CALCUL LITTERAL 3° Avon 2010 Bernard Izard 05-LT I – NOTATIONS Chapitre 05-LT CALCUL LITTERAL I – NOTATIONS REDUIRE-ORDONNER II – VALEUR NUMERIQUE d’une EXPRESSION III-DEVELOPPEMENT IV – FACTORISATION V - IDENTITES VI- UTILISATION DES IDENTITES VII-EQUATION PRODUIT VIII- EXERCICES / PROBLEME 3° Avon 2010 Bernard Izard

I-NOTATION-REDUIRE-ORDONNER 1) Rappel des notations a x b se note 2 x x se note 3x(…..) se note (…..)x(…..) se note ab On lit: 3 facteur de 2x 3(…..) (…..)(…..) 1 x a =a 0 x a = 0 -1 x a = -a -1 x (…..) =-(….) x + x = 2x x x x = x² On met les nombres chiffrés devant les lettres On écrit 2x et non x2 3(…) et non (…)3

Expressions littérales exercice: Si a, b et x représentent des nombres, traduire les phrases suivantes par une expression littérale simplifiée: Le quadruple de a La moitié de a L’inverse de a l’opposé de a La moitié de la somme de 3 et a La somme de 6 par le produit de x et 3 Les trois quarts de x Le carré de la somme de 3 et x La somme des carrés de 3 et x Le double de la somme de 3 et x 6+3x 4a 3x 4 a/2 1/a (3 + x)² -a 3² + x² 3+a 2 Le produit de 6 par la somme de x et 3 2(3 + x) 6(x + 3)

Règle de suppression des parenthèses (rappel) Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses : précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses. précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé. Ex: A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x ) A = 8 + (- 3 + x ) - (+ 4 - 3x ) A = 8 – 3 + x – 4 + 3x A = 4x + 1

2) Réduire une somme (Rappel) Pour réduire une somme, on regroupe les termes de mêmes « mots mathématiques », puis on les ajoute ensemble. Ex1: A = x + 3x A = 4x Ex2: B = x + x² +3 + x + 2x² + 5 B = x + x + x² + 2x² + 3 + 5 B = 2 x + 3x² + 8 Remarque : on ajoute les x avec les x, les x²avec les x² , les y avec les y et les nombres chiffrés seuls avec les nombres chiffrés seuls. Mais jamais les x avec les x², les a avec les b.. Ex3: C = x + x² On ne peut pas réduire

3) Ordonner une expression (Rappel) On range les termes suivant les puissances d’une lettre Ordre croissant Ordre décroissant A = x + 3x² – 3 A = -3 + x +3x² A = x + 3x² - 3 A = 3x² + x - 3 On a ordonné suivant les puissances de x Ex: Ranger suivant les puissances décroissantes de x: B = 5x – 5 + 7x³ - 8x² B = 7x³- 8x² + 5x - 5

4) Réduire et ordonner une expression On Réduit en commençant par les puissances 3, puis 2, puis 1, puis 0, ou dans l’autre sens. Ex: A=3x – 2x² +5 –3 – x +7x² +4x³ Les x³ 4x³ Les x² 7x² -2x² 5x² Les x 3x -x 2x Les chiffres 5 -3 2 A = 4x³ + 5x² +2x + 2

5)-Réduire ou simplifier un produit Pour réduire un produit, on multiplie les nombres chiffrés ensemble et les mêmes lettres ensemble Ex1: A = 3x x 5 x 2x A =3x5x2 x x x x A = 30 x x² A = 30x² On utilise la règle du: Signes Chiffres Lettres Ex2: B = -3 x 5 x x² x7 x (-x) Signes Chiffres Lettres - par - = + B = 105 x³ 3x5x7 =105 x² x x = x³

II-VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION A = 5x + 5 est une expression littéral Si on remplace x par 3, on va trouver la valeur numérique de cette expression pour x = 3 A = 5 x 3 + 5 A =15 + 5 A = 20 Si on note f(x)= 5x + 5 On écrit alors f(3) = 20 Cette expression vaut 20 pour x = 3 A = 5x(-2) +5 A =-10+5 A = -5 Si on remplace x par –2 Cette expression vaut -5 pour x = -2

Ex2: Calculer pour x = -3 A = 4x – 4 B = 5x – 5(x-7) C = 2x² - 3x + 1 Mettre des parenthèses pour éviter les erreurs de signes C = 2(-3)² – 3(-3) +1 C =2x9 + 9 + 1 C = 18 + 10 C = 28 A = 4(-3) – 4 A = -12 – 4 A = -16 D = -32x² + x + 18 B = 5(-3) – 5((-3)-7) B = -15 – 5(-10) B = -15 + 50 B = 35 D = -32(-3)² +(-3) + 18 D = -32x9 – 3 + 18 D = -288 +15 D = - 273

On utilise la distributivité III - DEVELOPPEMENT On utilise la distributivité k( a + b) = ka + kb Développement Factorisation Développer = transformer un produit en somme ou différence k( a - b) = ka - kb

