par an. Il arrivera un moment où le diamètre angulaire de la Lune sera toujours inférieur à celui du Soleil. Il n'y aura plus alors d'éclipses totales, mais seulement annulaires. Recherche Connaissant la vitesse d'éloignement de la Lune par rapport à la Terre, dans combien de temps, nous n'aurons plus le plaisir de voir des éclipses totales ? 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Plan de travail Etat actuel Orbites, distances, périgée, apogée, périhélie, aphélie, rayons angulaires Conditions de disparition des éclipses totales Calculs du temps de disparition Elargissement du problème 1) Dans le passé, quand toutes les éclipses étaient totales ? 2) A la formation, la Lune était elle dans la limite de Roche ? 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Etat actuel Mettre dans une feuille d’excel, toutes les données utiles au problème : Vitesse d’éloignement de la Lune Rayons ou diamètres des trois corps : Soleil, Terre, Lune Orbite de la Terre : demi-grand axe, excentricité Orbite de la Lune : demi-grand axe, excentricité (valeurs extrêmes) Calculer distances et diamètres (ou rayons) angulaires Terre-Soleil au périhélie et aphélie Terre-Lune au périgée et apogée Où trouver des données fiables ? http://www.imcce.fr 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Calcul des rayons angulaires de la Lune et du Soleil Mathématiquement, l’angle sous lequel on voit de la distance d une sphère de rayon R est : Si l’on ne veux pas utiliser les fonctions trigonométriques, les angles sous lesquels on voit la Lune et le Soleil sont petits, on peut assimiler angles en radians avec leurs sinus ou leurs tangentes. On écrit alors la proportionnalité de R ou de l’arc par rapport à la circonférence : en degrés 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Feuille de données à remplir (sans obligation) Exemple de feuille de calcul Cellule de données Cellule de calcul avec formule Fichier : dist_eclipses_vide.xls 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune La feuille de calcul Conclusions : Lune au périgée : toujours plus grande que le Soleil Lune à l’apogée : toujours plus petite que le Soleil Quelle condition sur les diamètres angulaires q L et q S pour ne plus avoir d’éclipses totales ? 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Condition de disparition des éclipses totales Actuellement q Lper > q Sper > q Saph > q Lapo Il faudrait q Sper > q Saph > q Lper > q Lapo Qui se réduit en : q Saph ≥ q Lper 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

≥ Condition de disparition des éclipses totales q Saph > q Lper Le diamètre angulaire de la Lune au plus près doit être plus petit que le diamètre du Soleil au plus loin. ≥ Hypothèse : les éléments de l’orbite terrestre ne changent pas. Seul le grand axe de la Lune grandit, son excentricité reste en moyenne la même. 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

≥ Condition de disparition des éclipses totales  Le diamètre angulaire de la Lune au plus près doit être plus petit que le diamètre du Soleil au plus loin. ≥ Hypothèse : les éléments de l’orbite terrestre ne changent pas. Seul le grand axe de la Lune grandit, son excentricité reste en moyenne la même. Formule dans le tableur  = 402000 km Temps pour arriver à la disparition des éclipses totales ? 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Temps pour arriver à la disparition des éclipses totales Actuellement a = 383 400 km La Lune doit s’éloigner à 402 000 km. Formule dans le tableur  Tdisp= 535 Millions d’années 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Calcul identique pour l’époque où toutes les éclipses étaient totales. q Lapo > q Sper Le diamètre angulaire de la Lune au plus loin doit être plus grand que le diamètre du Soleil au plus près. >  Tapp= 892 Millions d’années 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Période sidérale – période synodique (lunaison) Le demi-grand axe changeant, on va rechercher pour les deux nouvelles orbites : a = 406941 km a = 344139 km Périodes actuelle de la Lune : sidérale : 27,32166 jours synodique : 29,53063 jours ou lunaison Quelles sont les nouvelles périodes sidérales et synodiques de la Lune ? Période sidérale. Il suffit d’appliquer la 3ème loi de Kepler Et de se servir des données du tableur Plus d’éclipses totales 406941 km 29,87653 jours actuels semaine à 8 jours ? Que des éclipses totales 344139 km 23,23447 jours actuels semaine à 6 jours ? 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Période sidérale – période synodique (lunaison) Période synodique. On applique la relation période sidérale période synodique T période sidérale de la terre P période sidérale de la Lune S période synodique de la Lune Car durant une période synodique La Lune a tourné de , la Terre de et la différence est d’un tour demi-grand axe P sidérale P synodique Plus d’éclipses totales 406941 km 29,87653 j. actuels 32,538 j. actuels Que des éclipses totales 344139 km 23,23447 j. actuels 24,813 j. actuels 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune

Evolution distance Terre-Lune Conclusion Sur les 10 milliards d’années de sursis que l’on accorde à la Terre avant que le Soleil n’arrête sa destinée, seulement pendant 1,4 milliards les terriens auront bénéficié de la féerique vision d’éclipses totales et annulaires. Profitons-en avant leur disparition. 11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune