INTRODUCTION 1. Une représentation du signal où le bruit est isolé Améliorer la qualité d’un son , d’une image : Enregistrement bruité que l’on cherche à débruiter (illustration 1) (ou Image que l’on veut rendre plus nette : illustration 2) 1. Une représentation du signal où le bruit est isolé 2. Un outil qui permet de supprimer le bruit Pour 1 : L’analyse de Fourier ou Analyse spectrale : séries ou intégrales Pour 2 : La convolution modélisation des filtres linéaires ( intégrale) illustration 1 Mathematica illustration 2 Mathematica

Organigramme Filtrage Echantillonnage Analyse spectrale La convolution Transformée de Fourier Séries de Fourier Fonctions périodiques Fonctions L2 Fonctions L1 Distributions

INTRODUCTION Bases mathématiques pour le traitement du signal. Un signal peut être défini comme une quantité mesurable, dépendant du temps ou de l’espace. Un son : Une image :

INTRODUCTION Un signal est modélisé par une fonction d’une ou de plusieurs variables (temps, espace,…) f(x,y) : intensité lumineuse ou nuances de gris en fonction des variables d’espace f(t) : amplitude en fonction du temps

INTRODUCTION Modèle plus général les distributions Signal d’intensité infini sur un temps très bref : Distribution ou impulsion de Dirac : d

Pour un son : fréquence = hauteur INTRODUCTION Notion de fréquence En grattant une pièce dentelée à une cadence lente : on obtient un son grave On obtient un son aigu si la cadence est rapide : Son obtenu en grattant une plaque de plastique dentelée avec un cadence qui s’accélère. Pour un son : fréquence = hauteur Sons aigus  hautes fréquences Sons graves  basses fréquences

Sons purs Un son pur ne contient qu’une seule fréquence : Il est représenté par une fonction sinusoïdale : l est la fréquence du son elle correspond à sa hauteur l =440 HZ correspond au la medium.

Superposition de sons purs On additionne des sons purs de fréquences multiples : l , 2l, 3l ,... cliquez ici

Superposition de sons purs On obtient un son de fréquence l Le son résultant n ’est plus pur.

Le théorème de Fourier Les sons que l’on trouve dans la nature ne sont pas purs,mais sont des superpositions de sons purs : Ils contiennent une fréquence l qui détermine leur hauteur et toutes les fréquences l, 2l, 3l,....,nl,...

Le théorème de Fourier On peut alors les modéliser en somme (infinie) du type : qu’on appelle série trigonométrique.

Le contexte mathématique Pour modéliser un son d ’une fréquence l, on doit disposer d’une fonction périodique f de période : associée à la pulsation :

Le contexte mathématique Si cette fonction est de classe C1 , elle est alors la somme d ’une série trigonométrique

Calcul des coefficients Les coefficients : et ne sont pas quelconques ils sont définis par des formules intégrales ils mesurent la ressemblance de f avec la fréquence pure n l Leur module définit l’amplitude de cette fréquence

Calcul des coefficients Pour calculer les coefficients : et On multiplie f par et Puis on calcule les intégrales : et en remplaçant f par la série : (en se plaçant dans un cas idéal, cela revient à calculer la série des intégrales)

Calcul des coefficients On obtient : et

Calcul des coefficients On utilise des propriétés intégrales des fonctions trigonométriques : et

Calcul des coefficients Dans chaque série, tous les termes sont nuls sauf pour p=n, on a (pour la première intégrale) : soit

Calcul des coefficients On obtient ainsi successivement : et pour : et

Calcul des coefficients Vérifiez ces calculs, c ’est un très bon exercice pour vous remettre dans « le bain »!

Série de Fourier Une série de Fourier est une série du type: avec : et pour : et Les nombres an et bn sont appelés coefficients de Fourier

Théorème 1(Lejeune-Dirichlet) Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a : si f est continue au point t. Et plus généralement :

Analyse harmonique ou spectrale composition fréquentielle du signal a0 représente la moyenne f sur une période :

Analyse harmonique est le fondamental : c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le rythme du signal.

Analyse harmonique Et pour sont les harmoniques de rang n. Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.

Synthèse harmonique La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :

Représentation spectrale On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique :

Propriétés des coefficients Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent. Cas où f est paire : tous les bn sont nuls. avec et pour

Propriétés des coefficients Cas où f est impaire : tous les an sont nuls. . avec pour

Propriétés des coefficients Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires : et

Propriétés des coefficients L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus

EXEMPLE sur f paire, -périodique

EXEMPLE f paire : et pour

EXEMPLE

EXEMPLE On a donc : et comme f est continue sur IR :

Ecriture complexe des séries de Fourier En utilisant les formules d’Euler on obtient: Où :

L’égalité de Parseval On montre que l’énergie du signal est égale à la somme des énergies des harmoniques et de la valeur moyenne au carré