A= 3 ( 2x +7) B = ( 6 + 2x) (x +3) A= 3 x 2x + 3 x 7 B= 6x x + 6 x 3 Ex1: Ex2: A= 3 ( 2x +7) B = ( 6 + 2x) (x +3) A= 3 x 2x + 3 x 7 B= 6x x + 6 x 3 + 2x x x + 2xx3 A= 6x + 21 B= 6x + 18 + 2x2 + 6x B= 2x2 + 6x+ 6x + 18 A= 6x + 21 B= 2x2 + 12x + 18 B= 2x2 + 12x + 18

Autres formules appelées parfois « double distributivité » (a + b ) ( c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b ) ( c - d) = ac - ad + bc - bd (a - b ) ( c + d) = ac + ad - bc - bd (a - b ) ( c - d) = ac - ad - bc + bd

B = ( 6 - 2x) (-x +3) B= 6 x (-x) + 6 x 3 - 2x x (- x) - 2x x 3 Ex3: B = ( 6 - 2x) (-x +3) B= 6 x (-x) + 6 x 3 - 2x x (- x) - 2x x 3 B= -6x + 18 + 2x2 - 6x B= 2x2 - 6x -6x + 18 B= 2x2 - 12x + 18 B= 2x2 - 12x + 18

Règle B = ( -8 - 2x) (5 –3x) Signes chiffres lettres B= - 40 + 24x Ex4: Règle B = ( -8 - 2x) (5 –3x) En 3°,on fait directement les calculs Signes chiffres lettres B= - 40 + 24x - 10x + 6x2 B= 6x2 + 14x - 40 B= 6x2 + 14x - 40

On utilise la distributivité IV - FACTORISATION On utilise la distributivité Dans l’autre sens k( a + b) = ka + kb Factorisation Factoriser = transformer une somme ou différence en produit

Méthode du facteur commun Ex1: Ex2: Ex3: A = 5 x + x2 B = 15 x2 +  x3 C = 12 xy + 6x A = 5 x x + x x x B = 15 x x2 +  x x x2 C = 6 x x 2y + 6x x 1 A = 5 x x + x x x B = x2 x ( 15 +  x ) A = x x (5 + x) B = x2 (15 +  x) C = 6 x x (2y + 1) A = x (5 + x) C = 6 x (2y + 1) On dit que l’on a mis x en facteur commun

3) On met dans les crochets ce qui reste Mettre en facteur commun une expression 1) On cherche les facteurs identiques A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13) 2) On met en facteur commun devant entre parenthèses A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13) A = (x + 7) [(3x – 5) + (- 5x + 13)] 3) On met dans les crochets ce qui reste A = (x + 7) [3x – 5 - 5x + 13] A = (x + 7) [- 2x + 8] 4) On chasse les parenthèses dans les crochets et on réduit A = (x + 7) (-2x + 8)

V – IDENTITÉS REMARQUABLES Marquons dans chaque figure son aire ab a a² b a b ab b²

a b ab a a² b b² a b ab

a b ab a a² b b² a b ab

a b a a² b a b D’où (a + b)² = a² + 2ab + b² Aire totale = a²+ ab+ ab + b² a b ab a a² Aire totale = a²+ 2ab + b² La figure complète est un carré de côté (a+b) b b² a b ab Son aire = côté x côté Aire = (a+b)x(a+b) = (a+b)² D’où (a + b)² = a² + 2ab + b²

² ( + )² = +2 + 1)-Carré d ’une somme. Le carré d’une somme est égal à la somme des carrés plus le double produit des deux termes Exemple ² ( + )² = +2 +

² ( + )² = +2 + ( 7 + x )² = 49 + 14 x + x² x x x Pour ceux qui ont du mal au début (7 + x )² = ? On reconnaît: (a+b)²=a²+ 2ab + b² (7 + x )² = ? ² ( + )² = +2 + x 7 x x 7 7 ( 7 + x )² = 49 + 14 x + x²

² - 2 + ( - )² = 2)-Carré d ’une différence Le carré d’une différence est égal à la somme des carrés moins le double produit des deux termes ² - 2 + ( - )² =

² ² ( - )( + ) - = 3)-Différence de deux carrés. Le produit d’une différence par une somme est égal à la différence des deux carrés . ² ² ( - )( + ) - =

On l’utilise pour développer VI – UTILISATION DES IDENTITÉS 1) Pour développer Ex1: A = (x- 3)2 (a-b)2 = a2-2 ab+b2 A = (x- 3)2 On repère l’identité A = x2 – 2x3x x + 32 On l’utilise pour développer On réduit A = x2 - 6x + 9

On l’utilise pour développer Ex2: B = (x- 3)(x+3) (a-b) (a+b) = a2 - b2 B = (x - 3) (x + 3) On repère l’identité B = x2 –32 On l’utilise pour développer B = x2 - 9

On l’utilise pour développer Ex3: A = (3x +7)2 (a+b)2 = a2+2 ab+b2 A = (3x+ 7)2 On repère l’identité A = (3x)2 + 2x7x3x + 72 On l’utilise pour développer On réduit A = 9x2 + 42x + 49

On l’utilise pour factoriser Ex1: A = 16x2 + 40x + 25 A = (4x)2 + 2x5x4x + 52 a2+2 ab+b2 =(a+b)2 On l’utilise pour factoriser On repère l’identité A = (4x+ 5)2 A = (4x+ 5)2

Ex2: Ex3: B = x2 - 6x + 9 A = 9x2-16 B = x2 – 2x3x x + 32 a2 - 2 ab - b2 =(a - b)2 a2 - b2 = (a-b) (a+b) B = (x- 3)2 A = (3x +4) (3x- 4) B = (x- 3)2 A = (3x +4) (3x- 4)

VII – EQUATION PRODUIT Résoudre l’équation (2x + 3) ( x – 7) = 0 C’est une équation produit nul car égal à zéro. On utilise la propriété: Si un produit est nul alors l’un des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement. (2x + 3) ( x – 7) = 0 ou (2x + 3) = 0 ( x – 7) = 0 2x + 3 = 0 x – 7 = 0 2x = -3 x = 7 x = -3/2 Solution de cette équation –3/2 et 7

VIII– EXERCICES / PROBLEME Calculer mentalement avec la distributivité 143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 ) 143 x 102 = 143 x 100 + 143 x 2 143 x 102 = 14 300 + 286 143 x 102 = 14 586 Ex2: 102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 ) 102 x 209 = 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9 102 x 209 = 20 000 + 900 + 400 + 18 102 x 209 = 21 318

Ex3: Développer B = (2x + 3)(3x - 4) B = 6x² - 8x + 9x – 12 A = 3(- 6x + 4) B= 6x² + x - 12 A= -18x + 12 Ex4: En utilisant une identité, calculer mentalement 103²= ( 100 + 3 )² 103²= 100² + 2 x 100 x 3 + 3² 103²= 10 000 + 600 + 9 103²= 10 609

(a - b)² = a² - 2ab + b² 96² = ( 100 - 4 )² 96²= 100² - 2 x 100 x 4+ 4² 96²= 10 000 - 800 + 16 96²= 9 216 105 x 95= ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 ) 105 x 95 = 100² - 5² (a + b)(a - b) = a² - b² 105 x 95 = 10 000 - 25 105 x 95 = 9 975

Développer Ex5: A = (4 - 3x)² A = 16 - 24x + 9x² B = (2x + 3)(2x - 3) (a - b)² = a² - 2ab + b² A = (4 - 3x)² A = 16 - 24x + 9x² B = (2x + 3)(2x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b² B= 4x² - 9 C = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) (a - b)² = a² - 2ab + b² C = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) C = 4x² - 12x + 9 + 3x – x ² + 15 - 5x C = 3x² - 14x + 24

Factoriser D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² (a + b)(a - b) = a² - b² D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² (a - b)² = a² - 2ab + b ² D = x² - 9 - ( 16 - 24x + 9x² ) D = x² - 9 - 16 + 24x - 9x² D = -8x² + 24x - 25 Ex6: Factoriser B = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x) B= (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x) A = x² + 3x - 5x² B = (1 - 6x)[ (1 - 6x) - (2 + 5x)] A = x x x + x x 3 - x x 5x A = x ( x + 3 - 5x ) B = (1 - 6x)[ 1 - 6x - 2 - 5x] A = x (- 4x + 3) B = (1 - 6x)( - 11x - 1 )

factoriser Ex7: x² - 2x + 1 = (x - 1 )² 25x² - 49 = (5x + 7 )(5x - 7 ) A = (2x + 3)² - 64 a²-b²=……. A =[ (2x + 3) – 8 ][ (2x + 3) + 8 ] A = [2x + 3 – 8][2x + 3 + 8] A = (2x – 5)(2x + 11)

Factoriser en plusieurs étapes Ex8: Factoriser en plusieurs étapes A = 8 + a + 8 b + ab A = 8 + a + 8 b + ab A = 8 + a + b ( 8+ a) A = (8 + a) + b ( 8+ a) A = (8 + a) x1 + b ( 8+ a) A = (8 + a) x (1 + b) A = (8 + a) (1 + b) A = (8 + a) (1 + b)

2) Problème récapitulatif Enoncé: 4° Résoudre l’équation f(x) = 0

Solution

4° Résoudre f(x) = 0 (2x +1) (-x + 6) = 0 2x + 1 = 0 ou -x + 6 =0 Si un produit est nul alors l’un des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement. 2x + 1 = 0 ou -x + 6 =0 2x = -1 x = -1/2 -x = -6 x = 6 Solution -1/2 et 6

CALCUL LITTERAL Revoir les exercices Apprendre le cours et les identités FIN